Лекция 7. Анализ напряженного состояния Напряжения на

Лекция 7. Анализ напряженного состояния
Твердое тело реагирует на внешнее воздействие целиком, как сплошная
среда. Но реакция в каждой точке тела будет различной.
Математическое описание этой реакции в выбранной точке тела
зависит от выбора системы координат, связанной с этой точкой.
Напряжения на наклонной площадке при
растяжении стержня
Fx
Fn 
cos  
Спроектируем все силы на направление нормали n,
 n Fn   x Fx cos   0 ,
Спроектируем все силы на направление оси t,
 nt Fn   x Fx sin    0 ,
 n   x cos2  
 nt   x sin   cos 
Напряжения на наклонной площадке при
растяжении стержня (продолжение)
 x  cos (  )
 n( )
 nt (  )
2
 x  cos (  )  sin (  )
Нап ряж ен и я, М Па
100
50
0
0
20
40
60
80
Угол наклона площадки, градусы
Нормальное напряжение
Касательное напряжение
100
Напряженное состояние в произвольной точке
 x  yx  zx
   xy  y  zy
 xz  yz  z
Касательные напряжения должны удовлетворять условиям равновесия –
сумма обусловленных ими вращающих моментов должна быть равна нулю.
Из этого следует закон парности касательных напряжений:
 xy   yx
 yz   zy  zx   xz .
Касательные напряжения, действующие на взаимно
перпендикулярных площадках, равны и направлены либо к
общему ребру, либо от ребра.
Теория упругости доказывает, что
1. Всегда существуют площадки, на которых отсутствуют касательные
напряжения.
2. Эти площадки взаимно перпендикулярны и называются главными
площадками.
3. На трех главных площадках действуют только нормальные
1
напряжения, которые называют главными. Их обозначают как
2
и
 3 , причем, по соглашению,
y
y1
1   2   3 .
2
1
х
z
 xy
z1
3
x1
,
Теория упругости доказывает, что
(продолжение)
1. Напряжения  1
и  3 - это экстремальные значения нормальных
напряжений для всех площадок, проходящих через данную точку.
2. Тензор главных напряжений
123
имеет диагональный вид.
3. Наибольшие касательные напряжения
 max 
1   3
2
 max
и действуют на площадке, наклоненной к  1
равны
и 3
на 45°.
3
1
0
 123  0
2
0
0
0
0
3
 max
1
z1
3
x1
1
Классификация напряженных состояний
Трехосное или объёмное
1  0
2  0
3  0
Двухосное или плоское
1  0
2  0
3  0
 max   2  min   3
1  0
2  0
3  0
 max   1  min   3
1  0
2  0
3  0
 max   1  min   2
Одноосное или линейное
1  0
1  0
2  0
2  0
3  0
3  0
Для уверенного определения типа напряженного состояния
необходимо знать значения всех трех главных напряжений.
Анализ двухосного напряженного состояния
Fy
Fx
Fn 

cos   sin 
Спроектируем все силы на ось n
 n Fn   x Fx cos    y Fy sin   0
n 
Спроектируем все силы на ось t
 nt Fn   x Fx sin    y Fy cos   0
 x  y
2
 nt  

 x  y
2
 x  y
2
cos2 
sin2 
Круг Мора
 max   x
n 
 min   y
 max   min
2
 nt  

 max   min
2
 max   min
2
cos 2 
sin2 
A
 max   min
R
 max   min
2
2
Общий случай анализа двухосного НС
 xy   yx
(1)  n 
 x  y
(2)  nt  
2

 x  y
2
 x  y
2
cos2    xy sin2 
sin2    xy cos2 
Вычисление главных напряжений
Допустим, что наклонная площадка главная, т.е.  nt  0 .
Из уравнения (2) получаем направление главного напряжения
tan 2  
2 xy
 x  y
Уравнение (1) приводится к следующему виду:
n 
 x  y
2
 x  y
 max min
2
 x  y 
2
   xy
 
2


 n   max

 x  y 

2
2



 x
y

 
2
2
   xy

Частные случаи: растяжение и сжатие
Частные случаи: чистый сдвиг
Анализ трехосного напряженного состояния
• Рассмотрим частный случай трехосного НС
 max min

 x  y 

2
 1  max  max , min , z
 2  min max  max , min , z
 3  min  max , min , z
2
 x  y 
2

   xy
 
2

Круги Мора для трехосного НС
Поскольку главные напряжения – это экстремальные
значения напряжений для данного напряженного
состояния, то точки, соответствующие всем
возможным описаниям данного напряженного
состояния, лежат в закрашенной области, включая
точки на всех трех окружностях