Методы компьютерного моделирования систем тел с большим числом степеней свободы

Содержание
Методы компьютерного моделирования систем тел с
†
большим числом степеней свободы
Д.Ю.Погорелов
Брянский государственный технический университет
e-mail: [email protected]
• Моделирование систем тел
• Анализ структуры системы тел
Замкнутые кинематические цепи
Метод подсистем
Внешние подсистемы
Включенные подсистемы
• Синтез уравнений движения
Прямой метод
Метод составных тел
Метод отдельных тел
• Численное интегрирование уравнений
Дифференциально-алгебраические уравнения
Жесткие уравнения
Приближенные матрицы Якоби
Расчет равновесия
• Планирование численных экспериментов
• Приложения
Динамика рельсовых экипажей
Морская платформа
Конвейер
• Направления дальнейших исследований
† Исследования поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (99-01-00223) и
Универсальный
Механизм
программой “Университеты России – фундаментальные исследования” (04.01.09)
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Моделирование систем тел (1)
Система тел при численном моделировании
•Абсолютно твердые и/или деформируемые тела
•Связи (шарниры)
•Силовые элементы
Процесс численного моделирования
•Препроцессор (ввод данных)
Инерционные характеристики
Графические образы
Шарниры
Силовые элементы
•Синтез уравнений движения
•Программирование в среде
•Постпроцессор
Численное интегрирование уравнений движения
Планирование и проведение численных
экспериментов
Оптимизация
Положения равновесия и линейный анализ
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Моделирование систем тел (2)
Учебный процесс
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Моделирование систем тел (3)
Научные исследования
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Моделирование систем тел (4)
Научные исследования
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Моделирование систем тел (5)
Научные исследования
Самораспаковывающаяся ферменная
конструкция
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Моделирование систем тел (6)
Инженерные исследования
Грузовой вагон
Тепловоз ТЭ116
Электровоз ЭП10
Тепловоз ТА35
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Моделирование систем тел (7)
Инженерные исследования
Балансировка подбивочного блока
Стенд для динамических испытаний
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Анализ структуры (1)
Замкнутые кинематические цепи
• Граф объекта имеет циклы
• Модифицированный алгоритм Дийкстры оптимального выбора разрезанных шарниров
• Дифференциально-алгебраические уравнения
движения в избыточных координатах (индекс 3)
M ( q, t )q  k ( q, q, t )  Q( q, q, t )  G( q, t )T 
g ( q, t )  0,
G  g q
T
M - матрица масс,
k,Q - матрицы-столбцы обобщенных сил инерции
и активных сил
λ - множители Лагранжа
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Анализ структуры (2)
Метод подсистем. Внешние и включенные подсистемы (ПС)
Составной объект
Внешние ПС
Внешние ПС
Включенные ПС Тела, шарниры...
Внешние ПС
Включенные ПС Включенные ПС
Тела, шарниры... Тела, шарниры...
...
...
Уравнения движения
• Объединение уравнений движения внешних
подсистем
• Различные алгоритмы формирования
уравнений для различных ПС
M i ( qi , t ) qi  ki ( qi , qi , t )  Qi ( q, q , t )   Gij ( qi , q j , t )T ij
gij ( qi , q j , t )  0,
Gij  gij qi ,
T
i  1,2,...
Внешние подсистемы
• Полный владелец всех своих
элементов (тел, шарниров,…)
• Внешнее формирование и
компиляция уравнений (DLL)
Включенные подсистемы
• Владелец элементов ближайшая внешняя ПС или
корень
• Нет отдельных уравнений
движения
Связи между ПС
• шарниры
• силовые элементы
Упорядоченная лексика имен
• Вагон.Тележка1.КП2
• Состав.Тепловоз.Тележка2.Гаситель1Л
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Синтез уравнений движения (1)
Кинематика
Элементы уравнений движения
n
m E
Ti  i
Конфигурац ия
ri  ri q, t , A0i  A0i q, t 
M 
Скорости
Qk  
i 1
n
i 1
v 
Vi   i    i q  Vi,
 i 
 i  C0i  S j , S j  0,... 0, S j ,0... 0
 
Прямой метод, число операций O n 3
 
2
Метод составных тел, число операций O n
ri 
E  ~
C0i  

0
E


Ускорения
n
M
a 
Wi   i    i q  Wi
 i 
i
i

S Tj M i S k
i 1 j 1k 1
Ij 

n
 M k ,
k j
Qk
Gj 
Механизм
Fi  mi a 'i
 n T
~ I      i Gi .

L

I



 i i i
i i i  i 1

Ti 
Алгоритмы синтеза уравнений
jJ i
Универсальный
 0
n
0
 i   Ti M i  i ,
Ii 
i 1
n
i
T
  S j I max  j ,k  S k , M i  C0Ti M iC0i
j 1k 1
I j 1  I j  M j 1,

S Tj Gi
i 1 j 1


n n

n
T
 S j G j , Gi  C0TiGi
j 1
n
 Gk , G j 1  G j  Gj 1,
k j
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Синтез уравнений движения (2)
Алгоритмы синтеза уравнений
Метод отдельных тел, число операций O n 
Уравнения движения
отдельных тел
M nWn  Gn  Rn ,
(1)
M n 1Wn 1  Gn 1  Rn1  CnT1,n Rn , (2)
Рекуррентное соотношение для ускорений
Wn  Cn1,nWn1  Sn qn  n .
(3)
Идеальность шарнира
SnT Rn  0,
(4)
Умножим (1) на SnT и подставим (3)

qn  qn Wn 1 
(5)
Подставим (5) в (3), затем (3) в (1) :

Rn  Rn Wn 1 
(6)
Подставим (6) в (2)

Mˆ n1Wn1  Gˆ n1  Rn1
(7)
…………n-1, n-2, .. 1 ………….
Обратный ход: определяем qi ,Wi , Ri , i  2,.., n из соотношений типа (1),(3),(5)
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Синтез уравнений движения (3)
Модифицированный метод отдельных тел, число операций O n 
M nWn  Gn  Rn ,
Уравнения движения
отдельных тел
(1)
M n 1Wn 1  Gn 1  Rn 1  CnT1,n Rn , (2)
Рекуррентное соотношение для ускорений
Wn  Cn1,nWn1  Sn qn  n .
(3)
Идеальность шарниров
SiT Ri  0, i  1,...,n
(4)
Общие решения уравнений (4)

Ri  Hi i , SiT Hi  0
(5)
Подставим (5) в (1),(2)

Wn  Wn  n ,
(6)
Подставим (6) в (3) и умножим
слева на H nT
Аналогично

Wn 1  Wn 1  n 1,  n 
 H n,n1n1  H n,nn  f n
 H n1,n2 n2  H n1,n1 n1  H nT,n1 n  f n1
 H n2,n3 n3  H n2,n2 n2  H nT1,n2 n1  f n2
………………..
Результат: система линейных алгебраических уравнений с
симметричной блочно-трехдиагональной матрицей
относительно множителей Лагранжа
H  f
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Синтез уравнений движения (4)
Сравнение быстродействия алгоритмов синтеза
уравнений движения
Шарниры с тремя степенями свободы
Время на 1 шаг,
мс
Время на 1 шаг, мс
Шарниры с одной степенью свободы
60
40
20
0
0
16
32
48
Число маятников
прямой метод
отдельных тел, NSM
составных тел
отдельных тел, RSM
64
60
40
20
0
0
8
16
24
Число маятников
прямой метод
отдельных тел, NSM
составных тел
отдельных тел, RSM
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
32
Численное интегрирование уравнений (1)
Индекс дифференциально-алгебраических уравнений движения (ДАУ)
Индекс 3
Индекс 2
Индекс 1
M ( q, t )q  k ( q, q, t )  Q( q, q, t )  G( q, t )T 
g ( q, t )  0,
G  g q
(1)
T
M ( q, t )v  k ( q, v, t )  Q( q, v, t )  G( q, t )T 
Gv  g q, t   0,
v  q, g   g t
(2)
M ( q, t )a  k ( q, v, t )  Q ( q, v, t )  G ( q, t )T 
(3)
Ga  g q, v, t   0,
a  v,
g   G v  g t 
Методы решения уравнения (3) относительно a , 
RSM
NSM
a  Ha  h,
GH  0
H T MHa  H T Q  k  Mh 

a  M 1 Q  k  GT 

GM 1G T   GM 1 Q  k   g 
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Численное интегрирование уравнений (2)
Нежесткие ДАУ
Mq  k  Q  GT , g ( q, t )  0
(1)
Mv  k  Q  GT , Gv  g   0
(2)
Ma  k  Q  G T , Ga  g   0
(3)
Метод Адамса-Бэшфорта-Моултона (ABM) - PECE
Коррекция (PECE): одновременное решение уравнений (1),(2)
Оценивание (PEСE):
ABM1 - решение уравнения (1)
ABM2 - одновременное решение уравнений (1),(2)
ABM3 - одновременное решение уравнений (1),(2),(3)
Метод BDF - PEC
Коррекция (PEC): одновременное решение уравнений (1),(2)
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Численное интегрирование уравнений (3)
Сравнение численных методов: ABM1 (o), ABM2 (Δ), ABM3 ( ), BDF (˜)
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Численное интегрирование уравнений (4)
Жесткие ДАУ: неявный метод Парка
Прогноз: интерполяционный полином
qip1  4qi  6qi 1  4qi 2  qi 3
vip1 
формула Парка

1
10qip1  15qi  6qi 1  qi 2
6h

qi 1  qip1  qi 1
Коррекция
vi 1  vip1  qi 1  ,
ai 1 
Нелинейные уравнения относительно qi 1



  0.6h
1
10vi 1  15vi  6vi 1  vi 2   aip1  qi 1 2
6h



M ( q p  q) 2a p  q  2 f q p  q, v p  q   G T q p  q  ,
f Qk
g ( q p  q)  0
Решение итерационным
методом Ньютона-Рафсона
J k - матрица Якоби уравнений
M k  J k qk 1   M k 2a p  qk  2  f k  GkT k ,
G k qk 1   g k ,
qk 1  qk  qk 1,
k  0,1,...,
q0  0
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Численное интегрирование уравнений (5)
Приближенные матрицы Якоби
Матрицы Якоби рассчитываются только для ведущих (жестких) слагаемых обобщенных
сил Q
Пример: жесткое взаимодействие
тела i с телом 0
Qi  Ti q Gi ri , A0i , vi , i 
Vi   i q , q  q p  q, q  v p  q 
Qi  Ti q G ri , A0i , vi , i   Ti Gr ri  Gi  Gv vi  Gi 
Вариация обобщенной
силы
 ri 

   i q,

 i
 vi 

   i q   i q   iq q   i q    i q 

 i
1
1
Qi  Ti q Di q,
D  Gr  Gv G  G


J i  Ti 2Gr  Gv
Матрица Якоби
2G  G i
Пример: биполярный силовой элемент F  F r, r, t 


D   2 Fr  Fv eeT
e - единичный вектор по оси элемента
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Расчет положения равновесия
F 
Gi   i 
i 1
 Li 
Расчет матрицы Якоби с использованием идей метода отдельных тел
Уравнения равновесия
n
T
  i Gi  0,
Отдельный элемент матрицы
~  K S
J kj  SkT Gk
 SkT G
k
k
j
j k
~
 0 Fk 
~
Gk   ~ ~ 
 Fk Lk 
0
0
Ki  ~ ~
 Fi Fi ~
ri
Fkj 
Dij 
Fkj 

K k  Kk 
 C0Ti DimC0m  
 Ki
iD k 

 Dim
iB k  mB  j 

 Dij   Dim
 Dim
mD  j 
 Dij  Dkj   Fij
iB k 
jB k , j k
 SkT Fkj S j
F 
Gk   k   C0Tk Gk   Gm
 Lk 
mD k 
iB k  mB  j 
mB  j 
jJ k 
 SkT K j S j
iD k 
Максимальная вычислительная
сложность алгоритма 42n 2  O n 
2
умножений и 77n  O n  сложений
(взаимодействуют все пары тел)
Минимальная вычислительная
сложность алгоритма 6n 2  O n 
2
умножений и 5n  O n  сложений
(силы тяжести, шарнирные силы,
взаимодействие с окружающей
средой)
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Моделирование рельсовых экипажей (РЭ) (1)
Особенности моделирования РЭ
• Соотношения кинематики линеаризуются, матрица масс постоянная
• Интегрирование уравнений производится, как правило, с постоянным шагом с
использованием метода Гира
• Колесная пара является стандартной подсистемой с 5-7 степенями свободы
• Силы взаимодействия колеса с рельсом определяются стандартной
процедурой
Основные решаемые задачи
• Расчет критической скорости
• Сход экипажа
• Динамика РЭ в полной пространственной постановке, в прямых и
кривых участках пути, с учетом и без учета неровностей путевой
структуры с одновременным расчетом переменных, характеризующих
динамические показатели РЭ: ускорения произвольных точек любого
тела, коэффициенты динамики, усилия в тягах и поводках, рамные силы,
силы в контакте колесо/рельс, коэффициенты безопасности и так далее.
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Моделирование рельсовых экипажей (2)
Основные решаемые задачи
• Оптимизация параметров экипажа
Улучшение ходовых качеств
Снижение износа
Радиальные установки
Тележка тепловоза ЭП10 с радиальной
установкой
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Моделирование рельсовых экипажей (3)
Основные решаемые задачи
• Динамика РЭ с использованием
гибридных моделей
Гибридная модель
автомотрисы АС4
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Моделирование рельсовых экипажей (4)
Модель грузового вагона
Исследования выполнены совместно с кафедрой “Вагоны” Уральского
государственного университета путей сообщения
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Моделирование рельсовых экипажей (5)
Математическая модель контакта точка-плоскость
Нормальная реакция
N  c  
Сила трения: режим скольжения F f   fNes ,
режим сцепления
vs
Fg , rg 0

es  vs vs

F f  Fg  cs rg  rg 0   s vs
- скорость скольжения
- сила трения и радиус-вектор
точки контакта в момент
перехода к режиму сцепления
Приближенная матрица Якоби для
нормальной реакции (контакт с телом 0)


 nnT
D  c   
~ T
 2nn
2
~ 
 nnT 
2 
T
~ nn 
~ 

2
2
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Моделирование рельсовых экипажей (6)
Фрикционные клинья
различных типов
Схема эксперимента
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Моделирование рельсовых экипажей (7)
Универсальный
Механизм
Сравнение экспериментальных и
расчетных данных
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Моделирование рельсовых экипажей (8)
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Якорная система морской платформы
Число внешних подсистем - 8
Число уравнений связей
- 48
Число тел
- 81
Число степеней свободы
- 154
Число координат
- 202
Длина троса
- 380м
Универсальный
Механизм
Модель разработана дипл.-инж. У.Вильке, каф.Морской техники и механики,
ТУ Гамбург-Гарбург
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Модель конвейера-питателя
Число внешних подсистем - 18
Число тел
Число степеней свободы
- 495
- 202
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Направления дальнейших исследований (1)
Геометрически нелинейные гибридные системы
Изгиб балки под действием
нагрузки
Свободные колебания гибкой балки под
действием силы тяжести
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.
Направления дальнейших исследований (2)
КЭ пластины с введением абсолютных
координат
Универсальный
Механизм
Семинар ИКИ РАН: Механика, Управление и Информатика. Москва, 18 октября 2001г.