Лекция 24. Тема: модели установления равновесной цены на рынке одного товара.
advertisement
Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 24. Тема: Моделирование взаимодействия потребителей и производителей. Цель: Рассмотреть функцию предложения и модели установления равновесной цены на рынке одного товара. Функция предложения • Функция предложения S(p) описывает зависимость между рыночной ценой товара и его предложением на изолированном рынке этого товара. Для практических расчетов применяются функции предложения двух основных • Линейная видов: S ( p) b ap, (b 0; a 0) • Степенная S ( p) bp , (b 0, 0) • Коэффициент эластичности по цене Ep(S) показывает, на сколько процентов увеличится предложение, если его цена вырастит на 1%. Для линейной функции предложения b1 p E p (S ) S p, S ,где - средние значения цены и предложения по таблице наблюдений. Для степенной функции предложения d ln S E p (S ) d ln p Модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара • Пусть D(t), S(t), p(t) – соответственно спрос, предложение и цена товара в момент t. Спрос и предложение будем считать линейными функциями цены, то есть D=a-bp, a и b >0, a S=m+np, m и n>0 и при нулевой цене спрос превышает предложение. • Основное предположение состоит в том, что цена изменяется в зависимости от соотношений между спросом и предложением, то есть увеличение цены прямо пропорционально превышению спроса над предложением и длительности этого превышения. Получаем дифференциальное уравнение: dp (D S ) dt • Подставим в это уравнение линейные зависимости спроса и предложения от цены, получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение с начальным условием: P(0)=P0 dp ((b n) p a m), (1) dt • Это уравнение имеет стационарную точку p (a m) /(b n) 0 dp 0 dt dp 0 dt при p*>p при p*<p Отсюда следует, что lim p(t ) p t При p0<p* цена стремится p* возрастая, а при p0>p* цена стремится p* убывая. Сама цена p* есть равновесная цена, при которой равны спрос и предложение: D S a bp m np p (a m) /(b n). Решение дифференциальное уравнение (1) имеет вид p( t ) p0e ( b )t или p( t ) p0 e причем ( a ) /( b ) 1 e ( b )t p* 1 e p ( t ) p * lim t ( b )t ( b )t Замечание. В дискретной модели Эванса рынок функционирует следующим образом: утром на рынке обнаруживается некоторое предложение S и спрос d. В зависимости от их значений цена начинает равномерно расти или убывать. • В отличии от паутинообразной модели рынка, точка равновесия не переходится, то есть если цена была меньше равновесной, то она так и останется меньше, и весь процесс изображается слева от точки равновесия, а если цена была больше равновесной, то она так и останется больше, и весь процесс изображается справа от точки равновесия. Паутинообразная модель • Пусть в начальный момент времени установлена начальная цена p0, при этом спрос оказался меньше предложения, то есть D(p0)<S(p0), тогда понижаем цену до уровня, при котором спрос равен предложению при первоначальной цене D(p1)=S(p0). • В паутинообразной модели рассматривается однопродуктовый рынок. При новой цене p1 спрос превышает предложение D(p1)>S(p1), поэтому повышаем цену до уровня p2, при котором D(p2)=S(p1) и т. д . Процесс, описываемый рекуррентным соотношением D( pi ) S ( pi 1 ), i 1,2,... сходится. Спрос характеризуется убывающей функцией S(p) , предложение – возрастающей функцией D(p). Вопросы: 1)Какой функцией описывается спрос на товар, а какой – предложение товара? 2)Что такое равновесная цена?
