Аппрокс-я.. параметр-ки заданными сплайнами

Аппроксимация
экспериментальных данных
параметрически заданными
сплайнами
В.Г. Калмыков
Институт математических машин
и систем, Киев
vl.kalmykov@gmail.com
Примеры экспериментальных данных
Спектрограммы сыворотки крови для диагностики рака
(по др. Владимирову)
0,0950
Оптическая плотность
Оптическая плотность
localization is a stomach
0,0910
0,0869
0,0829
0,0788
0,0436
0,0429
0,0422
0,0414
0,0407
0,0748
374
388
402
416
430
444
458
472
0,0400
486
374
388
402
416
430
444
458
0,1124
0,1077
0,1030
0,0983
472
486
Длина волны, нм
Оптическая плотность
Оптическая плотность
Длина волны, нм
0,0745
0,0731
0,0717
0,0704
0,0690
0,0936
0,0676
0,0889
374
388
402
416
430
444
458
472
486
Длина волны, нм
Wavelength
374
388
402
416
430
444
458
472
486
Длина волны, нм
Примеры экспериментальных данных
Спектрограммы сыворотки крови для диагностики рака
(по др. Владимирову)
0,0725
Оптическая плотность
Оптическая плотность
localization is a mammary gland
0,0711
0,0696
0,0682
0,0893
0,0872
0,0851
0,0830
0,0809
0,0667
0,0788
0,0653
374
388
402
416
430
444
458
472
374
486
388
402
416
430
444
458
Оптическая плотность
Оптическая плотность
0,0892
0,0850
0,0808
0,0767
0,0725
472
486
Длина волны, нм
Длина волны, нм
0,0935
0,0879
0,0823
0,0767
0,0711
0,0683
0,0655
374
388
402
416
430
444
458
472
486
Длина волны, нм
Wavelength
374
388
402
416
430
444
458
472
486
Длина волны, нм
Примеры экспериментальных данных
Спектрограммы сыворотки крови для диагностики рака
(по др. Владимирову)
0,1115
Оптическая плотность
Оптическая плотность
localization is a liver
0,1091
0,1067
0,1044
0,1020
374
388
402
416
430
444
458
0,0621
0,0598
472
0,0551
486
Длина волны, нм
0,1099
0,1080
0,1060
0,1041
374
388
402
416
430
444
458
472
486
Длина волны, нм
0,0635
0,0618
0,0601
0,0584
0,0568
0,1021
0,1002
0,0645
0,0574
Оптическая плотность
Оптическая плотность
0,0996
0,0668
0,0551
374
388
402
416
Wavelength
430
444
458
472
486
Длина волны, нм
374
388
402
416
430
444
458
472
486
Длина волны, нм
Параметрически заданные
сплайны используются для
аналитического представления
объектов сложной формы.
х1,у1
yt   y0t 3  y1t 2  y2t  y3
х3,у3
х2,у2
х0,у0
xt   x0t 3  x1t 2  x2t  x3
Кривая Безье – частный случай
параметрически заданного
сплайна
x(t )  x0  (1  t )  3  x1  (1  t )  t  3  x2  (1  t )  t 2  x3  t 3
3
2
y (t )  y 0  (1  t )  3  y1  (1  t )  t  3  y 2  (1  t )  t 2  y3  t 3
3
2
v = { х0,у0, х1,у1, х2,у2, х3,у3}
Пространственное представление
параметрически заданной кривой
y
y = φ(t)
y = f(x)
x
z = θ(x,y) =
= θ( ψ(t),φ(t))
t
x = ψ(t)
Задача: найти значения коэффициентов
параметрически заданной полиномиальной кривой
для аппроксимации экспериментальных данных.
D  min
v
iN
 d (e , f ( x, y))
i
i 1
Экспериментальные
данные { ei | i = 1,N}
Approximating curve
1 – начальное положение
2 2 – конечное положение
2
1
1
Экспериментальные данные как измеренные значения
некоторой неизвестной функции, искаженные помехами
y
y
y
x
x
x
Аппроксимация
произвольного
графика
экспериментальных данных кривой Безье
Заменяющая кривую v
ломаная линия W: v  W
Точки излома  с шагом Δt
Начальное положение
аппроксимирующей
кривой v=[x (t), y (t)]
Минимизируемая
площадь S
Аппроксимируемый
график E=(e1,e2,…eN).
v opt  argmin S E ,W 
v
S ( E, W ) 
M
e
n 1
x(t )  x0  (1  t )3  3  x1  (1  t )2  t  3  x2  (1  t )  t 2  x3  t 3
v
Y (t )  y0  (1  t )3  3  y1  (1  t )2  t  3  y 2  (1  t )  t 2  y3  t 3
m
 wm
0,1029
Оптическая плотность
Оптическая плотность
Результаты аппроксимации
0,0960
0,0891
0,0822
0,0752
0,0880
0,0845
0,0809
374
388
402
416
430
444
458
472
486
0,0774
Длина волны, нм
0,0761
0,0740
0,0718
0,0696
0,0675
0,0653
0,0916
Оптическая плотность
Оптическая плотность
0,0683
0,0951
374
388
402
416
430
444
458
472
486
Длина волны, нм
0,0498
0,0466
0,0434
0,0403
0,0371
374
388
402
416
430
Wavelength
444
458
472
486
Длина волны, нм
0,0339
374
388
402
416
430
444
458
472
486
Длина волны, нм
Оптическая плотность
Оптическая плотность
Результаты аппроксимации
Длина волны, нм
Оптическая плотность
Оптическая плотность
Длина волны, нм
Длина волны, нм
Wavelength
Длина волны, нм
0,0680
Оптическая плотность
Оптическая плотность
Результаты аппроксимации
0,0644
0,0608
0,0680
0,0644
0,0608
0,0572
0,0572
0,0536
0,0536
0,0500
0,0500
374
388
402
416
430
444
458
472
374
486
388
402
416
430
444
458
Оптическая плотность
Оптическая плотность
0,0822
0,0792
0,0763
0,0733
472
486
Длина волны, нм
Длина волны, нм
0,1164
0,1106
0,1047
0,0988
0,0704
0,0929
0,0674
374
388
402
416
430
444
458
472
486
Длина волны, нм
Wavelength
0,0871
374
388
402
416
430
444
458
472
486
Длина волны, нм
Аппроксимация поверхности
Аппроксимация поверхности (пример)
S (v, Pn ) 
m m r
 V (m)  p (m)  
t
n
m  ml
где ml , mr  соответственно левая и правая
граничные точки каждой строки прямоугольника,
описывающего объект; =1, при mb(n)  m me(n),
иначе =0; mb(n), me(n),- левая и правая граничные
точки n-ной строки объекта.
Аппроксимация поверхности (пример)
Аппроксимация поверхностей сложного объекта
Approximation of the spatial object surfaces
а
a
b
c
d
Кодирование и редактирование полутонового объекта.
а) Исходное изображение;
b) Проекции пространственных сплайнов на плоскость хОу.
c) Проекции пространственных сплайнов на плоскость yОz.
d) Изображение поверхности и управляющих пространственных сплайнов.
Распределение изотерм в
различных структурногеологических условиях при
соотношении коэффициента
теплопроводности K1 < K2: а сброс; б - куполообразное тело
внедрения; в - антиклинальная и
синклинальные складки; г дайковый комплекс (дайки (англ.
dykes) — жилы лавы или вообще
вулканической породы, стоящие
приблизительно вертикально и
расходящиеся в вулканическом
конусе радиально от центра через
рыхлую массу пепла и т. п.
образований, из которых сложен
конус.); 1 - изотермы; 2 геологические границы.
Аппроксимация экспериментальных
данных параметрически заданными
сплайнами
Работа выполнена коллективом авторов
Института математических машин и систем
Киев:
Вишневский В.В., Власова Т.М.,
Калмыков В.Г., Романенко Т.Н.
Спасибо за внимание !