Простые и сложные проценты и банковские расчеты.

Простые и сложные
проценты. Банковские
расчеты.
Работу над проектом выполнила
ученица 9 класса Сизова И.Р.
Понятие о банке.
Cредства, помещенные на хранение в банк, через
определенный период времени приносят некоторый доход,
равный сумме начисленных за этот период процентов.
C одной стороны банки принимают вклады и платят по этим
вкладам проценты вкладчику, а с другой стороны- дают кредиты
заемщикам и получают от них проценты за пользование этими
деньгами. Разность между той суммой, которую получает банк от
заемщиков за предоставленные кредиты, и той, которую он платит
по вкладам, и составляет прибыль банка. Таким образом, банк
является финансовым посредником между вкладчиками и
заемщиками. Эта связь наглядно показана на схеме 1.
Вклад
Вкладчик
Банк
Плата за пользование
вкладом
Заемщики
Плата за пользование
кредитом
За хранение сбережений вкладчика и разрешение распоряжаться
этими деньгами банк выплачивает вкладчику проценты к хранящейся
сумме денег. В зависимости от способа начисления проценты
делятся на простые и сложные .

Сложные проценты

если вкладчик не снимает со счета
сумму начисленных процентов, то эта
сумма присоединяется к основному
вкладу, а в конце следующего года банк
будет начислять р % уже на новую
увеличенную сумму. Это означает, что
банк станет теперь начислять проценты
не только на основной вклад, S0, но и
на проценты, которые на него
полагаются. Такой способ начисления «
процентов на проценты» в математике
называют сложными процентами , а
операцию присоединения начисленных
процентов к основному вкладу
называют капитализацией процентов.
 Простые проценты.
 Увеличение вклада S0
схеме простых процентов
характеризируется тем,
что суммы процентов в
течение всего срока
хранения определяются
исхода только из
первоначальной суммы
вклада S0 независимо от
срока хранения и
количества периодов
начисления процентов.
Капитализация процентов.
 Пусть вклад S0 руб. находиться на счете банка t1 лет ,
и на него начисляют простые проценты по ставке р1%
годовых. По прошествии t1 лет величина вклада
окажется равной S1= S0(1+p1t1/100).
 Далее вкладчик может снять все эти деньги и внести их
в другой банк, который в течение t2 лет будет
начислять на сумму S1 простые проценты по ставке
р2% годовых. При прошествии t1+t2лет величина
вклада будет равна
S2= S1(1+p2t2/100)= S0(1+p1t1/100) (1+p2t2/100).
Такая операция называется капитализацией
процентов: сумма S1, наращенная за время t1, вновь
вкладывается на срок t2, под новый простой процент
р2.
Пример.
На сумму 150000 руб. начисляются простые проценты в течение 5 месяцев по
ставке 45% годовых. Через 5 месяцев баек увеличил годовую ставку на 5% . При
условии, что проценты по прошествии 5 месяцев капитализируется, определить
величину вклада по прошествии 1 года и 3 месяцев
Решение.
Вклад S0=150000 руб. за время t1=5 месяцев по ставке р%= 45% в год достигнет
величины
S1= S0(1+p1t1/100)=150000 (1+5/12*45/100)=178125
Поскольку проценты капитализируются , то впредь они будут начисляться на сумму
S1, и поэтому за время t2= 10 месяцев по ставке р2% = 50% годовых вклад
достигнет величины
S2= S1(1+p2t2/100)=178125( 1+10/12*50/100)=25234375/
Если проценты не капитализируются, то величина вклада будет равна:
S = S0(1+p1t1/100) (1+p2t2/100)=150000(1+5/12*45/100+10/12*50/100)=240625 руб.
Мы убеждаемся, что капитализация процентов приводит к увеличению вклада на
11 718, 75.
Пусть имеются три промежутка времени продолжительностью t1,t2,…tn лет, на
каждом из которых начисляются простые годовые проценты р1%, р2%...рn% с
капитализацией процентов в конце каждого промежутка . величина вклада за
t1,t2,…tn лет будет равна.
Многократное начисление сложных
процентов в течение нескольких лет.


1.Если банк на вклад S0 начисляет сложные проценты по ставке р% годовых, то через n лет
на счете вкладчика окажется
Sn=S0(1+p/100)n .
(1)
2. Если банк на вклад S0 начисляет по ставке р% годовых, а начисление процентов
происходит k раз в год по ставке р /k%,то через один год на счете вкладчика будет
находиться
S(k)=S0(1+p/100k) руб.
Пример.
Пусть сумма S0= 20000 руб. внесена в банк под сложные проценты по ставке р%годовых.
Пусть она внесена в банк на два года при условии начисления процентов три раза в год по
ставке р%/3. Выясним, какая сумма будет находиться на счете в конце второго года.
За два года произойдет 2*3=6 начислений процентов по ставке р/3%, и поэтому
S=S0 (1+р/3*100)6.
Так, при S0 = 20000 руб. и р= 30% величина вклада через два года достигнет значение
S=20000(1+30/3*100)6= 20000*(1,1)6=35431,22.
Теперь рассмотрим общий случай.
Если вклад S0 находиться на счете в банке n лет и каждый год проценты начисляются m раз
по р/m%, то после первого начисления процентов на счете будет лежать сумма S1=S0
(1+p/m*100).
.
Всего же таких начислений будет произведено n*m раз. Поэтому искомая сумма на счете
вкладчика будет равна S=S0 (1+p/m*100)mn.
.
Начисление процентов при нецелом промежутке
времени.
Формула
Sn= S0(1+p/100)n,
n=1, 2, 3,...
Выбор банком годовой
процентной ставки.


если в банк внесена сумма S0 руб. и банк
выплачивает р% в год, то через год на счете
вкладчика окажется сумма
S1= S0(1+p/100)n.
Если банк разрешает вкладчику n раз в год
переоформлять вклад и при этом банк
согласен за каждый промежуток времени 1/n
года начислять сложные проценты по ставке
р/n%, то по прошествии года на счете
вкладчика окажется сумма
S2=S0(1+p/n100)n.
Некоторые литературные и
исторические сюжеты.
В романе М.Е. Салтыкова- Щедрина « Господа
Головлены » есть такой эпизод: сын Порфирия
Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000
руб. и попросил у бабушки эту сумму взаймы. Он
говорил: « Я бы хороший процент дал . Пять процентов
в месяц.» Подсчитаем, сколько денег готов был вернуть
Петя через год, согласись бабушка на его условия.
Если вести расчет по сложным процентам , то Петя
вернул бы бабушке
S1= 3 000∙( 1+ 0,05)12= 5 400 руб.
Если же вести счет по простым процентам , то он вернул
бы S2= 3 000 ∙( 1+ 0,05∙12)= 4 800 руб.
Однако, не веря внуку, бабушка денег не дала!