Применение метода координат при решении задач группы С в

Применение метода координат при
решении задач группы С в ЕГЭ по
математике
Агаджанян Степан Владимирович,
учитель математики МОУ СОШ № 26 г. Новороссийска
2011
Актуальность проблемы
• Задачи части «С» Единого государственного экзамена по
стереометрии в последнее время большей частью
посвящены
вычислению
расстояний
и
углов
в
пространстве. Такие задачи часто встречаются в практике,
поэтому им уделено особое внимание.
•Традиционный метод решения задачи опирается на
определения расстояния или угла, и требует от учащихся
развитого пространственного воображения, вследствие
чего вызывает у них непреодолимые трудности.
• Координатный метод в рамках школьной программы
используется достаточно ограниченно и неполно, так как
для
большинства
«школьных»
задач
«чисто
геометрический» способ оказывается предпочтительнее
(короче запись, меньше вычислений)
Три этапа формирования системы
знаний по теме «Метод координат»
I.Подготовительный этап.
Цель: воспроизведение знаний и умений,
необходимых для усвоения данной темы.
В
данном
случае
необходимо
владение
компонентами векторного и координатного
методов
в
пространстве,
алгоритмом
построения уравнения плоскости.
Алгоритм построения уравнения
плоскости
1-й способ.
1.
2.
3.
Найдем координаты трех точек, принадлежащих плоскости А(х1,у1,z1),
В(х2,у2,z2), С(х3,у3,z3).
Зададим произвольную точку М(х,у,z), принадлежащую плоскости.
На основе свойства компланарности векторов, составим определитель
третьего порядка и приравняем его к 0:
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1 y2  y1 z2  z1  0
x3  x1 y3  y1 z3  z1
4.
Вычислив определитель, получим уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0
Алгоритм построения уравнения
плоскости
2-й способ.
1.
Найдем координаты трех точек, принадлежащих плоскости А(х1,у1,z1),
В(х2,у2,z2), С(х3,у3,z3).
2.
Подставив координаты найденных точек в уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0,
и решая систему
 Ax1  By1  Cz1  D  0,

 Ax2  By 2  Cz2  D  0,
 Ax  By  Cz  D  0,
3
3
 3
находим коэффициенты А, В, С и D.
Формула нахождения угла между
прямыми в пространстве
cos  
axbx  a y by  az bz
a a a
2
x
2
y
2
z
b b b
2
x
2
y
2
z
где a x , a y , a z , bx , by , bz - координаты
направляющих вектора заданных прямых
Формула нахождения угла между
двумя плоскостями
cos  
A1 A2  B1 B2  C1C2
A  B C
2
1
где А1 , В1 , С1 ,
2
1
2
1
A  B C
2
2
А2 , В2 , С2  -
векторы нормали данных плоскостей
2
2
2
2
,
Формула нахождения угла между
прямой и плоскостью
sin  
Aax  Ba y  Caz
A  B C
2
2
2
a a a
2
x
2
y
2
z
,
где a x , a y , a z - направляющий вектор прямой,
а A, B, C - вектор нормали плоскости.
Формула нахождения расстояния d от
точки М(х0,у0,z0) до плоскости α, заданной
уравнением Ax+By+Cz+D=0
d
Ax0  By 0  Cz0  D
A  B C
2
2
2
Три этапа формирования системы
знаний по теме «Метод координат»
II. Мотивационный этап.
Цель: убедить учащихся в необходимости
овладения методом.
Рассмотрим применение данной теории на
примере решения задачи двумя способами:
«чисто геометрическим» и координатным.
Задача С2 (вариант № 5, КДР, январь 2011). В основании треугольной
пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС со стороной 4.
Вершина пирамиды S проектируется в середину ребра основания. Через
это ребро и середину противолежащего ребра проведена плоскость.
Найдите расстояние от вершины пирамиды S до этой плоскости, если
длина высоты равна 2.
1-й способ
Через ребро SB и середину D ребра АС проведем
плоскость, которая пересекается с плоскостью
АМС по прямой MD. В плоскости SDB опустим
перпендикуляр SP на прямую DM. Плоскость
SDB, очевидно, перпендикулярна прямой АС
(АС  BD и АC  SD) ), в частности АC  SP.
Поэтому SP – перпендикуляр к плоскости АМС.
Так
как
М
–
середина
гипотенузы
прямоугольного треугольника SDB, то углы BSD
и SDM равны, а значит треугольники SDB и SPD
подобны, и мы имеем соотношение
SD SB
SD  BD 2  2 3

. Отсюда SP 

 3
SP BD
SB
4  12
08.05.2016
11
2-й способ (координатный)
Выберем систему координат как показано на рисунке и
Выпишем координаты вершин данной пирамиды и точки
М в этой системе координат:
А(0;2;0), В(2 3;0;0), С(0;2;0), S(0;0;2), М( 3;0;1)
Найдем теперь уравнение плоскости АМС в выбранной
системе координат, для чего подставим в уравнение
плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 координаты точек А, М и С.
Решая систему
  2В  D  0

 3A  C  D  0
 2B  D  0

находим коэффициенты: D=0, B=0, С=  3 А
Таким образом, уравнение плоскости АМС имеет вид Ах  3 Аz  0
или, после упрощения, x  3z  0 Тогда расстояние d от точки S до
2 3
2 3
плоскости АМС d  Ax0  By 0  Cz 0  D 

 3
2
2
2
08.05.2016
A  B C
1 3
2
12
Три этапа формирования системы
знаний по теме «Метод координат»
III. Ориентировочный этап.
Цель: ознакомление учащихся с операционным
составом действия, подлежащего усвоению.
На данном этапе необходимо объяснить суть
метода, выделить его основные
компоненты, разъяснить приемы решения
задач.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, «Метод координат» - это
мощный аппарат для решения многих
геометрических задач. Он не требует
рассмотрения сложных конфигураций, а
сводит
геометрические
задачи
к
алгебраическим, решить которые обычно
легче, чем исходные геометрические.