Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис

Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
СОДЕРЖАНИЕ
Задание№1.
Задание№2.
Задание№3.
Задание№4.
Задание№5.
Задание№6.
Задание№7.
Задание№8.
Задание№9.
Задание№10.
Задание№11.
Задание№12.
Задание№13.
Задание№14.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
14
16
17
18
19
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Задание №1. Найти длину вектора
, если
единичные векторы, угол между которыми равен
Решение
Согласно исходным данным
Тогда
2
, где
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Задание №2. Найти координаты точки М, делящей вектор
Решение
Найдем координаты вектора
Поскольку
:
, то
То есть:
Координаты точки М:
3
в отношении
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Задание №3. Проверить, можно ли на векторах
параллелограмм.
Решение
Найдем координаты векторов
и
:
4
и
построить
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
На двух векторах можно построить параллелограмм, если эти векторы не
параллельны (коллинеарны).
Два вектора
и
Для найденных векторов
и
коллинеарны, если
:
это условие неверно, следовательно, векторы
них можно построить параллелограмм.
и
не коллинеарны и на
Задание №4. Найти углы между диагоналями параллелограмма ABCD.
Решение
5
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Найдем координаты вершины С параллелограмма ABCD:
Тогда
Координаты точки C:
Из скалярного произведения векторов получим:
Найдем координаты векторов:
Тогда искомый угол равен:
6
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Задание №5. Найти площадь параллелограмма ABCD.
Решение
Площадь параллелограмма ABCD равна модулю векторного произведения
векторов
:
Значит,
7
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Задание №6. Убедиться, что на векторах
можно построить
параллелепипед. Найти объем этого параллелепипеда и длину его высоты.
Решение
На векторах
можно построить параллелепипед, если они не
компланарны (не лежат в одной плоскости).
Три вектора
и
если их смешанное произведение равно нулю
Для заданных векторов
8
компланарны,
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Следовательно, указанные векторы не компланарны и на этих векторах можно
построить параллелепипед, объем которого равен модулю смешанного
произведения этих векторов:
Длину высоты (например, опущенной из вершины
на плоскость ABD)
найдем как отношение объема параллелепипеда к площади основания:
Задание №7. Найти координаты вектора
, направленного по высоте
параллелепипеда, проведенной из точки A к плоскости основания
,
координаты точки
и координаты единичного вектора, совпадающего по
направлению с вектором
.
Решение
Найдем координаты искомых точек
с учетом того, что векторы
,
и
коллинеарны и равны по длине.
Из
координат
точек
получим:
и
,
вектора
Поскольку основание параллелепипеда полностью лежит в плоскости zOy (все
«иксовые» координаты точек A, B, C и D равны нулю), то вектор высоты
сонаправлен с осью Ox и вектор высоты
равен
9
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
где
найденная ранее высота пирамиды.
Тогда
Координаты точки найдем по координатам точки
найденного вектора
.
Координаты точки
и координатам
:
Координаты единичного вектора, совпадающего по направлению с вектором
– это есть координаты самого вектора
, длина которого,
очевидно, рана 1.
Задание №8. Разложить вектор
по векторам
Решение
Вычислим определитель разложением по первой строке
10
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Поскольку
векторы
пространства. Разложим вектор
образуют базис трехмерного
по этому базису.
Вычислим определители разложением по первой строке
Вектор
в этом базисе имеет координаты
11
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Задание №9. Найти проекцию вектора
Решение
12
на вектор
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Задание №10. Написать уравнения плоскостей:
а) , проходящей через точки А, В, D;
б) , проходящей через точку А и прямую
;
в) , проходящей через точку А1 параллельно плоскости ;
г) , содержащей прямые AD и AA1;
д) , проходящей через точки А и перпендикулярно плоскости ;
Решение
а) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
имеет вид
Тогда для точек
13
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
уравнение искомой плоскости .
б) По уравнению плоскости, проходящей через три заданные точки
уравнение искомой плоскости
в) Уравнение плоскости
.
имеет вид:
Эта плоскость имеет вектор нормали
Составим уравнение плоскости, проходящей через точку
нормальным вектором
:
14
с
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
уравнение искомой плоскости
.
г) По уравнению плоскости, проходящей через три заданные точки
уравнение искомой плоскости
д) Так как плоскость
.
перпендикулярна плоскости P с вектором нормали
, то этот вектор будет направляющими вектором искомой
плоскости.
Уравнение плоскости по координатам точек
направляющему вектору имеет вид:
15
и
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
уравнение искомой плоскости
16
.
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Задание №11. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат ребра AB
и CC1; написать канонические и параметрические уравнения общего к ним
перпендикуляра.
Решение
Расстояние между скрещивающимися прямыми на которых лежат ребра AB и
CC1, это расстояние от некоторой точки прямой АВ (например точки А) до
плоскости, проходящей через прямую CC1, параллельно прямой АВ (это
плоскость СС1DD1.
Расстояние от точки
до плоскости
По уравнению плоскости, проходящей через три заданные точки
уравнение искомой плоскости СС1DD1.
17
равно:
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Для точки
и плоскости
Пусть искомая прямая (общий перпендикуляр) имеет уравнение
где
- координаты произвольной точки на прямой АВ (например точки
).
Направляющий вектор искомой прямой
плоскостей АА1ВВ1 (или СС1DD1)
это вектор нормали
.
Тогда каноническое уравнение прямой принимает вид
Переходя к параметрическим уравнениям, получим параметрическое
уравнение прямой
18
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Задание №12. Найти точку
плоскости основания ABCD.
, симметричную точке
относительно
Решение
Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку
перпендикулярно
заданной
плоскости
основания
ABCD.
.
Направляющий вектор искомой прямой
перпендикулярной плоскости
- это вектор нормали плоскости
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку
направлении вектора
имеет вид
Тогда для точки
19
в
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Теперь найдем центр симметрии – точку пересечения N прямой
и
плоскости
. Для
параметрическом виде:
в
этого
запишем
уравнение
Подставим эти уравнения в общее уравнение плоскости
прямой
и получим
Подставив полученное значение параметра
в параметрические
уравнения прямой
, получим координаты точки
– точки
пересечения прямой
с плоскостью
. Но так как N – середина
отрезка
, то
Таким образом, точка
имеет координаты
.
Задание №13. Найти угол между прямой, на которой лежит диагональ А1С и
плоскостью основания ABCD.
Решение
Для точек
и
20
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Синус угла между прямой и плоскостью равен
где – направляющий вектор прямой, а
Для плоскости
– нормальный вектор плоскости.
Искомый угол между прямой, на которой лежит диагональ А1С, и плоскостью
основания ABCD, равен
21
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
Задание №14. Найти острый угол между плоскостями ABCD (плоскость Р) и
АВВ1А1 (плоскость Р1)
Решение
Угол между двумя плоскостями – это угол между векторами нормалей этих
плоскостей. Для векторов
и
из формулы для
скалярного произведения векторов
Уравнение плоскости
имеет вид:
Эта плоскость имеет вектор нормали
Уравнение плоскости
имеет вид:
Эта плоскость имеет вектор нормали
Для векторов
и
22
Задачи и контрольные скачаны с сайта кампании ФизМатСервис - http://fizmatservis.ru
Если вам необходима помощь в решение задач по высшей математике, статистике, теории
вероятностей (сложность не имеет значения), информатике, физике, химии, экономике, сопромату,
теоретической, строительной, технической механике, гидравлике обращайтесь
http://fizmatservis.ru , тел. 8-906-966-70-28, Icq: 447-624-701,
Е-mail: matematik555@yandex.ru , Дмитрий
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 /
Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.
2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 /
Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс: Рольф, 2002. – 256 с.
3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебник для
втузов. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов.– М.: Интеграл-Пресс, 2001.– 456 с.
23