Определение матрицы перехода

Определение матрицы перехода.
Пусть в линейном пространстве Ln заданы два базиса:
e = (e1, e2, …, en) (назовём его старым базисом) и
е = (e1', e2', …, en') (назовём его новым базисом).
Разложим векторы базиса e' по базису e:
e   t e  t e  ...  t e
n1 n
 1 11 1 21 2
e   t e  t e  ...  t e
12 1
22 2
n2 n
(1)
 2
...
 
en  t1n e1  t 2 n e2  ...  t nnen
 t11 t12 ... t1n 


 t 21 t 22 ... t 2 n 
Матрицу Т= 
называют матрицей перехода от базиса e к базису е .
... ... ... ... 


t

t
...
t
nn 
 n1 n 2
Равенства (1) в матричном виде удобно записывать так: е =е·Т (2).
Правило построения матрицы перехода
Для построения матрицы перехода от базиса e к базису е нужно для всех векторов
еi  нового базиса е найти их координатные столбцы в старом базисе е и записать их в
качестве соответствующих столбцов матрицы Т.
Теорема. Матрица перехода от одного базиса n-мерного линейного пространства Ln над
полем Р к другому его базису является невырожденной матрицей n-го порядка с
элементами из поля Р.
Теорема. Любая невырожденная квадратная матрица n-го порядка с элементами из поля Р
служит матрицей перехода от одного базиса n-мерного линейного пространства Ln над
полем Р к некоторому другому базису пространства Ln .
Связь координат вектора в разных базисах.
Пусть в линейном пространстве Ln заданы базисы e=(e1,e2,…,en) и е =(e1',e2', …,en')
с матрицей перехода Т от базиса е к базису e', т.е. верно е =еТ (2). Вектор а имеет в
базисах е и е координаты
  
 1 
 1 
 
 

ae =  2  ae =   2 
...
...
 
 
 
  
 n
 n 
1
  
 1 
 
 2  .
 ... 
 
  
 n 
Тогда с одной стороны, а=е∙ a e , а с другой стороны а= е a e  =(еТ) a e  .
Из этих равенств получаем: а=e a e =е(Т a e  ). Отсюда в силу единственности
разложения вектора по базису е вытекает равенство a e = Т a e  (3), или
 1 
 
 
а=е∙ a e =(e1,e2,…,en)  2  и а= е a e  =(e1',e2', …,en')
...
 
 
 n
  
 1 
 
  2  (4)
 ... 
 
  
 n 
Соотношения (3) и (4) называют формулами преобразования координат при
изменении базиса линейного пространства. Они выражают старые координаты вектора
через новые. Эти формулы можно разрешить относительно новых координат вектора,
умножив (4) слева на Т-1 (такая матрица существует, т.к. Т – невырожденная матрица).
Тогда получим a e  =Т-1 a e . По этой формуле, зная координаты вектора в старом
базисе е линейного пространства Ln , можно найти его координаты в новом базисе, е .
Часто векторы базисов е и е сами бывают заданы координатами в некотором базисе
е0. Тогда матрица перехода от базиса е к базису е находится по формуле
 1 
 
 2 
 ...  =Т
 
 
 n
e  e0  Te0 e , отсюда получаем формулу e0  eTe e 1 .
0
e  e0  Te0 e = eTe e 1 · Te0 e = e(Te e 1 · Te0 e ) , получаем формулу
0
0
Te e  Te 0 e 1  Te 0 е
(5)
 2
1 
Пример 1. Найти матрицу перехода к базису e1'=   , e2'=   , векторы заданы своими
3
 2
координатами в базисе e=(e1,e2).
Решение. Векторы нового базиса e'=(e1',e2') заданы своими координатами в старом базисе
e=(e1,e2), т.е. е =е·Т
 2
1 
e1'=(e1,e2)·   =2 e1+3 e2
e2'=(e1,e2)·   =1 e1+2 e2
3
 2
По определению матрицы перехода получаем
2 1
 .
Tee  
3
2


Пример 2. Найти матрицу перехода от базиса e=(e1,e2) к базису е =(e1',e2'), если векторы
 1
1 
этих базисов заданы своими координатами в некотором базисе е0: e1=   , e2=   ,
 1 е0
 0  е0
 2
1 
e1'=   , e2'=   .
 1  е0
 2  е0
Решение.
2
1 1
 2 1


T

T

0
0
1 способ. e  e 
 , e  e  1 2  .
1
0




1
1 1   2 1   0  1  2 1   0 1   2 1  1 2 
  
  
  
  
  
  

Tee  
1
0
1
2

1
1
1
2
1

1
1
2
1

1

 
 
 
 
 
 

2 способ.
1
e1=(e10,e20)·   =1 e10+1 e20
(1)
1
1 
e2=(e10,e20)·   =1 e10+0 e20
(2)
0
 2
e1'=(e10,e20)·   =2 e10+1 e20
(3)
1 
1 
e2'=(e10,e20)·   =1 e10+2 e20
(4)
 2
Из равенства (2) имеем e2 = e10
Из равенства (1) имеем e1 = e2+e20, значит e1–e2=e20
Из равенства (3) имеем e1'=2 e10+1 e20=2·e2+e1–e2= e1+e2
Из равенства (4) имеем e2'=1 e10+2 e20= e2+2(e1–e2)=2 e1–e2.
Из последних двух равенств имеем
e1'=e1+e2
e2'=2 e1–e2
1
2 
 .
По определению матрицы перехода получаем Te  e   
1

1


Пример 3. В линейном пространстве многочленов не выше второй степени с
действительными коэффициентами даны 2 базиса:
e = (e1, e2, e3): e1=1, e2=x, e3=x2.
е = (e1', e2', e3'): e1'=1, e2'=x–1, e3'=(x–1)2.
Найти матрицу перехода от базиса e к базису e'.
Решение.
e1'=1=1·e1+0·e2+0·e3,
e2'=x–1=–1·e1+1·e2+0·e3,
e3'=(x–1)2=x2–2x+1=1·e1–2·e2+1·e3.
1 1 1 


Tee   0 1  2  .
0 0
1 

Пример 4. В пространстве Х3 задан вектор х и векторы e1', e2', e3' столбцами координат в
базисе e = (e1, e2, e3):
1 
5 
 2
  2
1 
    
 
     
xe   4  e1    1 e2   3  e3  1  и вектор y у е    2  = – столбцом координат в
3
  1
2 
0
1 
  е
 e
 e
 e
 e
базисе е =(e1',e2',e3'). Найти координаты вектора х в базисе е =(e1',e2',e3') и координаты
вектора y в базисе e = (e1, e2, e3).
Решение.
e1'=5·e1–1·e2+2·e3,
e2'=2·e1+3·e2+0·e3,
3
e3'=–2·e1+1·e2+1·e3.
По определению матрицы перехода получаем
 5 2  2


Te  e     1 3 1  .
 2 0 1 


Используем формулу связи координат одного и того же вектора в разных базисах:
х  
 1 
1 
 
 
 4  = Te  e   х 2  ,
  1
 
 е
 х3 

 е
х  
 1 
1 
1 

 
отсюда получаем:  х 2  = Te e ·  4 
  1
 
 е
 х3 

 е
5 2 2 9 2 2
9 2
9 2
Te  e   1 3 1   3 3 1 
3
 3(9  2)  33
3 3
1 1
2 0 1
0 0 1
Te e
1
 3 2 8 

1 
=  3
9  3
33 

  6 4 17 
х  
  13 
 1 
 3  2 8  1   
    33 
1 
 
=
х
3
9

3

 ·  4  =  42 
2


33 
    33 
 
  6 4 17    1 е   7 
 х3 

 е


 33 
 y1 
 
 y 2  = Te e
y 
 3 е
 5 2  2 1   3
1 

    
 
 2  =  1 3 1   2  =  8

    
3
  е  2 0 1   3  е  5 
Пример 5. Матрица перехода от базиса e=(e1, e2) к базису f=(f1, f2) имеет вид
3 
 2
 . Найти координаты векторов e1, e2 и вектора с=2∙e1+3·e2 в базисе f =
Te  f  
 3  4
(f1, f2).
Решение.
1 способ. По определению матрицы перехода получаем:
f1=2·e1–3·e2
f2=3·e1–4·e2
Из этих равенств выразим векторы e1, e2:
e1=–4·f1+3·f2=(–4,3)f
e2=–3·f1+2·f2=(–3,2)f
с=2·e1+3·e2=2·(–4,3)+3·(–3,2)=(–17,12).
4
2 способ.
 c1  T
  = e  f
 c2  e
 c1 
  ,
 c2  f
выразим
3 
 c1 
с   2
   Т е  f 1   1   

 с2  е   3  4 
 c2  f
1
1   4
 2    4  3   2    17  T
     
 e  f = 
    
2   3  е  12 
 3
 3 е  3
 3
 = T f e
2 
e1=–4·f1+3·f2
e2=–3·f1+2·f2
Пример 6. Убедиться, что векторы а1  1,2,3 , а2  4,2,8 , а3  1,4,1 образуют базис
линейного пространства А3. Найти координаты вектора b   1,0,5 в базисе a=(a1, a2, a3).
Решение.
Составим из координат векторов a1, a2, a3 матрицу и найдём её определитель:
1
4
1
1
4
1
1
3
1
3 1
3 1
2 2 4  2 1 1 2  2 1 0 0  2
 10
 20  0
5 5
1 1
 3  8 1  3  8 1  3  5 5
Следовательно, векторы а1  1,2,3 , а2  4,2,8 , а3  1,4,1 образуют базис линейного
пространства А3.
а1  1,2,3 =1·e1+2·e2–3·e3
а2  4,2,8 =4·e1+2·e2–8·e3
а3  1,4,1 =1·e1+4·e2–1·e3
b   1,0,5 =–1·e1+0·e2+5·e3
4
1
 1


Te  a   2
2
4 
  3  8  1


  1
 
 0  = Te  a
5 
 е
 b1 
 
 b2  .
b 
 3 a
1
4
1    1
 b1 
  1  1

  
 


1
2
4   0  =
 b2  = Te  a ·  0  =  2
b 
 5    3  8  1  5 
  е
 е 
 3 a
 30  4 14    1   2 
    
1 
=     10 2  2    0  =  0  .
20 
    
  10  4  6   5 е 1 
Задачи для самостоятельного решения (в аудитории)
1 Пусть е1, е2 – базис пространства R2 и е1′=5е1–е2, е2′=2е1+3е2. Показать, что е1′, е2′ –
базис пространства R2. Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и от
второго к первому. Найти координаты вектора а=е1+4е2 в базисе е1′, е2′.
2 Показать, что системы векторов е1, е2, … , еn и f1, f2, … , fn являются базисами
пространства Rn. Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и от второго к
первому в следующих случаях:
a) е1=(1, –1, 0), е2=(1, 2, 3), е3=(0, 1, –1), f1=(3, –1, 4), f2=(1, –2, –5), f3=(3, –2, –1) при
n=3.
b) е1=(1,2,–1,0), е2=(1,–1,1,1), е3=(–1,2,1,1), е4=(–1,-1,0,1), f1=(2, 1, 0, 1), f2=(0, 1, 2, 2),
f3=(–2, 1, 1, 2), f4=(1,3, 1, 2) при n=4.
5
3 Пусть е1, е2, е3 – базис пространства R3 и е1′=е1+2е2+2е3, е2′=2е1–е2, е3′=–е1+е2+е3.
Показать, что е1′, е2′, е3′ – базис пространства R3. Найти матрицу перехода от первого
базиса ко второму и от второго к первому. Найти координаты векторов х=е1+4е2–е3,
у=2е1′–е2′+е3′ и z=2x+3y в обоих базисах.
1 0 0


3
4 Пусть а1, а2, а3 и b1, b2, b3 – два базиса пространства R и Т=  0 2 1  – матрица
 1 1 1


перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты векторов х=2а1–3а2+а3 и
у=3b1+b2–b3 в первом и во втором базисах.
5 Записать матрицу перехода от базиса е1, е2, е3, е4 к базису:
a) е2, е3, е4, е1
b) е2, е1, е3, е4
c) е1, е1+е2, е2+е3, е3+е4.
6 Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если:
a) Поменять местами два вектора первого базиса;
b) Поменять местами два вектора второго базиса;
c) Записать векторы первого базиса в обратном порядке;
d) Записать векторы второго базиса в обратном порядке;
e) Записать векторы обоих базисов в обратном порядке?
7 Найти матрицу перехода от базиса 1, х, х2, х3 пространства многочленов степени ≤ 3 к
базису 1, (х–а), (х–а)2, (х–а)3.
6