F(p)

Олигополия - 4
Проблема устойчивости соглашений:
аналитическое объяснение
графическая иллюстрация
Динамическая олигополия: проблема
устойчивости соглашений при
повторяющихся взаимодействиях
Олигополия: поисковые модели
Задача на поиск переговорного множества
• N фирм конкурировали по Курно с равновесными
выпусками (y1C,…, yNC) и уровнями прибыли
(π1C, …, πNC)
• С целью повышения прибыли каждой, они захотели
заключить сговор (считаем, что если хотя бы одна
фирма не присоединится к сговору, реализуется
равновесие по Курно)
 max  i ( y1 ,..., y N )
 y1 ,... y N 0

C

(
y
,...,
y
)



N
j , j  i
 j 1

 L   i ( y1 ,..., y N )    j  j   j ( y1 ,..., y N )
j i
C

Условия первого порядка:
 j ( y1 ,..., y N )
 L  i ( y1 ,..., y N )

 j
 0, y1  0 или  0, y1  0

y1
y1
j i
 x1
...

 j ( y1 ,..., y N )
 L   i ( y1 ,..., y N )    j
 0, y N  0 или  0, y N  0
 xN
y N
y N
j i

C
 j ( y1 ,..., y N )   j  0, j  i
В случае дуополии, из первых двух уравнений вытекало бы условие касания
изопрофит участниц сговора (сможете показать самостоятельно?).
Второй, не менее примечательный вывод из этой громоздкой на вид
системы заключается в том, что
 k ( y1 ,..., y N )
 0, k
yk
 сговор неустойчив, так как
у любой фирмы-участницы сговора есть стимул нарушить его, увеличив
свой выпуск!
Покажем, что это действительно так.
Пусть выпуск всех участниц сговора положителен (y1,…,yN > 0),
функции спроса и издержек дифференцируемы, и PD’(Y)<0.
Рассмотрим условие на выпуск k-той фирмы:
 j ( y1 ,..., y N )
 i ( y1 ,..., y N )
 j
0
yk
yk
j i
 j ( y1 ,..., y N ) 
  i ( y1 ,..., y N )
 k ( y1 ,..., y N )

 k
 
 j

yk

y

y
j

i
,
k
k
k




 k ( y1 ,..., y N )
 k
  p' (Y ) yi    j p' (Y ) y j 
yk
j i ,k


Т.к. все множители Лагранжа и
выпуски положительны, а p’(Y) < 0…
 k ( y1 ,..., y N )
0
yk
Неустойчивость сговора: графическая
иллюстрация
1) Точка С соответствует равновесию при конкуренции по
Курно
y2
2) Фирмы заключили сговор, ограничив свои выпуски
до (y1coll, y2coll – от англ. collusion). При этом прибыль
обеих фирм возросла (они перешли на более
высокие изопрофиты.
BR1
C
4) Такое же рассуждение можно
провести в отношении
второй фирмы…
y2coll
0
3) Но как показывает кривая реакции фирмы 1 (BR1),
если вторая фирма выпускает y2coll,
первая может повысить свою прибыль,
увеличив выпуск с y1coll до y1d !
BR2
y1coll
y1d
y1
В рассматриваемой модели сговор оказывается неустойчив
– при необременительных предпосылках, любой
участнице оказывается выгодно нарушить свои
обязательства и увеличить прибыль за счет увеличения
собственного выпуска, что постоянно имело место,
например, в ОПЕК.
По тем же причинам неустойчивы и картели.
Однако, даже практика антимонопольных агентств показывает, что
целый ряд соглашений существуют достаточно долго и успешно – не
говоря уже о тех соглашениях, существование которых властям
доказать не удалось!
Одно из объяснений устойчивости соглашений:
повторяемость взаимодействия участников,
позволяющая наградить партнера за кооперативное
поведение, и наказать – за некооперативное 
Если вы помните, что такое
дисконтирование, следующие два
слайда можно пропустить.
Дисконтирование
• В экономической теории и практике принято считать, что
выигрыши будущих периодов не так ценны, как
выигрыши, полученные сейчас
• В случае с потребителями это отражает их
нетерпеливость и страх по отношению к
неопределенности будущего
• В случае с фирмами это отражает тот факт, что чем
раньше получена прибыль, тем раньше ее можно
инвестировать (+ неопределенность и риски также имеют
значение)
Ставка дисконтирования и дисконт-фактор
• Предположим, у нас есть возможность вложить деньги с годовой
доходностью r. Тогда:
– X рублей сейчас эквивалентны X*(1 + r) рублей через год,
или X*(1 + r)2 через два года, или X(1 + r)N через N лет.
– Текущая приведенная (или дисконтированная) стоимость X
рублей, которые будут получены через год (present value,
PV), равна X/(1+r), через два года - X/(1+r)2, через N лет X/(1+r)N.
• Параметр r называется «ставкой дисконтирования», и вообще
говоря, может зависеть не только от доходности, но и от тех
рисков, которым мы можем подвергнуться в будущем.
• Часто, ради удобства, экономисты обозначают величину
1/(1 + r) как δ, и называют δ «дисконт-фактором»
• Когда r больше/ δ меньше, принято говорить, что будущие
платежи «дисконтируются сильнее»
• Когда r меньше / δ больше, принято говорить, что будущие
платежи «дисконтируются слабее»
Динамическая версия модели Бертрана
• Две фирмы конкурируют по Бертрану в течение бесконечного
числа периодов
• Функции издержек одинаковы: c(q) = cq
• Фирмы максимизируют дисконтированный поток будущих
прибылей, дисконт-фактор равен δ
Равновесием по Нэшу в модели Бертрана является p1 = c, p2 = c;
при этом фирмы получают нулевую прибыль.
Они могли бы заключить соглашение, чтобы установить цены на
одинаковом, монопольном уровне – и тогда каждый получал бы
половину монопольной прибыли, πM/2.
Но у каждой фирмы есть стимул нарушить соглашение, cнизив
цену на малое ε относительно монопольной. Если ε бесконечно
мало, прибыль обманщицы возрастет до πM!
Чтобы предотвратить это, участницы соглашения могут
использовать т.н. «стратегию переключения» (“grim trigger”) 
Стратегия переключения
«В первом раунде игры я веду себя кооперативно
(поддерживаю монопольную цену). Если ты хотя бы
раз поведешь себя некооперативно (назначишь цену
ниже монопольной), я до конца игры тоже буду вести
себя некооперативно» (т.е., мы навсегда переходим к
стратегиям, равновесным по Нэшу в однопериодной
игре: p1 = p2 = c).
Если обе фирмы заранее объявят друг другу, что
будут вести себя в соответствии со «стратегией
переключения», будет ли сговор устойчивым?
Рассмотрим задачу фирмы, планирующей
нарушить соглашение в первом же периоде 
• Фирма, планирующая нарушить сговор, знает, что после
нарушения уже никогда не получит прибыли.
– Дисконтированная прибыль от нарушения в первом периоде:
 d   M   * 0   2 * 0  ...   M
– Дисконтированная прибыль от соблюдения условий сговора:
c 
M
2

 M
2

 2 M
2
 ... 
M
2(1   )
Фирме невыгодно нарушать сговор, если Пс > Пd:
M
1
M
  
2(1   )
2
Чем меньше дисконтируется будущее,
тем устойчивее сговор!
А что, если фирма планирует нарушить сговор не в
первом периоде, а позднее, в каком-нибудь периоде t?
Тогда первые t – 1 членов в выражениях Пc и Пd будут
одинаковыми
 неравенство Пc > Пd фактически сведется к
сравнению дисконтированных прибылей, полученных в
периоде t и позднее:
c  d 
 t 1 M
2

 t M
2
 ...   t 1 M   t * 0  ... 
 t 1 M
1
t 1 M

   
2(1   )
2
Как видим, в этой модели условия устойчивости сговора совершенно
не зависят от периода, в котором совершается отклонение.
Итак, мы пришли к выводу, что в динамических моделях олигополии
шансы фирм заключить устойчивое соглашение тем выше, чем
меньше они дисконтируют будущие платежи.
Какова практическая интерпретация этого результата?
Ради примера, обсудим несколько гипотез:
• δ возрастает с уменьшением средней нормы доходности в экономике 
доходность низка там, где риски малы  на устоявшихся рынках, в
развитых экономиках фирмы будут относительно чаще договариваться,
чем конкурировать.
•
Критика: зато в развитых экономиках политика поддержки конкуренции гораздо
более жесткая, а развивающиеся страны часто ограничивают конкуренцию (в
особенности внешнюю) в целях защиты национальных производителей…
•
δ возрастает с улучшением институциональных условий ведения бизнеса
 чем стабильнее и понятнее законодательство, чем более предсказуемо
госрегулирование, чем надежней суды, чем меньше коррупция – тем чаще
крупные фирмы будут стремиться к сговору
•
Критика: та же, что и выше + в нашей модели не учитывается, что участником
сговора может быть само государство – а в странах с плохим деловым климатом это
не редкость!
Даже такой скупой анализ показывает, как нас ограничивают наши
предпосылки: полная и совершенная информация, отсутствие
неопределенности, отсутствие трансакционных издержек, отсутствие
государственного регулирования…
Альтернативной интерпретацией бесконечно повторяющейся
игры может быть игра с неизвестным числом периодов:
Пусть две фирмы конкурируют по Бертрану. Обеим фирмам известно,
что с вероятностью 1 – δ очередной раунд игры станет последним
Тогда ожидаемая прибыль фирмы i равна:
E(П) = πi,1 + δ πi,2 + δ2 πi,2 + …
Вероятность того,
что игра дойдет до 2 раунда
Вероятность того,
что игра дойдет до 3 раунда
Анализируя устойчивость сговора аналогично тому, как это было
сделано выше, мы придем к очевидному выводу: чем выше
неопределенность (чем меньше δ), тем меньше вероятность, что
сговор будет устойчивым.
А теперь - кое-что сверх программы…
В 2010 году, Нобелевскую премию по экономике
получили Питер Даймонд, Дейл Мортенсен и
Кристофер Писсаридес, «за исследования рынков
с поисковыми трениями», в том числе рынков труда.
В работах, опубликованных в 1970-х и первой
половине 1980-х годов, они разработали новую методологию
исследования рынков труда, в основе которой лежат потоковые
переменные, и неотъемлемым элементом которой являются
трансакционные издержки в процессе поиска работником своего
работодателя, а работодателем – работника.
Эта методология была успешно применена и в других областях
экономики – в частности, теории денег, теории финансов и теории
отраслевых рынков.
Последняя область имеет непосредственное отношение к
олигополистической конкуренции, и именно ее мы и рассмотрим
сегодня.
В качестве образца, мы возьмем модель распродаж,
предложенную в 1980 г. Х.Вэрианом.
Статья строилась в попытке ответить на следующий
вопрос: если покупатели ведут себя рационально
почему на реальных рынках наблюдается заметный и
регулярный разброс цен на один и тот же товар или
услугу, причем в один момент времени товар дешевле
в одном магазине, а в следующий – уже в другом?
Ответ на этот вопрос он дает с помощью простой, но
элегантной модели олигополистической конкуренции, в
которой фирмы имеют дело с двумя типами
покупателей:
1) «знайками», которые пытаются найти самое
выгодное предложение с учетом издержек на поиск, и
2) «незнайками», которые в силу тех или иных
ограничений соглашаются на первую попавшуюся цену.
Модель распродаж
• На рынке n продавцов и I + M покупателей
• Каждый покупатель хочет купить одну единицу товара; у всех
одинаковая резервная цена r
• M покупателей - «незнайки»: каждый «незнайка» выбирает
случайного продавца, и если его цена ниже r, покупает.
• I покупателей - «знайки»: каждый «знайка» покупает только по
самой низкой цене; если таковая наблюдается у нескольких
продавцов – случайным образом идет к одному из них
• U = M/n – количество покупателей-«незнаек», приходящихся на
одну фирму
Фирмы конкурируют путем одновременного выбора цен, причем
каждая фирма выбирает функцию плотности распределения
f(p), которая для каждого уровня цены p дает вероятность f(p), с
которой фирма назначит именно эту цену.
•
Все фирмы обладают одинаковой функцией издержек с(q),
средние издержки монотонно убывают
–
•
•
Для рассматриваемой Вэрианом задачи, эта предпосылка довольно
естественна: упрощенно, издержки ритейлера состоят из более или менее
постоянной стоимости аренды, фонда оплаты труда, который зависит от
объема продаж довольно слабо, и издержек оптовой закупки товара,
которые прямо пропорциональны объему продаж.
Барьеры входа и выхода из отрасли отсутствуют: в долгосрочном
периоде n таково, что экономическая прибыль каждой фирмы
стремится к нулю
Максимальное количество товара, которое фирма потенциально
может продать: I + U. Обозначим средние издержки продажи этого
количества товара как p*: p* = c(I+U)/(I+U)
Далее, Вэриан стремится охарактеризовать долгосрочное
симметричное равновесие на подобном рынке и доказывает
несколько утверждений относительно равновесной f(p) 
Характеристики равновесной f(p):
•
f(p) = 0 при p > r или p < p*
что вполне понятно.
•
Не существует симметричного равновесия, в котором каждый магазин
назначал бы одну и ту же цену p.
Это тоже нетрудно понять. Если p > p*, есть возможность
переманить всех покупателей-«знаек» к себе, снизив цену. Если
же p = p*, все фирмы разорятся: ведь каждая обслуживает всего
1/n рынка, а цена p* рентабельна при гораздо большем числе
покупателей!
Функция плотности распределения f(p) непрерывна, как и
соответствующая ей функция распределения F(p).
Доказывать это утверждение довольно тяжело, но оно важно, т.к.
подразумевает нулевую вероятность того, что цены хотя бы двух
магазинов совпадут.
3)
Теперь мы можем выписать выражение для ожидаемой прибыли фирмы.
Принципиально, фирма может оказаться всего в двух ситуациях:
А) Ее цена оказалась самой низкой = I + U покупателей, вероятность
этого события: (1 – F(p))n-1
Б) Самой низкой оказалась цена одного из конкурентов
= U покупателей, вероятность: 1 – (1 – F(p))n-1
Ожидаемая
прибыль:
где:
Фирма максимизирует свою ожидаемую прибыль при ограничениях
Тем, кто хорошо помнит теорию игр, ясно, что любая цена p для
которой f(p) > 0, должна приносить фирме одинаковую прибыль.
(иначе фирма увеличила бы f(p) для более удачных цен, и снизила для менее удачных)
Так как барьеров входа и выхода из отрасли нет, в долгосрочном
равновесии любая цена должна приносить одну и ту же (нулевую)
прибыль:
Откуда можно получить вид
равновесной функции F(p):
Значения эндогенных переменных n и p* можно вычислить,
воспользовавшись тем, что:
- при цене r у тебя будут покупать
только «незнайки»
- минимально возможная цена привлечет всех
«знаек»
Подставив найденные n и
p* в выражение для
равновесной F(p), мы
сможем, наконец, судить о
форме f(p), которая, для
наших предпосылок об
издержках, имеет
следующий вид:
Обратите внимание на U-образную форму f(p): в
равновесии магазины чаще предпочитают перемежать
периоды высоких и низких цен, нежели чем постоянно
держать цены на среднем уровне
 Интуитивно, фирма стремится одновременно
максимально эксплуатировать «незнаек» (p = r), и
сохранить свою рыночную долю (p = p*) – но
поскольку она не может дискриминировать, ей
приходится назначать цену ближе к r в один
период, и ближе к p* - в другой.
Напоследок, немного сравнительной статики:
Обратите внимание на зависимость средней цены, уплачиваемой
«незнайками» («P-c-черточкой») от количества «незнаек», M: чем их
больше, тем дороже в среднем берут с каждого из них.
Это, как пишет Вэриан, «пример отрицательной экстерналии,
порождаемой нерациональным поведением»…
При этом «знайки» от соседства с «незнайками», наоборот, выигрывают,
что связано с влиянием M на число фирм в отрасли, n. Чем больше M,
тем больше фирм, и тем большее количество продавцов одновременно
назначают низкие цены!