Моделирование взаимодействия потребителя и производителя

Моделирование
взаимодействия
потребителей и
производителей
Функция предложения
 Функция
предложения S(p)
описывает зависимость между
рыночной ценой товара и его
предложением на
изолированном рынке этого
товара.
Для практических расчетов
применяются функции предложения
двух основных видов:

Линейная
S ( p)  b  ap, (b  0; a  0)

Степенная

S ( p)  bp , (b  0,   0)
 Коэффициент
эластичности по
цене Ep(S) показывает, на
сколько процентов увеличится
предложение, если его цена
вырастит на 1%.

Для линейной функции предложения
b1 p
E p (S ) 
S
p, S
где
- средние значения цены и предложения
по таблице наблюдений.
Для степенной функции
предложения
d ln S
   E p (S )
d ln p
Модель Эванса установления
равновесной цены на рынке одного
товара

Пусть D(t), S(t), p(t) – соответственно
спрос, предложение и цена товара в
момент t. Спрос и предложение будем
считать линейными функциями цены, то
есть D=a-bp, a и b >0,
a S=m+np, m и n>0 и при нулевой цене
спрос превышает предложение.

Основное предположение состоит в том,
что цена изменяется в зависимости от
соотношений между спросом и
предложением, то есть увеличение цены
прямо пропорционально превышению
спроса над предложением и длительности
этого превышения. Получаем
дифференциальное уравнение:
dp
  (D  S )
dt
(продолжение)

Подставим в это уравнение линейные
зависимости спроса и предложения от
цены, получаем линейное неоднородное
дифференциальное уравнение с
начальным условием: P(0)=P0
dp
  ((b  n)  p  a  m), (1)
dt

Это уравнение имеет стационарную точку

p  (a  m) /(b  n)  0
dp
0
dt
при p*>p
dp
0
dt
при p*<p
Отсюда следует, что
lim p(t )  p
t 

При p0<p* цена стремится p*
возрастая,
а при p0>p* цена стремится p*
убывая.
Сама цена p* есть равновесная
цена, при которой равны спрос
и предложение:
D  S  a  bp  m  np  p   (a  m) /(b  n).
Решение дифференциальное уравнение
(1) имеет вид
 ( b   )t
 ( b   )t
p( t )  p0e
 ( a   ) /( b   ) 1  e

или
p( t )  p0 e
причем
 ( b   )t

 p* 1  e
p
(
t
)

p
*
lim
t 
 ( b   )t


Замечание.
В
дискретной модели Эванса
рынок функционирует
следующим образом: утром на
рынке обнаруживается
некоторое предложение S и
спрос d. В зависимости от их
значений цена начинает
равномерно расти или убывать.

Предположим, что начальная цена
была р0, при этом S(p0)<d(p0). За
день она возрастает до некоторого
значения р1. На следующее утро
предложение и спрос будут
соответствовать этой цене р1, при
этом опять будет S(p1)<d(p1), а
цена будет возрастать и т.д. (рис.1).

Рисунок 1

В отличии от паутинообразной
модели рынка, точка равновесия не
переходится, то есть если цена
была меньше равновесной, то она
так и останется меньше, и весь
процесс изображается слева от
точки равновесия, а если цена была
больше равновесной, то она так и
останется больше, и весь процесс
изображается справа от точки
равновесия.
Паутинообразная модель

Пусть в начальный момент
времени установлена начальная
цена p0, при этом спрос оказался
меньше предложения, то есть
D(p0)<S(p0), тогда понижаем цену
до уровня, при котором спрос
равен предложению при
первоначальной цене D(p1)=S(p0).
При новой цене p1 спрос
превышает предложение
D(p1)>S(p1),
поэтому повышаем цену до
уровня p2, при котором
D(p2)=S(p1)
и т. д .

Процесс, описываемый рекуррентным
соотношением
D( pi )  S ( pi 1 ), i  1,2,...
сходится.
В
паутинообразной модели
рассматривается
однопродуктовый рынок.
 Спрос
характеризуется
убывающей функцией S(p) ,
предложение – возрастающей
функцией D(p).