Теория выбора в условиях неопределенности - 3

Теория выбора в условиях
неопределенности - 3
Модель инвестиций в рисковые активы на
основе теории ожидаемой полезности
Решение инвестора о покупке рискового актива:
теорема о диверсификации
Парадоксы теории ожидаемой полезности в
лабораторных и реальных условиях
В качестве еще одного примера применения теории
ожидаемой полезности, рассмотрим
модель инвестиций в рисковый актив
Предпосылки:
• инвестор-рискофоб, предпочтения описываются функцией
ожидаемой полезности фон Н.-М.,
• возможны два состояния мира:
– с вероятностью p  (0; 1) наступает экономический рост (B)
– с вероятностью (1 – p) наступает экономический кризис (S)
• первоначальное богатство индивида составляет w
• индивиду доступны 2 актива:
– актив 1 (безрисковый): вложив а, вы получаете a в любом
состоянии мира
– актив 2 (рисковый): вложив a, вы получаете:
аc > a в состоянии мира B
аd < a в состоянии мира S
Как инвестор выберет свой оптимальный портфель?
Нам будет удобнее сразу сформулировать задачу инвестора в
терминах контингентных благ. Их здесь два – XB (богатство в
состоянии мира B) и XS (богатство в состоянии мира S).
Начнем с бюджетного ограничения. Предположим, инвестор
вкладывает a долларов в рисковый актив. Тогда его
бюджетное ограничение в терминах контингентных благ
описывается системой:
X B  ac   w  a   X S (c  1)  X B (1  d )  w(c  1)  w(1  d )


X

ad

w

a


 w  X B  wc
 S
0  a  w
 wd  X  w
S


Давайте посмотрим, как выглядит эта бюджетная линия в
пространстве контингентных благ 
1) Cиняя 45º линия соответствует доходам от портфелей, содержащих только
безрисковый актив. Любой такой портфель обеспечивает инвестору
одинаковое богатство в любом состоянии мира.
2) Красная пунктирная линия соответствует доходам от портфелей,
содержащих только рисковый актив.
3) Зеленый отрезок – это бюджетная линия. Точки на ней соответствуют
доходам от всех портфелей, которые инвестор может приобрести, вложив
ровно w.
Как изменится бюджетная линия, если:
XB
1) Вырастет первоначальное
богатство инвестора?
бюджетная линия
wc
2) Доходность рискового актива в
состоянии мира «S» упадет?
3) Вместо безрискового актива
будет доступен проциклический, но
малорискованный актив, который
будет приносить несколько меньше
дохода в состоянии “B”, но
несколько больше в состоянии “S”?
w
0
wd
w
XS
Задача инвестора в терминах контингентных благ:
 max pv( X B )  (1  p)v( X S )
 XB ,XS
 X S (c  1)  X B (1  d )  w(c  1)  w(1  d )

 w  X B  wc
 wd  X  w
S

Учитывая монотонность и строгую вогнутость функции ожидаемой
полезности, у этой задачи может быть 3 типа решений 
1) Инвестор вкладывает деньги только в рисковый актив (угловое
решение):
XB
XB = XS
wc
w
w
0
wd
w
XS
2) Инвестор вкладывает часть денег в рисковый, а часть – в
безрисковый актив (внутреннее решение)
XB
XB = XS
wc
w
w
0
wd
w
XS
3) Инвестор вкладывает деньги только в безрисковый актив (угловое
решение)
XB
XB = XS
wc
w
w
0
wd
w
XS
Мы можем выяснить, при каких условиях инвесторрискофоб вкладывает хоть что-нибудь в рисковый
актив?
XB
XB
wc
S
w
w
0
Как подсказывает график слева,
чтобы инвестор вкладывал хоть что-то
=X
в рисковый актив, |MRSXSXB| в
точке (w, w) должна быть меньше
модуля тангенса угла наклона
бюджетной линии:
wd
w
(1  p)v '( w) (1  p) c  1


pv '( w)
p
1 d
XS
Это неравенство можно преобразовать к следующему виду:
 ожидаемый доход на $1, вложенный
1  pc  (1  p )d
в рисковый актив должен превышать
таковой для безрискового актива!
Итак, мы выяснили, что для случая с двумя активами:
рисковым и безрисковым, рисковый актив обязательно
войдет в оптимальный портфель, если его ожидаемая
доходность выше доходности безрискового актива.
Этот результат является частным случаем Теоремы
Самуэльсона о диверсификации портфеля 
Теорема о диверсификации Самуэльсона
• Пусть предпочтения инвестора-рискофоба
описываются функцией ожидаемой полезности фон
Неймана—Моргенштерна с дважды
дифференцируемой элементарной функцией
полезности v(·), и кроме того:
• доходности доступных ему активов статистически
независимы;
• инвестор может брать кредит по безрисковой ставке;
• выполнены условия регулярности, обеспечивающие,
что производная математического ожидания равна
математическому ожиданию производной.
 Тогда любой актив, ожидаемая доходность которого
выше доходности безрискового актива, войдет в
портфель.
Парадоксы теории ожидаемой полезности
Теория ожидаемой полезности и представление о
рискофобии как основном типе отношения к риску долго
была (и, пожалуй, до сих пор остается!) доминирующей
парадигмой в области экономического анализа выбора
в условиях неопределенности.
Однако, уже c середины XX века исследователи стали
замечать, что в своем классическом виде (с
элементарной функцией полезности, не зависимой от
состояний мира, с линейностью по вероятностям…)
теория ожидаемой полезности не позволяет объяснить
ряд парадоксов, устойчиво проявляющихся в поведении
людей 
Парадокс Алле
• Первым парадоксом, привлекшим широкое внимание,
стал т.н. «парадокс Алле» (1953)
Выбор 1
A
0,1
500
0,01
500
0,89
500
Выбор 2
B
C
2500
500
0
500
500
0
D
2500
0
0
• A предпочиталось B, но D предпочиталось С –
вопреки аксиоме независимости
Парадокс «одинаковых вероятностей»
приз
вероятность
Выбор 1 A
6000
0,45
B
3000
0,9
Выбор 2 C
6000
0,001
D
3000
0,002
Kahneman, Tversky, 1979:
14% испытуемых выбрали А и отвергли B
73% испытуемых выбрали C и отвергли D
«Обращение предпочтений»: эффект
фрэйминга
«Обращение предпочтений»: даже при одинаковых
выигрышах и одинаковых вероятностях, предпочтения
могут меняться на противоположные в зависимости от
постановки вопроса!
Известный пример: «азиатская болезнь» (Tversky &
Kahneman, 1981). Поселок в 600 человек, опасность
эпидемии. Варианты действий:
A) гарантированно спасти 200 человек
B) спасти 600 человек с вероятностью 1/3 (в случае неудачи умрут
все)
• Большинство предпочитало «А»
C) 400 человек обречены
D) с вероятностью 2/3 умрут все, с вероятностью 1/3 все выживут
• Большинство предпочитало «D»
Может показаться, что перечисленные парадоксы,
обнаруженные преимущественно в лабораторных
условиях, имеют мало отношения к экономическому
выбору реальных людей.
Но и вне лабораторных экспериментов можно найти
достаточно случаев, не объяснимых в рамках теории
ожидаемой полезности в ее классическом виде!
Вот какой перечень аномалий приводит, например, Колин
Камерер, известный американский экономист,
специализирующийся в области поведенческой
экономики в своей статье Prospect Theory in the Wild:
Evidence from the field (2000)* 
* Точная ссылка: Prospect Theory in the Wild: Evidence from the field (2000)
//D.Kahneman, A.Tversky (eds.) Choices, Values and Frames NY: CUP
and the Russell Sage Foundation, 288-300
Явления, не имеющие объяснения в рамках
теории ожидаемой полезности – 1
(C.Camerer, 2000)
Явление
Область
Описание
Премия за риск
Фондовые
рынки
Слишком высокая разница
между доходностью акций и
облигаций
«Эффект
диспозиции»
Фондовые
рынки
Падающие бумаги «держат»
слишком долго, а растущие продают слишком быстро
Явления, не имеющие объяснения в рамках
теории ожидаемой полезности - 2
Явление
Область
Описание
Кривая
предложения
труда с
отрицательным
наклоном
Экономика труда
Нью-Йоркские таксисты
заканчивают работу по
достижении определенной
дневной выручки
Асимметрия в
ценовой
эластичности
спроса
Потребительский
выбор
Повышение цен влияет на
продажи сильнее, чем такое
же снижение
Явления, не имеющие объяснения в рамках
теории ожидаемой полезности - 3
Явление
Область
Описание
Игнорирование
ожидаемого
снижения доходов
Макроэкономика
Люди не сокращают
потребление после
неприятных новостей о своих
будущих доходах
Влияние status quo
Потребительский Люди не меняют медицинскую
выбор
страховку, даже когда это
было бы выгодно
Явления, не имеющие объяснения в рамках
теории ожидаемой полезности - 4
Явление
Область
Описание
Ставки на
фаворитов и
аутсайдеров
Тотализатор на
скачках
На фаворитов ставят
слишком мало; на
аутсайдеров – наоборот
Эффект «конца
скачек»
Тотализатор на
скачках
В конце дня на аутсайдеров
ставят больше
Явления, не имеющие объяснения в рамках
теории ожидаемой полезности - 5
Явление
Область
Описание
Страховка от
обрыва
телефонной линии
страхование
Полисы слишком дороги, но
их все равно покупают
Спрос на
лотереи
лотерейные билеты
По мере роста главного
приза, растут и продажи
билетов