Исследование операций

Исследование операций
1 лекция в неделю (9-11)
1 практика в 2 недели (4-6)
Лектор – проф. ЕРЗИН Адиль Ильясович
Ком. 223 (Институт математики СО РАН)
Тел. 3634-623
E-mail: [email protected]
Лекции - http://math.nsc.ru/LBRT/k4/LOR/
Практика - http://math.nsc.ru/LBRT/k4/or/
+ Семинары – к.ф.-м.н. Тахонов И.И.
Правила игры
• 4 (домашние) задачи
• письменный экзамен (конец апреля – начало мая)
• устный (open book) экзамен (во время сессии)
• 3 попытки…
Вид деятельности
Количество баллов
Работа на семинаре у доски
0-5
Активная работа на семинаре
1-5
Домашние задачи
0-10
Письменный экзамен
0-10
Оценка
Необходимые условия
«отлично»
(≥ 25 баллов) & (решены 4 задачи) & (п. экз. ≥ 6 баллов)
«хорошо»
(≥ 20 баллов) & (решены 4 задачи)
«удовлетворительно»
Либо ≥ 15 баллов, либо ≥ 11 и ≥ 1 за работу на семинаре
Литература
1. Береснев В.Л., Дементьев В.Т. Исследование операций. Введение: Учеб.
пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1979.
2. Гимади Э.Х., Глебов Н.И. Экстремальные задачи принятия решений:
Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1982.
3. Гимади Э.Х., Глебов Н.И. Дискретные экстремальные задачи принятия
решений: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1991.
4. Ерзин А.И. Введение в исследование операций: Учеб. пособие,
Новосибирск: Изд-во НГУ, 2006. math.nsc.ru/LBRT/k4/LOR.
5. Гончаров Е.Н., Ерзин А.И., Залюбовский В.В. Исследование
операций. Примеры и задачи: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во
НГУ, 2005. math.nsc.ru/LBRT/k4/or.
6. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Физматлит,
2004.
7. Форд Л., Фалкерсон Д. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966.
8. Wolsey L.A. Integer Programming. New York: John Wiley & Sons, Inc,
1998.
Немного истории…
1935 – Великобритания – ПВО
1938 – Operational Research
США – Operations Research – дальнейшее развитие…
Задачи ИО:
• целераспределения
• быстродействия
• упаковки
• о рюкзаке…
В рамках ИО рассматриваются задачи:
• ЛП, ЦЛП, СЛП
• теории расписаний и сетевого планирования
• транспортные задачи и задачи о назначениях
• маршрутизации и построения оптимальных структур
• теории игр
• потоки в сетях
• управления запасами
• теории массового обслуживания
•…
Эйлер: «Все явления в Мире подчинены оптимизации, и нет
никаких сомнений, что всё рациональное может быть объяснено
оптимизационными методами»
Мат. анализ и экстремальные задачи
• f (x) – гладкая выпуклая/вогнутая  f (x) = 0…
• x  D  градиентный метод; метод множителей Лагранжа;
метод штрафных функций…
• f (x) – линейная и мн. D задано линейными (не)равенствами…
Симплекс метод…
• f (x) – строго унимодальная ф. одной переменной 
дихотомия, метод золотого сечения (метод Фибоначчи)…
Принятие решений
Какое решение является наилучшим? Ответ можно искать на
основе опыта и здравого смысла
Но:
• решений много…
• трудно представить реакцию системы на управление из-за ее
сложности
Основной способ ИО – это переход от качественной модели к
математической  математическое моделирование –
основной метод ИО
Будем понимать под ИО науку о математических
моделях и методах принятия оптимальных решений
Мат. моделирование
Математическая модель  объективная схематизация
основных аспектов решаемой задачи, или описание задачи в
математических терминах.
Общий вид математической модели:
max f ( x ), или max{ f ( x ) : x  D}, или f ( x )  max,
xD


• задача ЦЛП: max cx : Ax  b, x  Z ;
• задача булевого ЛП: max cx : Ax  b, x  B ;
• задача ЛП:
max cx : Ax  b, x  Rn ;
n

n
• задача смешанного ЛП:
cx  hy  max;
Ax  By  b;
x  Rn , y  Z n .
xD
Алгоритм Гаусса для решения системы линейных уравнений
The Nine Chapters on the Mathematical Art. 2nd century BC,
New York Times of November 7, 1979: “A surprise discovery by an
obscure Soviet mathematician has rocked the world of mathematics”.
Этот неизвестный математик – Л.Г. Хачиян.
Он модифицировал метод эллипсоидов, который был разработан
для нелинейного программирования Н.З. Шором и др., и доказал
его полиномиальность. Это была сенсация!
На практике метод эллипсоидов работал плохо…
Karmarkar (1984)
Мат. моделирование
Если целевая функция или/и ограничения нелинейные, то такая
модель называется нелинейной.
Оптимизационные задачи, в которых переменные принимают
значения из конечного множества, называют задачами
дискретной (или комбинаторной) оптимизации.
Комбинаторные постановки задач часто можно записать в виде:


min  ci : S  F 
SN
 iS

где ci  R, i  N и F – заданное множество подмножеств мн.
N = {1, …, n}.
Булева задача о ранце (ЗР)
Дано:
N – множество предметов;
A – емкость ранца;
cj ≥ 0 ценность предмета;
aj ≥ 0 – объем (вес) предмета.
Требуется выбрать подмножество предметов максимальной
ценности, объем которых не превосходит A.
n
n
Мат. постановка: max
n
xB
c x ; a x
j 1
Комбинаторная постановка:
j
j
j 1
j
j
 A.
max { c j :  a j  A}.
SN
jS
jS
Задача коммивояжёра (КМ)
Дано:
N – множество городов;
cij ≥ 0 – расстояние (стоимость переезда).
Требуется найти гамильтонов цикл min длины.
n
n
minnn  cij xij .
xB
x
 1, i  1, ..., n;
x
 1,
ij
j: j i
ij
i:i  j
 x
iS jS
или
 x
iS jS
i 1 j 1
ij
ij
j  1, ..., n.
 1, S  N , S  ,
| S | 1, S  N , 2 | S | n  1.
Пример КМ
1
3
2
4
5
6
7
8
9
Задача производства и хранения продукции
Дано:
dt ≥ 0 – потребности;
ft ≥ 0 – фиксированные затраты;
pt ≥ 0 – стоимость производства единицы продукции;
ht ≥ 0 – стоимость хранения единицы продукции.
Требуется определить план: потребности удовлетворены, и
суммарные затраты, связанные с производством и хранением, min
Переменные:
xt – объем продукции, выпущенной в течение дня t;
st – количество продукции на складе к концу дня t;
yt = 1, если в день t осуществляется производство и yt = 0 в
противном случае.
Задача производства и хранения продукции
min
xRn ,sRn 1 , yB n
n
n
n
t 1
t 1
t 1
(  pt xt   ht st   f t yt ).
xt  Cyt , t  1, ..., n.
st 1  xt  d t  st , t  1, ..., n.
s0  0, st , xt  0, yt {0, 1}, t  1, ..., n.
n
Если доп. потребовать, что sn = 0, то xt  y t  d i , t  1, ..., n.
t
и справедливо равенство st   ( xi  d i ).
i 1
Тогда пер. st можно исключить
i t