вопросы и задания к зачету по эм и прз (стереометрия)

Учреждение образования «Брестский
государственный университет имени
А.С. Пушкина»
УТВЕРЖДЕНО
Протокол заседания кафедры
от 10.04.2014 № 10
Кафедра методики преподавания
математики и информатики
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К ЗАЧЕТУ
10.04.2014 г.
г. Брест
По курсу: «Элементарная математика и ПРЗ (стереометрия)»
Специальность: «Математика. Информатика», 6 семестр
Составитель: доцент Селивоник С.В.
№
п/п
1
2
3
4
5
6
Что надо знать (вопросы)
Свойства параллельного проектирования.
Теорема Польке-Шварца.
Понятие параметра.
Требования к изображениям.
Определение секущей плоскости.
Определение сечения многогранника.
Методы построения сечений.
Суть каждого из методов.
Основные и дополнительные формулы для
вычисления площадей поверхностей и объемов
многогранников.
Основные формулы для вычисления площадей
поверхностей и объемов тел вращения.
Теорема Гульдина для вычисления поверхности
и объема тела вращения.
Определение ближайшей точки фигуры.
Определение расстояние от данной точки до
прямой и плоскости.
Методы решения задач на вычисление
расстояний от точки до прямой, от точки до
плоскости.
Определение угла между прямой и плоскостью.
Определение угла между двумя прямыми.
Определение и признак скрещивающихся
прямых.
Определение
расстояния
между
скрещивающимися прямыми.
Что надо уметь
Строить
изображения
плоских
и
пространственных
фигур
согласно
требованиям,
предъявляемым
к
изображениям.
Определять число параметров при
построении изображений.
Строить
сечения
многогранников
различными методами.
Вычислять площади поверхностей и
объемы многогранников.
Вычислять площади поверхностей и
объемы тел вращения различными
способами (и с использованием теоремы
Гульдина).
Вычислять расстояния от точки до
прямой, от точки до плоскости.
Строить и вычислять углы между прямой
и плоскостью.
Строить и находить расстояния между
скрещивающимися прямыми.
Признаки
параллельности
перпендикулярности прямых и плоскостей.
и
7
Определение угла между плоскостями.
Строить и вычислять линейные углы
Определение двугранного угла и линейного двугранных углов.
угла двугранного угла.
Три способа построения линейного угла
двугранного угла.
Признаки
параллельности
и
перпендикулярности плоскостей.
8
Основные
неравенства
для
вычисления
наибольших и наименьших значений функции.
Основные
теоремы
для
вычисления
наибольших и н6аименьших значений.
Схему решения задач на экстремум.
Решать задачи на экстремум. Используя
неравенства Коши и стандартный метод
(производная), вычислять наибольшие и
наименьшие значения функции.
Основные типы задач к зачету
1) Дано изображение равнобедренного треугольника, высота которого равна
основанию. Постройте изображение высоты, проведенной к боковой стороне
данного треугольника.
2) Дано изображение окружности. Постройте изображение вписанного в окружность
прямоугольника с отношением сторон 1: .
3) Дано изображение окружности. Постройте изображение описанной
равнобедренной трапеции с острым углом 45°.
4) Дано изображение окружности. Постройте изображение описанного
около окружности ромба с углом 60°.
5) Через вершину
куба
и точки P и Q – середины ребер AB и BC
соответственно проходит плоскость. Постройте сечение куба плоскостями,
перпендикулярными плоскости PQ
и проходящими через прямые: а)
б)
3)
Найдите линии пересечения построенных секущих плоскостей с
плоскостью
.
6) На ребрах
призмы
заданы соответственно точки P и Q.
Постройте сечение призмы плоскостью: 1) проходящей через прямую AQ,
параллельно прямой CP; 2) проходящей через прямую CP, параллельно прямой AQ;
7) Дан параллелепипед
стороной 1 и острым углом 30°.
=2,
, в основании которого лежит ромб со
. Найдите:
а) расстояние от вершины
до ребер
и
б) расстояние от точки
до ребер
и
, где
– точка пересечения
диагоналей
и
;
в) расстояние от точки
до прямой
, где – середина ребра
8) В основании прямого параллелепипеда
лежит ромб с углом при
вершине A равным 60°. Боковое ребро параллелепипеда равно стороне основания.
На ребре
взята точка
– середина этого ребра. Считая
, найдите
расстояние до прямой
от точки: а) ; б) ; в) .
9) Дан куб
ребро которого равно 1. Найдите углы между прямыми,
проходящими через вершину
и остальные вершины куба, и плоскостью
.
10) Дан куб
плоскостью
ребро которого равно 1. Найдите угол между
, где Q – середина ребра
и прямыми: 1)
; 2)
; 3) АС.
11) В кубе
точки
– середины ребер
соответственно.
а) верно ли что прямые
и
взаимно перпендикулярны?
б) найдите угол между прямыми
и
в) чему равен угол между прямыми
12) В правильной треугольной призме
Найдите расстояние между прямыми
где
.
13) Отрезок
является перпендикуляром к плоскости прямоугольника
Угол между прямой
и этой плоскостью равен 30°.
,
Найдите
двугранный угол
14) Найдите двугранный угол при боковом ребре правильной шестиугольной
пирамиды, если:
а) высота пирамиды в 2 раза больше стороны основания; б) угол между боковым
ребром пирамиды и смежным с ним ребром основания равен .
15) В трехгранном угле два двугранных угла равны 135°, их общий плоский угол
прямой. Найдите третий двугранный угол.
16) Плоские углы трехгранного угла равны
биссектрисой угла и противолежащим ему ребром.
. Найдите угол между
17) Двугранные углы трехгранного угла равны 60°, 120°, 90°. Найдите его плоские
углы.
18) В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник. Две боковые грани
пирамиды перпендикулярны основанию, а третья наклонена к основанию под углом
30°. Если высота пирамиды равна 2, то площадь боковой поверхности пирамиды
равна…
19) Диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды равновелико
основанию. Найдите площадь основания пирамиды, если боковое ребро пирамиды
равно 5.
20) Высота цилиндра равна диаметру основания. Площадь развертки боковой
поверхности цилиндра равна 104. Найдите площадь основания цилиндра.
21) Разверткой боковой поверхности конуса является треть круга радиусом
Найдите площадь основания конуса.
22) Квадрат со стороной 4 и треугольник, одна из сторон которого тоже равна 4,
имеют равные периметры. Составьте из этих фигур пятиугольник и найдите его
периметр.
23) Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник с
диагональю
которая составляет 60° с основанием. Найдите объем цилиндра.
24) Основанием пирамиды служит ромб с острым углом 60°. Боковые грани
наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите объем пирамиды, если
радиус вписанного в ромб круга равен
25) В пирамиде на расстоянии 5 от ее вершины проведена плоскость, параллельная
основанию пирамиды. Найдите высоту пирамиды, если площади сечения и
основания соответственно равны 16 и 25.
26) В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Боковые ребра
пирамиды равны. Боковые грани, содержащие катеты прямоугольного треугольника,
составляют с плоскостью основания углы 30° и 60°. Найдите объем пирамиды, если
ее высота равна 3.
27) Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник с основанием
а угол при основании равен 45°. Боковая поверхность призмы в
больше суммы площадей основания. Объем пирамиды равен…
раз
28) В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник. Две боковые грани
пирамиды перпендикулярны основанию, а третья наклонена к основанию под углом
30°. Высота пирамиды равна 2. Найдите объем пирамиды.
29) Дана пирамида
с вершиной
Стороны
равны 5, 7 и 8
соответственно. Все двугранные углы при основании равны между собой. Найдите
периметр основания пирамиды.
30) Найдите объем пирамиды, основанием которой является треугольник со
сторонами
, и все боковые ребра которой наклонены к плоскости основания
под углом
С.В. Селивоник