Прямая на плоскости

Аналитическая
геометрия
Лекции8,9
Прямая на
плоскости
Определение. Уравнением линии на
плоскости Oxy называется
уравнение, которому удовлетворяют
координаты x и y любой точки
данной линии и не удовлетворяют
координаты любой точки, не лежащей
на этой линии.
Теорема. Всякое уравнение первой
степени Ax  By  C  0,
где А и В
не обращаются в нуль
одновременно, представляет собой
уравнение некоторой прямой линии на
плоскости Oxy.
Уравнение прямой,
проходящей через точку
перпендикулярно вектору
Введем следующие понятия. Вектор,
перпендикулярный прямой l , будем
называть нормалью прямой и
обозначать n . Итак, n  l .
Вектор, параллельный прямой,
будем называть направляющим
вектором этой прямой. Обозначим его
a   m, p  .
Тангенс угла наклона прямой к
положительному направлению оси Ox
будем называть угловым
коэффициентом этой прямой: tg  k
у
n
l
a
о

х



Пусть точка M 0 x0 , y0
лежит на
прямой. Точка M x, y -произвольная
точка прямой.

n   A, B  ;
M ( x, y )
M 0 x0 , y0 
.
M 0M  n
Тогда скалярное произведение
n  M 0 M  A( x  x0 )  B( y  y0 )  0.
Получили уравнение прямой,
проходящей через заданную точку,
перпендикулярно данному вектору:
A( x  x 0)  B( y  y 0)  0
Общее уравнение прямой
Из предыдущего уравнения легко
получаем общее уравнение прямой
Ax  By  C  0
Каноническое уравнение
прямой
Пусть M 0  x0 ; y0   l
am; p 
и
M  x; y 
M 0  x0 ; y 0 
a || l
l
Тогда из условия коллинеарности
векторов M 0 M  ( x  x0 , y  y0 )
и a   m, p  ; получаем каноническое,
т. е. простейшее уравнение прямой:
x  x0 y  y 0

m
p
Пример
Написать уравнения прямых,
проходящих через точку M 0 2,1
параллельно и перпендикулярно
вектору AB   3, 1.
x

2
y

1
Первое уравнение

3
1
второе
3( x  2)  ( y  1)  0 .
и
Уравнение прямой,
проходящей через две точки
Пусть
M 1  x1 ; y1   l
M 2  x2 ; y2   l
M ( x, y )
M 2 x2 , y2  ;
M1x1, y1 
M 1 M || M 1 M 2
Координаты этих векторов
пропорциональны:
y y
xx

x x y y
1
2
1
1
2
1
Получили уравнение прямой, проходящей
через две точки.
Параметрические уравнения
прямой
Приравняем обе части соотношения
x  x0 y  y0

l
m
к t. Получим параметрические уравнения
прямой
x  mt  x0
y  pt  y0
Уравнение прямой с угловым
коэффициентом
Преобразуем уравнение
к виду
x  x1
y  y1

x2  x1 y2  y1
y2  y1
y  y1 
( x  x1 )
x2  x1
y2  y1
y
( x  x1 )  y1
x2  x1

Обозначив
M 2 x2 , y2  ;
y2  y1
 k , y1  kx1  b ,
x2  x1
где k  tg ,
получим
y  kx  b


M1x1, y1 
Уравнение прямой ,проходящей
через точку
Пусть точка M 0  x0 , y0  лежит на
прямой y  k  x  b . Тогда y0  kx0  b.
Вычтем из первого второе соотношение .
Получим
y  y0  k  x  x0 
Уравнение прямой в отрезках
x y
 1
a b

B (0, b)
b
A(a, 0)
a

Взаимное расположение
прямых
Угол между двумя прямыми
Пусть две прямые заданы общими
уравнениями
l1 : A1 x  B1 y  C1  0, n1  A1 ; B1 
l2 : A2 x  B2 y  C2  0, n2  A2 ; B2 
Тогда угол между этими прямыми равен
углу между их нормалями , т. е.
cos 
A1  A2  B1  B2
2
A1

2
B1

2
A2

2
B2
.
Пусть даны прямые
l1 : y  k1 x  b1
l2 : y  k 2 x  b2
  2  1
1

2
Тогда
tg2  tg1
k2  k1
tg 2  1  

1  tg1  tg2 1  k1  k2
k
k
tg 
1 k k
2
1
1
2
Условия параллельности
Прямые параллельны тогда и только
тогда, когда выполняется одно из двух
условий ( в зависимости от вида
уравнений прямых).
l1 || l2  k1  k 2
A1 B1

A2 B2
Условие перпендикулярности
l1  l2  k1  k 2  1
A1 A2  B1 B2  0
Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки M 0  x0 , y0  до
прямой Ax  By  C  0 находят по
формуле
.
d
Ax0  By 0  C
A B
2
2
Пример
Найти уравнение прямой, проходящей
через точки A1 5,1
и A2 2,5 .