Тема: Показатели вариации и анализ частотных распределений

СТАТИСТИКА
Громова Т.В. ст. преподаватель
Кафедра менеджмента ИСГТ
176 - НТБ
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Вариация признака в совокупности
• Величины признаков колеблются,
варьируют под действием различных
причин и условий, которые называют
факторами.
• Вариация,
порождаемая
существенными
факторами, носит систематический характер, т.е.
наблюдается
последовательное
изменение
вариантов признака в определенном направлении.
Такая вариация называется систематической.
2
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Определение вариации
• Вариацией называется
колеблемость, многообразие,
изменяемость величины признака
у единиц совокупности.
3
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
• Под вариацией в пространстве понимается
колеблемость значений признака по отдельным
территориям.
• Вариация во времени – изменение значений
признака в различные периоды (или моменты)
времени.
4
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Все показатели в зависимости от характеризуемых
ими особенностей можно разделить на 3 группы
1. Показатели центра распределения
 средняя арифметическая
 мода
 медиана
2. Показатели типа (формы) распределения
 квартили
 децили
 показатели асимметрии и эксцесса
 кривые распределения
5
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
3. Показатели степени вариации
Абсолютные показатели
 размах вариации
 среднее линейное отклонение
 дисперсия
 средне квадратическое отклонение
Относительные показатели
 коэффициент осцилляции
 линейный коэффициент вариации
 коэффициент вариации
6
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Модой распределения – величина
изучаемого признака, которая наиболее
часто встречается в данной совокупности.
Для упорядоченного дискретного ряда
распределения модой будет варианта,
имеющая наибольшую частоту.
7
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений

f Mo  f Mo1 
M O  xMo 
 hMo
 f Mo  f Mo1    f Mo  f Mo1 
f Mo
- частота модального интервала;
f Mo1 - частота предмодального интервала;
f Mo1 - частота послемодального интервала;
xMo - нижняя граница модального интервала;
hMo - величина модального интервала.
8
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Медиана – величина изучаемого признака, которая
располагаются в середине упорядоченного
вариационного ряда.
Me  xMe 
1
f

2
i
 S Me1
f Me
 hMe
f Me - частота медианного интервала;
S Me1 - сумма накопленных частот
предшествующая медианному интервалу;
xMe - нижняя граница медианного интервала;
hMe - величина медианного интервала.
9
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Квартили делят ранжированную совокупность на 4
равные части.
Различают квартиль нижний (Q1), отделяющий 1/4
часть совокупности с наименьшими значениями
признака.
квартиль верхний (Q3) отсекающий 1/4 часть
совокупности с наибольшими значениями
признака.
10
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Нижний квартиль
Q1  xQ1 
1
f

4
i
 SQ1 1
f Q1
 hQ1
f Q1 - частота интервала содержащего нижний квартиль;
SQ1 1 - сумма накопленных частот предшествующих интервалу
содержащему нижний квартиль;
xQ1 - нижняя граница интервала содержащего нижний
квартиль;
hQ - величина интервала содержащего нижний квартиль.
1
11
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Q3  xQ3 
f Q3
3
f

4
i
 S Q3 1
f Q3
 hQ3
- частота интервала содержащего верхний
квартиль;
SQ3 1 - сумма накопленных частот
предшествующих интервалу содержащему верхний
квартиль;
xQ3 - нижняя граница интервала содержащего
нижний квартиль;
hQ3 - величина интервала содержащего верхний
квартиль.
12
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
• Децили делят ранжированную совокупность на
десять равных частей.
• В ряду распределения выделяют девять децилей.
• Первый дециль
1  f S
i
D1 1
10
D1  xD1 
 hD1
f D1
f D1
- частота интервала содержащего первый дециль;
S D1 1- сумма накопленных частот предшествующих
интервалу содержащему первый дециль;
x D1- нижняя граница интервала содержащего первый
дециль;
13
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Моменты распределения
• Способ моментов разработал П. Л.
Чебышев
• Применил А.А. Марков для
рассмотрения возможностей
использования закона нормального
распределения при изучении сумм
большого, но конечного числа
независимых случайных величин.
14
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Кривые распределения.
Показатели асимметрии и эксцесса
• Кривая распределения выражает
графически закономерность
распределения единиц совокупности по
величине варьирующего признака.
15
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
КРИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ЭМПИРИЧЕСКАЯ
КРИВАЯ
фактическая кривая
распределения,
полученная по данным
наблюдения, в которой
отражаются как общие,
так и случайные условия,
определяющие
распределения.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
КРИВАЯ
кривая, выражающая
функциональную связь
между изменением
варьирующего признака и
изменением частот и
характеризующая
определенный тип
распределения.
16
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
СИММЕТРИЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Мо=Ме=Х
17
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Коэффициент асимметрии
3
As  3

 As
6(n  1)

(n  1)  (n  3)
18
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Асимметрия положительная As>0
Мо<Ме<Х
19
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Асимметрия отрицательная As<0
Мо>Ме>Х
20
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Эксцесс
4
Ek  4  3

 Ek
24n  (n  2)  (n  3)

2
(n  1)  (n  3)  (n  5)
21
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
22
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Абсолютные показатели вариации
Размах вариации - разность между экстремальными
значениями признака в совокупности; это разность
между наименьшей и наибольшей вариантой.
Имеет единицу измерения, совпадающую с единицей
измерения признака у единиц совокупности
R  xmax  xmin
23
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Среднее линейное отклонение - представляет собой
среднюю из абсолютных значений отклонений
вариант от их средней.
Для несгруппированных
данных
x x

d
i
n
Для сгруппированных
данных
x x f

d
f
i
i
i
24
Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов
отклонений каждого значения признака от средней
величины.
2

x  x


2

2

2

x  x  f


f
i
i
n
для несгруппированных
для сгруппированных
данных
данных
Среднее квадратическое отклонение – показатель степени
однородности изучаемой совокупности.
 x  x 

n
для несгруппированных
данных
 x  x   f
f
2
2

i
i
для сгруппированных
данных
25
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Относительные показатели вариации
• 1. Относительный размах вариации
R
VR  100%
(коэффициент осцилляции).
x
• 2. Относительное линейное отклонение
(линейный коэффициент вариации).
d
Vd  100%
x
• 3. Коэффициент вариации.
V 

x
100%
26
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Дисперсия альтернативного признака
• Признаки, которыми обладают одни единицы
совокупности и не обладают другие,
называются альтернативными.
Количественно вариация альтернативного
признака проявляется в значении 0 (p) у
единиц, которые им не обладают, или в
значении 1 (q) у единиц, которые им обладают
27
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Среднее значение альтернативного признака
x f

x
f
p 1  q  0

p
pq
28
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Среднее квадратическое отклонение
альтернативного признака
 p  pq
Коэффициент вариации альтернативного
признака
p
pq
q
Vp  

xp
p
p
30
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Дисперсия альтернативного признака
  x  x   f  0  p   q  1  p   p
 


f
pq
2
2
2
p
 p q  q p   p  q   pq  pq
2
2
Максимальное значение дисперсии альтернативного
признака 0,25
26
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Энтропия распределения
• Мера неопределенности данных наблюдения,
которая может иметь различные результаты.
• Энтропия зависит от числа градаций признака и
от вероятности каждой из них.
• Энтропия показывает, имеется ли закономерность
в концентрации отдельных градаций у
наименьшего числа позиций или, напротив,
заполненность распределения одинаковая.
31
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Показатель энтропии Нх
H x   log 2 pi
• Если все варианты равновероятны, то
энтропия максимальна.
• Если все варианты, за исключением
одного, равны 0, то энтропия равна 0.
32
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Виды дисперсий в совокупности
разделенной на группы
• 1. Общая дисперсия.
измеряет вариацию признака во всей совокупности под
влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию.
• Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет
всех условий и причин, действующих в совокупности.

x  x  f


f
2

2
i
i
i
33
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
• 2. Межгрупповая дисперсия
характеризует систематическую вариацию, т.е.
различия в величине изучаемого признака,
возникающие под влиянием признака-фактора,
положенного в основание группировки.

x  x  f


f
2

2
i
i
i
34
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
• 3. Внутригрупповая дисперсия
отражает случайную вариацию, т.е. часть
вариации, возникающую под влиянием
неучтенных факторов и не зависящую от
признака-фактора, положенного в основание
группировки.

x  x


f
2

2
i
i
35
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
• Средняя из внутригрупповых дисперсий – это
средняя арифметическая, взвешенная из
дисперсий групповых

2
 f


f
2
i
i
i
36
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Правило сложения дисперсий
• Общая дисперсия равна сумме средней из
внутригрупповых и межгрупповой дисперсий.
• С его помощью, зная два вида дисперсий, можно
определить третий.
   
2
2
2
• Позволяет выявить зависимость результата от
определяющих факторов с помощью соотношения
межгрупповой дисперсии и общей дисперсии.
37
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Эмпирический коэффициент детерминации

  2

2
2
• Эмпирический коэффициент детерминации
показывает долю общей вариации
изучаемого признака, обусловленную
вариацией группировочного признака
38
Тема: Показатели вариации и анализ
частотных распределений
Эмпирическое корреляционное отношение

2
2
• Эмпирическое корреляционное отношение характеризует
влияние группировочного признака на вариацию
результативного признака.
• Если η=0, то группировочный признак не оказывает
влияние на результативный признак
• Если η=1, то результативный признак, изменяется только в
зависимости от группировочного признака, а влияние
прочих факторных признаков равно 0.
39