Золотое сечение 9 класс

Золотое сечение
9 класс
Золотое сечение
«…Геометрия владеет двумя
сокровищами – теоремой Пифагора и
золотым сечением, и если первое из них
можно сравнить с мерой золота, то
второе – с драгоценным камнем…»
Иоганн Кеплер
Деление отрезка
в золотом отношении
Построение
Дано: отрезок АВ.
Построить:
золотое сечение отрезка
АВ, т.е. точку С так,
чтобы СВ АС

.
АС АВ
l
●D
E
●
A
C
●
B
Построим прямоугольный треугольник, у которого один
катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в
точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нём отложим отрезок
BD = 0,5 AB.
Далее, соединив точки А и D, отложим отрезок DЕ = ВD, и,
наконец, АС = АЕ. Точка С является искомой, она производит
золотое сечение отрезка АВ.
Золотой треугольник
В
Золотым называется
такой равнобедренный
треугольник,
основание и боковая
сторона которого
находятся в золотом
отношении.
A
С
АС
φ
АВ
Золотой прямоугольник
L
K
M
KL
φ
KN
N
Прямоугольник,
стороны которого
находятся в золотом
отношении, т.е.
отношение ширины к
длине даёт число φ,
называется золотым
прямоугольником.
Золотая спираль
Золотое сечение и
золотая спираль в природе
Золотое сечение и золотая спираль в
природе
Сообщение
Оказывается, что у
большинства людей верхняя
точка уха (на рисунке это точка
В) делит высоту головы вместе
с шеей (т.е. отрезок АС) в
золотом отношении. Нижняя
точка уха, точка D, делит в
золотом отношении расстояние
ВС, т.е. расстояние от верхней
части уха до основания шеи.
Подбородок делит расстояние
от нижней точки уха до
основания шеи в золотом
отношении, т.е. точка Е делит в
золотом отношении отрезок DC.
Аполлон
Бельведерский
Измерения нескольких тысяч
человеческих тел позволили
обнаружить, что пупок делит
высоту человека в золотом
отношении. Основание шеи
делит расстояние от макушки
до пупка в золотом отношении.
Эти пропорции показаны на
изображении знаменитой
скульптуры Аполлона
Бельведерского. Аполлон
считается образцом мужской
красоты.
Работы Фидия
Зевс
Олимпийский
Скульптор Фидий
часто использовал
золотую пропорцию
в своих
произведениях.
Самыми
знаменитыми из них
были статуя Зевса
Олимпийского,
которая считалась
одним из семи чудес
света, и статуя
Афины Парфенос.
Афина Парфенос
Парфенон
Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах.
Парфенон – это одно из красивейших произведений древнегреческой
архитектуры. Он и сейчас, несмотря на то, что со времени его постройки прошло
более 2,5 тысячелетий, производит огромное впечатление. Некогда белоснежный
мрамор стал от времени золотисто-розовым. Величественное здание, стоящее на
холме из известняка, возвышается над Афинами и их окрестностями. Но поражает оно
не своими размерами, а гармоническим совершенством пропорций. Здание не
вдавливается своей тяжестью в землю, а как бы парит над нею, кажется очень лёгким.
Многие искусствоведы стремились раскрыть секрет того могучего эмоционального
воздействия, которое это здание оказывает на зрителя. Разгадку они увидели в том,
что в соотношениях многих частей храма присутствует золотая пропорция. Так,
отношение высоты здания к его длине равно . Отношения целого ряда частей
Парфенона дают число . Говорят, что «…у греческого храма нет размеров, у него есть
пропорции …»
Домашнее задание
А
С
В
D
K
F
L
M
N
1. Произвольный отрезок
разделите в золотом отношении.
E Используя полученные отрезки,
постройте золотой треугольник,
боковой стороной которого
является исходный отрезок.
2. На рисунке изображена
пентаграмма. Используя данные
обозначения и выполнив
необходимые измерения, найдите:
а) золотые сечения;
б) золотые треугольники.
Пентаграмма
Пентаграмма представляет
собой вместилище золотых
пропорций! Интересно, что
внутри пятиугольника можно
продолжить строить
пятиугольники и золотые
отношения будут
сохраняться.
Закон углов
В 1850 г. немецкий учёный
А. Цейзинг открыл так называемый
закон углов, согласно которому
средняя
величина
углового
отклонения ветки растения равна
примерно 138.
Угол между лучами-ветками
обозначим
через
α,
а
угол,
дополняющий его до 360,  через β.
Составим
золотую
пропорцию
деления полного угла, считая, что
угол β  большая часть этой
величины:
360
β

.
β
360  β
Отсюда получаем уравнение β 2  360 β  360 2  0 и находим
положительный корень β  180  180 2  360 2  180   1  5   180  1,236  222,48.
Тогда α  360  222,48  137,52  138.
Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки
соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный
угол при золотом сечении.
α
β

Деление отрезка в золотом отношении
J
«Начала Евклида»
Геометрическое решение
H
Y
A
B
E
C
K
D
На отрезке АВ построим квадрат
АВСD. Найдём точку Y, делящую АВ в
среднем отношении.
Соединим точку Е (середину АС) с
точкой В. На продолжении стороны СА
квадрата отложим отрезок ЕJ = ВЕ.
На
отрезке AJ построим квадрат AJHY.
Продолжение
стороны
HJ
до
пересечения с CD в точке К делит
квадрат ABCD на два прямоугольника
AYKC и YBDK.
Существует чисто геометрическое
доказательство,
что
прямоугольник
YBDK равновелик квадрату AJHY.