Графический метод решения задач

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО
ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Авторы: Смирнова Светлана Владимировна,
Смирнова Надежда Вячеславовна
© МОУ Гимназия № 8 2007- 2008год
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ГРАФ
Алгоритм решения задачи по ориентированному
(вероятностному) графу:
• Выбрать те ветви графа, которые
соответствуют благоприятным исходам
испытания
• Вычислить вес каждой отмеченной ветви,
перемножив вероятности, записанные возле
каждого ребра ветви
• Если отмеченных ветвей несколько, то нужно
сложить веса всех отмеченных веток – это и
будет ответ
ВСЯ НАША ЖИЗНЬ ИГРА!
Школьник подготовил к экзамену 20 билетов из 25. в каком
случае шансы взять известный билет больше – когда он берет
билет первым или вторым?
Если он берет первым, то вероятность взять известный билет Р = 20/25
Рассмотрим ситуацию, когда он берет билет вторым:
2 школьник
должен взять известный билет
1 школьник
20/25
5/25
20
5
19/24
20/24
Р = 20/25*19/24 + 5/25*20/24 = 4/5
Вывод: одинаково успех гарантирован только на 4/5.
УЧИТЕ ВСЕ БИЛЕТЫ!
а)
ЗАДАЧА: четверо тянут жребий по
короткой спичке одной из
а) 4; б) 5; в) 6
Определить стратегию на успех.
к
1/4
д
3/4
б)
1/5
в)
д
2/3
1/2
1/2
к
1/1
д
1
2
3
4
1
к
к
к
к
к
д
4/5
к
1/3
1/4
3/4
д
1/3
2/3
д
1/2
1/2
д
1
к
Р1 =1/4
Р2 =3/4*1/3=1/4
Р3=3/4*2/3*1/2=1/4
Р4=3/4*2/3*1/2*1=1/4
Р1 =1/5
+4/5*3/4*2/3*1/2*1=2/5
Р2 =4/5*1/4=1/5
Р3=4/5*3/4*1/3=1/5
Р4=4/5*3/4*2/3*1/2=1/5
Аналогично рассуждая получим, что вероятность вытянуть
жребий будет одинаковый у первого и второго игрока и
его вероятность будет больше, чем у третьего и
четвертого.
ВЫВОД: Если спичек больше, чем игроков, то шансы
больше у тех, кто начинает данную процедуру.
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ГРАФ
Применяется в задачах, когда противники не равносильны.
Пусть вероятность выигрыша одной игры для первого игрока равна 0,3, а
вероятность выигрыша для второго игрока соответственно равна 0,7. Как в таком
случае разделить ставку?
0,3
А
0,3
0,7
Б
0,7
Б
А
0,7
0,3
А
Б
0,3
0,7
0,3
0,7
0,3
0,7
0,3
0,7
А
Б
А
Б
А
Б
А
Б
0,3
А
0,7
Б
0,3
А
0,7
Б
0,3
А
0,7 0,3
Б
А
0,7 0,3
Б
А
Р(А)=
0,7
Б
0,3
А
0,7
Б
0,3
А
0,7
Б
0,3
0,7
А
Р(Б) =
Б
ТЕОРЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТРАТЕГИЯ ИГРОКА
Задача Монти – Холла
(американская Телеигра «Заключим пари»)
За одной из трех дверей находится приз – автомобидь, за
двумя другими – пустая комната. Играющему предлагается
открыть одну из трех дверей.
Игра проходит в три этапа:
1. Игроку предлагают выбрать дверь
2. Ведущий открывает одну из двух оставшихся. (он знает
где приз и никогда не откроет эту дверь)
3. Игроку предоставляется выбор – оставить свой выбор
прежним или изменить его
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ГРАФ
Выбор игрока
Размещение
автомобиля
1/3
1/3
1/3
1
1
1/3
1/3
1/3
Стоит
на
своем
1/2
1/2
1
1
1/3
1/3
Стратегия выигрыша
1
1/3
1/3
Выбор ведущего
1/2
1/3
1/3
1/2
Меняет
выбор
1
1/2
1/2
• Р(А)=1/3*1/3*1/2*6=1/3
Р(Б) =1/3*1/3*1*6=2/3