Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис

Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Исследуем последовательность на поточечную сходимость. На каждом из данных множеств
при любом выполняется неравенство
Следовательно, при любом
существует поточечный предел
и значит, предельная функция определена на обоих множествах и тождественно равна нулю:
Докажем, что на множестве
последовательность точек
сходимость – неравномерна. Для этого рассмотрим
Она выбрана так, что при каждом
Следовательно,
что противоречит определению равномерной сходимости.
Если рассматривается множество
то на этом множестве
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Тогда
причём
Значит, на этом множестве разность
мажорируется бесконечно малой
числовой последовательностью, и это означает равномерную сходимость.
Ответ:
Сходится поточечно на обоих множествах. На множестве
неравномерная, а на множестве
- равномерная.
сходимость
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Данный ряд имеет вид
где
Отношение Даламбера для этого ряда равно
и при любом
существует предел
Следовательно, ряд будет расходиться при тех
и будет абсолютно сходиться при тех
Решая первое неравенство, имеем:
при которых
при которых
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Отсюда
либо
Аналогично, решая неравенство
получаем:
откуда
либо
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Значит,
либо
Соответственно, из первого неравенства следует, что
либо
а из второго –
Остаётся исследовать точки, в которых имеет место равенство:
а значит,
либо
В первом случае получаем знакоположительный числовой ряд
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Поскольку при любом
имеет место оценка снизу:
из которой следует, что полученный числовой ряд расходится на основании признака
сравнения с обобщённым гармоническим рядом. Решая уравнение
находим точки, в которых это имет место:
В противоположном случае получаем знакочередующийся числовой ряд
Абсолютные величины членов ряда образуют убывающую последовательность, т.к.
Значит, на основании признака Лейбница, ряд будет сходящимся. В то же время,
абсолютной сходимости не будет, что уже было доказано выше. Следовательно, ряд будет
сходиться условно. Это будет происходить в точках, в которых
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Решая это уравнение, находим:
Подытоживая результаты, получаем, что областью сходимости ряда будет множество
а областью абсолютной сходимости – то же множество, за исключением точек
Ответ:
Множество сходимости -
Множество абсолютной сходимости -
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
При любых имеем:
где введена вспомогательная функция
Поскольку при любых имеет место тождество,
функция
ограничена:
Следовательно,
Отсюда, на основании признака Вейерштрасса следует,
функциональный ряд сходится равномерно на всей числовой оси.
что
данный
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Данный ряд
можно записать в виде
где общий член ряда -
При каждом фиксированном
имеет место оценка
где введено обозначение для коэффициента:
В силу такой оценки, на основании признака сравнения со сходящимся обощённым
гармоническим рядом, имеет место поточечная сходимость данного функционального
ряда при любом
Тем не менее, из-за того, что коэффициент
зависит от
равномерная сходимость требует дополнительного исследования.
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Для случая множества
рассмотрим последовательность точек этого множества
В каждой такой точке
Следовательно, на множестве
данный ряд не может сходиться равномерно.
Если рассматривается сходимость на множестве
то выполняется условие
и в этом случае уже можно получить равномерную оценку:
Значит, на множестве
данный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом
Следовательно, на основании признака Вейерштрасса, на этом множестве ряд
сходится равномерно.
Ответ:
На множестве
сходится условно, а на
- равномерно.
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
a)
Решение
Данный ряд может быть записан в виде
если положить
В данном случае существует предел
Следовательно, на основании формулы Коши-Адамара, радиус сходимости ряда равен
Значит, промежуток сходимости
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
должен иметь вид
Для исследования сходимости ряда на правом конце промежутка сходимости полагаем
При этом получаем числовой ряд
который расходится, т.к. общий член ряда не стремится к нулю, и необходимое условие
сходимости нарушено.
На левом конце, т.е. при
получаем числовой ряд
который расходится по тем же причинам.
Следовательно, данный степенной ряд расходится на обоих концах промежутка
сходимости, и областью сходимости будет интервал
Ответ: Радиус сходимости -
Промежуток сходимости - интервал
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
б)
Преобразуя ряд
видим, что данный ряд может быть записан в виде
если положить
В данном случае существует предел
Следовательно, на основании формулы Коши-Адамара, радиус сходимости ряда равен
Значит, промежуток сходимости
должен иметь вид
Для исследования сходимости ряда на правом конце промежутка сходимости полагаем
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
При этом получаем числовой ряд
Это – обобщённый гармонический ряд, и он расходится на основании признака сравнения
с расходящимся гармоническим рядом
т.к.
На левом конце, т.е. при
получаем числовой ряд
Это – знакочередующийся числовой ряд, и абсолютные величины его членов монотонно
убывают. Следовательно, он сходится на основании признака Лейбница. В то же время,
ряд, составленный из абсолютных величины его членов, имеет вид
и совпадает с только что рассмотренным расходящимся рядом. Следовательно,
промежутком сходимости данного степенного ряда является полуинтервал
и на левом конце промежутка сходимости ряд сходится условно.
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Ответ: Радиус сходимости –
Промежуток сходимости – полуинтервал
Сходимость на левом конце – условная.
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
a)
Из разложения
полагая
получаем:
Следовательно, интервал сходимости полученного разложения будет определяться
неравенством
что означает, что его радиус сходимости -
б)
Пользуясь разложением
с помощью формулы понижения степени получаем:
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Полученное разложение имеет место на всей действительной оси. Следовательно,
его радиус сходимости бесконечен:
в)
Разлагая дробь на простейшие, получаем:
Пользуясь разложением
получаем, полагая сперва
а затем -
Значит, первое разложение их двух последних будет иметь место при
второе - при
а
Поэтому искомое разложение будет иметь место, если будут иметь
место оба эти разложения:
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
и радиус сходимости -
Ответ:
а)
б)
в)
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Выполняя замену переменной, получаем:
Из формулы приведения
следует, что
Пользуясь разложением
сходящимся при любых
откуда
получаем:
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Преобразуя первое слагаемое и переобозначая индекс суммирования, получаем:
Подставляя полученное выражение, получаем:
или окончательно
Ответ:
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Раскладывая дробь на сумму простейших, получаем разность двух рядов:
Для вычисления сумм обоих рядов используем выражение для суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии и пользуемся законностью почленного
интегрирования сходящегося ряда внутри промежутка сходимости. Тогда для первого
рядя получаем:
Вычисляя интеграл, находим:
откуда находим сумму первого ряда:
Аналогично, преобразуем второй ряд:
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Вычисляя интеграл, получаем:
откуда сумма второго ряда -
Подставляя найденные суммы в исходное выражение, получаем:
Ответ:
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Выделяя частичную сумму и остаток ряда, получаем:
где
Оценивая по модулю остаток, получаем:
Если
то в квадратных скобках стоит сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии,
и
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Следовательно,
Для приближённого вычисления значения
с заданной точностью
достаточное
количество членов частичной суммы ряда может быть определено из условия
При
и
получаем условие:
которому удовлетворяет значение
. Следовательно, для приближения
погрешность допускает оценку
При
и
аналогичному условию удовлетворяет значение N=7. При
этом для приближения
погрешность допускает оценку
Ответ:
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Используя разложение
при
представим подынтегральное выражение в виде
Интегрируя почленно внутри интервала сходимости, получаем:
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике,
сопромату, теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Таким образом, искомая величина выражена в виде суммы знакочередующегося
числового ряда. Остаток такого ряда оценивается модулем первого отброшенного члена.
Поскольку
но
и даже
то для обеспечения требуемой точности достаточно первых двух членов ряда:
Ответ: