Интерпретация отношений между геометрическими фигурами

реклама
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ
ФИГУРАМИ, ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ КОМПОЗИЦИЯМИ ДВИЖЕНИЯ
Тербалян А.А., г.Астрахань, ученик 9 класса
МБОУ «Лицей №3»,
[email protected]
Научный руководитель - Левина Е.Г.,г.Астрахань
учитель математики МБОУ «Лицей№3»,
[email protected]
Использование свойств движений и их композиций при решении задач,
составляет
основное
содержание
данной
работы,
представляет
собой
применение одной из интерпретаций геометрии Евклида. В данной работе точка
интерпретируется центральной симметрией относительно этой точки, прямая –
осевой симметрией относительно этой прямой, т. к. множество точек и прямых
плоскости
изоморфно
множеству
центральных
и
осевых
симметрий.
Отношения принадлежности, перпендикулярности, параллельности и другие,
инвариантные
относительно
движений,
интерпретируются
теоретико-
групповыми отношениями. Эта интерпретация используется при решение задач
и доказательстве теорем в данной работе. При этом решение новым способом
часто оказывается проще традиционного решения. Всё выше сказанное
определяет актуальность данной работы.
Целью работы является применение теоретико-групповых свойств движений к
решению задач.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи
1. познакомится
с
понятием
группы,
её
простейшими
свойствами,
рассмотреть группы движений , группы самосовмещения фигур.
2. составить словарь перехода от отношений евклидовой геометрии к
отношениям между композициями движений.
3. Применить полученный словарь к решению геометрических задач
теоретико-групповым методом.
Предметом исследования является применение построенной интерпретации к
решению геометрических задач.
Объектом является интерпретация некоторых отношений евклидовой геометрии
с помощью теоретико-групповых отношений.
Метод исследования -метод математического моделирования.
Гипотеза: можно предположить что решение задач теоретико-групповым
способом гораздо быстрее приводит к получению необходимого результата т.е.
является более рациональным.
Как известно, преобразование одной фигуры в другую называется движением,
если
оно
сохраняет
расстояние
между
точками.
[1]
Результат
последовательного применения двух движений называется их композицией.[3]
По определению множество А называется группой, если в нём определена
какая-либо бинарная операция и если выполняется условие замкнутости,
существования
обратного
элемента,
ассоциативности,
существования
единичного элемента.[2]
Рассмотрим решение следующей задачи.
Произвольная точка плоскости преобразуется в новую точку центральной
симметрией относительно О1, получившаяся точка относительно О2, новаяотносительно О3, далее-относительно О1, потом относительно О2 и, наконец,
относительно
О3.
Доказать,
что
после
шести
преобразований
точка
возвращается в исходное положение.
Решение: (традиционный способ) Соединим Х'' и Х, затем Х 2 и Х''', Х и Х''', Х''
и Х2, Х1 и Х'. ∆О2Х''X2= ∆O2X'X1(X1O2=O2X2, X'O2=O2X'', ∠ Х1О2Х'= ∠ Х2О2Х'')
следовательно
X''X2=X1X', ∠ 1= ∠ 2
следовательно
X''X2║X1X'.
∆O1XX'''=∆O1X'X1→XX'''=X1X', ∠ 3= ∠ 4 следовательно XX'''║X1X'. Значит,
XX'''=X2X'' и XX'''║X2X'' следовательно
XX''X2X'''-параллелограмм с точкой
пересечения диагоналей О3. Значит, точки Х, О3, Х2 принадлежат одной прямой
и ХO3=X2O3 Значит после последнего преобразования относительно О3 точка
возвращается в исходное положение.
Решение способ 2 (теоретико групповой
метод):
O○O2○O1=O,
O3○O2○O1○O3○O2○O1=O○O=E Видим что
второе
решение
значительно
короче
первого. [4]
В
заключении
можно
добавить
что
исследование позволяет убедится в большой
значимости
метода
математического
моделирования. Различные интерпретации Евклидовой геометрии показывают
многообразие подходов к решению математических задач. Таким образом
открывается возможность выбора более удачного пути решения той или иной
задачи. В данной работе применяется теоретико-групповой способ решения
геометрических задач, который нередко гораздо рациональней традиционного.
Литература:
1. geometry.ru
2. Александров П.С. Введение в теорию групп. М.: наука, 1980. 144с
3. Аммосова Н.В. Движения фигур на плоскости, их приложения и
композиция движений. Математика в школе, 1987 №3. С. 25-29.
Скачать