2. Определение высказывания. Таблица истинности для

Алгебра высказываний
Лекция 2
Цель: Дать определение высказывания, таблицы истинности.
Сформулировать основные логические тождества
2. Определение высказывания.
Таблица истинности для высказываний
Определение 1
Переменная А, принимающая два значения – 0 или 1, называется
логической (или булевой) переменной.
Обозначаться логические переменные будут заглавными
латинскими буквами с индексами или без них:
A, B , X ,Y , A2 ,C3 ,...
Определение 2 (индуктивное определение высказывания)
1. Каждая логическая переменная является высказыванием. Такие
высказывания мы будем называть простейшими.
2. Пусть А , В – высказывания, тогда
A,  A  B,  A  B,  A  B,  A  B
– тоже высказывания.
3. Других нет.
Соглашение 1
Если высказывание сконструировано из однотипных операций, то
они выполняются в порядке их следования.
К примеру,
A BC D
 A  B  C  D
Соглашение 2
Отрицание подразумевает скобки
Соглашение 3
Внешние скобки не ставятся.
Соглашение 4
Конъюнкция связывает сильнее, чем дизъюнкция.
Например,
A  B  C  A   B  C
Соглашение 5
Дизъюнкция связывает сильнее, чем импликация.
Например,
A  B  C  D   A  B  C   D
Соглашение 6
Импликация связывает сильнее, чем эквивалентность.
Например,
A  B  C  A   B  C
Примеры
• 1)Избавиться от лишних скобок
(( A  ( B  C))  ( AB  C))
• Ответ A  B  C  ( AB  C)
• 2)Расставить порядок действий
4
A( B  C)  AC  B  C
5
1
7
2
3
6
Если высказывание F построено из логических переменных
A1 , A2 ,... , An , то будем обозначать это высказывание:
F  F  A1 , A2 ,..., An 
Определение 3
Таблица истинности для высказывания F  A1 , A2 ,..., An  имеет вид
A1
A2
… An-1
An
F(A1, A2,…, An-1, An)
0
0
…
0
0
F(0,0,…,0,0)
0
0
…
0
1
F(0,0,…,0,1)
…
…
…
…
…
…
1
1
…
1
0
F(1,1,…,1,0)
1
1
…
1
1
F(1,1,…,1,1)
Теорема
n
2
Наборов длины n из 0 и 1 существует
Доказательство
Обозначим количество наборов буквой In.
Доказательство будем вести ММИ по n.
Базис индукции.
Пусть n=1. Наборов длины 1 из 0 и 1 существует 2: (0) и (1), поэтому
I1=2=21.
Индуктивное предположение. Допустим, что Ik=2k.
Индуктивный переход. Докажем, что Ik+1=2k+1.
Рассмотрим какой-нибудь набор из 0 и 1 длины k:
 1 , 2 ,..., k 
Из него можно получить ровно два набора длины k+1:
 1 , 2 ,..., k ,0 
1
, 2 ,..., k ,1
Значит, наборов длины k+1 в два раза больше, чем наборов длины k, то есть
I k 1  2  I k  2  2k  2k 1
Теорема доказана.
3. Равносильные высказывания.
Определение 1
Высказывания F(A1,A2,…,An) и G(A1,A2,…,An) называются равносильными (или
просто равными), если для любого набора
 1 , 2 ,..., n  имеет место равенство: F  1 , 2 ,..., n   G 1 , 2 ,..., n .
Обозначим
F  A1 , A2 ,..., An   G A1 , A2 ,..., An 
Другими словами, два высказывания равны, если у них совпадают таблицы
истинности.
Примеры
AB  AB
Доказательство
A
B AB
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
AB
Основные логические тождества
Идемпотентные законы:
1) A  A  A
2) A  A  A
Коммутативные законы:
3) A  B
BA
4) A  B  B  A
5) A  B  B  A
Ассоциативные законы:
6) A   B  C   A  B  C
7) A   B  C   A  B  C
8) A  B  C    A  B   C
Дистрибутивные законы:
9) AB  C   AB  AC
10) A  BC    A  B A  C 
Законы Моргана:
11) A  B  A  B
12) A  B  A  B
Закон двойного отрицания:
13) A  A
Закон противоречия:
14) A  A  0
Закон исключенного третьего:
15)
A A 1
Без названия:
16) A  B  AB  A  B   A  B B  A
17) A  B  A  B
Законы поглощения:
18) A  AB  A
Доказательство
A  AB  A  (1  B)  A  1  A
19) A  AB  A  B
Доказательство
A  AB  ( A  A)( A  B)  1  ( A  B)  A  B
20)
A  A  B  AB
21) A  ( A  B)  A
Тождества, содержащие константы:
A0  A
A 1  1
A0  0
A 1  A
A0 A
A11
0 A1
1 A  A
A0 A
A 1 A