Билеты по геометрии (конспект)
реклама
Билет №1 1.Взаимное расположение прямых в пространстве. Доказать теорему о прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку пространства, не лежащую на данной прямой. Взаимное расположение прямых в пространстве: если две прямые имеют ровно одну общую точку, то они называются пересекающимися; если две прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, то прямые называются параллельными; если две прямые не лежат в одной плоскости, то они называются скрещивающимися. Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. 2. Определение многогранника. Выпуклые многогранники. Формула Эйлера для выпуклого многогранника (без доказательства). Правильные многогранники. Доказать теорему о правильных многогранниках. Определение 1. Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Вершины этих многоугольников называются вершинами, стороны – ребрами, а сами многоугольники – гранями данного многогранника. Определение 2. Многогранник называется выпуклым, если он расположен в одном полупространстве относительно любой плоскости, проходящей через его грань. Определение 3. Эйлеровой характеристикой многогранника называется величина, равная сумме количества вершин и граней этого многогранника без количества ребер. ВР Г Теорема 1 (формула Эйлера) многогранника равна двум. Эйлерова характеристика любого выпуклого Определение 4. Многогранник называется правильным, если он выпуклый, все его ребра равны и все многогранные углы при каждой вершине равны. Из определения правильного многогранника следует, что в любом правильном многограннике все грани являются правильными многоугольниками, все его двугранные углы равны и в каждой вершине сходится одинаковое число ребер. Теорема 2 (о правильных многогранниках). Существует всего пять видов правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр (куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр, правильный икосаэдр. Билет №2 1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Доказать теорему о двух параллельных прямых, одна из которых пересекает плоскость. Доказать теорему о прямой, пересекающей одну из параллельных плоскостей. Доказать признак параллельности прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых в пространстве: если две прямые имеют ровно одну общую точку, то они называются пересекающимися; если две прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, то прямые называются параллельными; если две прямые не лежат в одной плоскости, то они называются скрещивающимися. Теорема 1 .Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. Теорема 2. Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую. Теорема 3 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости, то эти прямая и плоскость параллельны. 2. Определение трехгранных углов. Вертикальные и смежные трехгранные углы. Доказать неравенства для плоских углов трехгранного угла. Определение 1. Трехгранным углом называется геометрическая фигура, состоящая из трех плоских углов, образованных тремя лучами, исходящими из одной точки и не лежащими в одной плоскости. Эти лучи называются ребрами, плоские углы, образованные ими – гранями, общее начало этих лучей – вершиной данного трехгранного угла. Определение 1’ (альтернативное определение трехгранного угла). Трехгранным углом называется пересечение трех полупространств, граничные плоскости которых имеют единственную общую точку. Определение 2. Двугранными углами трехгранного угла называются двугранные углы, которые содержат две грани данного трехгранного угла. Если ребрами трехгранного угла являются лучи a, b, c, имеющих начало в точке О, то данный трехгранный угол можно обозначить Oabc или OABC, где точки A, B, C – точки, лежащие на ребрах a, b, c соответственно. BOC, AOC, AOB – плоские углы (грани) трехгранного угла Oabc = OABC, B(OA)C, A(OB)C, A(OC)B – двугранные углы при ребрах ОА, ОВ, ОС соотвествено. Определение 3. Два трехгранных угла называются вертикальными, если их ребра попарно явлются дополнительными полупрямыми. Определение 4. Два трехгранных угла называются смежными, если у них два ребра общих, а остальные являются дополнительными полупрямыми. Теорема 1 (аналог неравенства треугольника для трехгранных углов). Любой плоский угол трехгранного углы меньше суммы двух других. Теорема 2 (о сумме плоских углов трехгранного угла). трехганного угла меньше 360о. 360 Сумма всех плоских углов Билет №3 1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Параллельные прямые. Доказать теорему о транзитивности параллельности прямых в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве: если две прямые имеют ровно одну общую точку, то они называются пересекающимися; если две прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, то прямые называются параллельными; если две прямые не лежат в одной плоскости, то они называются скрещивающимися. Теорема (о транзитивности параллельности прямых в пространстве). Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. 2. Доказать первую теорему косинусов для трехгранного угла. Первая теорема Пифагора для трехгранного угла. Теорема 1 (первая теорема косинусов для трехгранного угла). Косинус любого плоского угла трехгранного угла равен произведению косинусов двух других плоских углов, сложенному с произведением синусов этих углов и косинуса противоположного первому двугранного угла. cos cos cos sin sin cosC Теорема 2 (первая теорема Пифагора для трехгранного угла). Если в трехгранном угле один из двугранных углов прямой, то косинус противоположного ему плоского угла равен произведению косинусов двух других плоских углов. Если C 90 , то cos cos cos . Билет №4 1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Доказать признаки скрещивающихся прямых. Взаимное расположение прямых в пространстве: если две прямые имеют ровно одну общую точку, то они называются пересекающимися; если две прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, то прямые называются параллельными; если две прямые не лежат в одной плоскости, то они называются скрещивающимися. Теорема 1 (первый признак скрещивающихся прямых). Если одна прямая лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются. Теорема 2 (второй признак скрещивающихся прямых). Если две прямые проходят через четыре точки, не лежащие в одной плоскости, то эти прямы скрещиваются. 2. Доказать терему синусов для трехгранного угла. Теорема (теорема синусов для трехгранного угла). В трехгранном угле синусы плоских углов пропорциональны синусам противолежащих двухгранных углов. sin sin sin sin A sin B sin C Билет №5 1. Доказать теорему о существовании и единственности плоскости, проходящей через одну из двух скрещивающихся прямых, параллельно другой из них. Доказать теорему о существовании и единственности пары параллельных плоскостей, проходящих через две скрещивающиеся прямые. Теорема 1. Через каждую из двух данных скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом, только одну. Теорема 2. Существует единственная пара параллельных плоскостей, каждая из которых содержит одну из двух данных скрещивающихся прямых и параллельна другой из них. 2. Двойственный (полярный трехгранный угол). Доказать вторую теорему косинусов для трехгранного угла. Вторая теорема Пифагора для трехгранного угла. Доказать неравенство для суммы двугранных углов трехгранного угла. Построим три луча a’, b’, c’ с началом во внутренней точке O’ данного трехгранного угла Oabc, перпендикулярные соответственным граням Obc, Oca, Oab этого трехгранного угла. Трехгранный угол O’a’b’c’ называется двойственным (полярным) данному трехгранному углу Oabc. Вершина O трехгранного угла Oabc лежит внутри трехгранного угла O’a’b’c’, а ребра a, b, c перпендикулярны соответственно граням O’b’c’, O’c’a’, O’a’b’. Следовательно, трехгранный угол Oabc также двойственен (полярен) трехгранному углу O’a’b’c’. Эти трехгранные углы двойственны (полярны) друг другу. Выбор точки O’ несуществен, поскольку два трехгранных угла, полярных данному, совмещаются друг с другом параллельным переносом. Плоские и двугранные углы двух взаимно полярных триэдров находятся в определенной зависимости. Именно, сумма радианных мер плоского угла трехгранного угла и соответствующего ему двугранного угла полярного трехгранного угла равна 1800 (принцип полярности). Теорема 1 (вторая теорема косинусов для трехгранного угла). Косинус двугранного угла трехгранного угла произведению косинусов двух других двугранных углов, взятому с противоположным знаком и сложенному с произведением синусов этих двугранных углов и косинуса противоположного первому плоского угла. cosC cosA cosB sin Asin B cos Теорема 2 (вторая теорема Пифагора для трехгранного угла). Если в трехгранном угле один из плоских углов прямой, то косинус противоположного ему двугранного угла равен произведению косинусов двух других двугранных углов, взятому с противоположным знаком. Если 90 , то cosC cosA cosB . Теорема 3 (неравенство для суммы двугранных углов трехгранного угла). трехгранном угле сумма всех двугранных углов больше 180о, но меньше 540о. 180 A B C 540 В Билет №6 1. Доказать теорему о линии пересечения плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости. Доказать теорему о линии пересечения двух плоскостей, проходящих через две параллельные прямые. Теорема 1. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой. Теорема 2. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то прямая их пересечения параллельна каждой из данных прямых. 2. Доказать признаки равенства трехгранных углов. Следствия. Определение. Два трехгранных угла называются равными, если у них соответствующие плоские и трехгранные углы равны. Теорема 1 (первый признак равенства трехгранных углов). Если два плоских угла и двугранный угол между ними одного трехгранного угла соответственно равны двум плоским углам и двугранному углу между ними другого трехгранного угла, то такие трехгранные углы равны. Теорема 2(второй признак равенства трехгранных углов). Если плоский угол и два прилежащих к нему двугранных угла одного трехгранного угла соответственно равны плоскому углу и двум прилежащим к нему двугранным углам другого трехгранного угла, то такие трехгранные углы равны. Теорема 3 (третий признак равенства трехгранных углов). Если три плоских угла одного трехгранного угла соответственно равны трем плоским углам другого трехгранного угла, то такие трехгранные углы равны. Теорема 4 (четвертый признак равенства трехгранных углов). Если три двугранных угла одного трехгранного угла соответственно равны трем двугранным углам другого трехгранного угла, то такие трехгранные углы равны. Доказать первые два признака, остальные сформулировать, но уметь доказывать все!!! Следствие 1. В трехгранном угле два плоских угла равны тогда и только тогда, когда противоположные им двугранные углы равны. Следствие 2. В трехгранном угле три плоских угла равны тогда и только тогда, когда все три двугранных угла равны. Билет №7 1. Сонаправленные и противоположно направленные лучи. Доказать теорему об углах с попарно сонаправленными сторонами. Угол между лучами. Угол между прямыми. Перпендикулярность прямых. Определение 1. Два луча называются сонаправленными (или одинаково направленными), если они или лежат на параллельных прямых и расположены в одной полуплоскости относительно прямой, проходящей через их начала, или один из них содержится в другом. Определение 2. Два луча называются противонаправленными (или противоположно направленными), если они лежат на параллельных прямых и расположены в различных полуплоскостях относительно прямой, проходящей через их начала, или в том случае, когда лучи лежат на одной прямой и либо не имеют общих точек, либо их общей частью является одна точка или отрезок этой прямой. Замечание. Если лучи не лежат ни на параллельных прямых, ни на одной прямой, то эти лучи не сонаправлены и не противонаправлены. Теорема 1 (об углах с сонаправленными сторонами). Два угла с попарно сонаправленными сторонами равны. Определение 3. Угол между сонаправленными лучами принимается равным 00. Если лучи не сонаправлены и имеют общее начало, то величина угла между ними как угловая величина плоского угла, образованного этими лучами. Если лучи не сонаправлены и имеют различные начала, то угол между ними принимается равным величине угла между лучами, сонаправлеными с данными и исходящими из одной точки пространства. Определение 4. Угол между параллельными прямыми принимается равным 0о. Угол между пересекающимися прямыми принимается равным величине наименьшего из плоских углов, образованных этими прямыми. Угол между скрещивающимися прямыми принимается равным величине угла между параллельными им пересекающимися в некоторой точке пространства прямыми. Определение 5. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90о. Теорема 2. Если одна из параллельных прямых пепендикулярна третьей, то и вторая прямая перпендикулярна третьей. 2. Определение пирамиды. Высота пирамиды. Доказать теорему о высоте пирамиды, у которой два смежных ребра равны (одинаково наклонены к плоскости основания). Следствия. Определение 1. n-угольной ппирамидой называется многогранник, одна грань которого – плоский n-угольник, а остальные n грани – треугольники с общей вершиной. Данный плоский n-угольник называется основанием пирамиды, остальные грани – боковыми гранями пирамиды, общая вершина боковых граней – вершиной пирамиды. Определение 2. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Определение 3. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны. Теорема 1. Если два смежных боковых ребра пирамиды равны между собой, то основание высоты пирамиды находится на серединном перпендикуояре той стороны основания, из концов которой исходят эти ребра. Теорема 2. Если два смежных боковых ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то основание высоты пирамиды находится на серединном перпендикуояре той стороны основания, из концов которой исходят эти ребра. Сформулировать оба утверждения. Доказать любое из них. Следствие 1. Если все боковые ребра пирамиды равны между собой (одинаково наклонены к плоскости основания), то основанием высоты пирамиды служит центр окружности, описанной около лежащего в основании пирамиды многоугольника. Следствие 2. Высота првильной пирамиды падает в центр лежащего в основании правильного многоугольника. Билет №8 1. Определение прямой, перпендикулярной перпендикулярности прямой и плоскости. плоскости. Определение. Прямая называется перпендикулярной перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости. Доказать плоскости, признак если она Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. 2. Определение пирамиды. Доказать теорему о высоте пирамиды, две смежные грани которой одинаково наклонены к плоскости основания. Следствие. Определение 1. n-угольной пирамидой называется многогранник, одна грань которого – плоский n-угольник, а остальные n грани – треугольники с общей вершиной. Данный плоский n-угольник называется основанием пирамиды, остальные грани – боковыми гранями пирамиды, общая вершина боковых граней – вершиной пирамиды. Определение 2. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Теорема. Если две смежные боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, основание высоты пирамиды лежит на биссектрисе угла, образованного теми сторонами основания, через которые проходят эти боковые грани. Следствие. Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то основанием высоты пирамиды служи т центр окружности, вписанной в лежащий в основании многоугольнк. Билет №9 1. Доказать теорему о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости. Доказать теорему о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости. Теорема 1. Если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Теорема 2. Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны. 2. Доказать формулу проекций граней тетраэдра. Доказать теорему о площади боковой поверхности пирамиды, все грани которой одинаково наклонены к плоскости основания. Доказать теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды. Теорема 1 (формула проекций граней тетраэдра). Сумма произведений площадей трех граней тетраэдра и косинусов углов наклона этих граней к плоскости четвертой граней равна площади четвертой грани тетраэдра. S 4 S1 cos 1 S 2 cos 2 S 3 cos 3 Следствие. Площадь любой грани тетраэдра меньше суммы площадей остальных его граней. S 4 S1 S 2 S 3 Теорема 2. Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то площадь боковой поверхности пирамиды равна площади основания пирамиды, поделенной на косинус угла наклона боковых граней к плоскости основания. S бок S осн cos Теорема 3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания и апофемы пирамиды. Билет №10 1. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Свойства перпендикуляра и наклонной к плоскости. Доказать теорему о трех перпендикулярах (прямую и обратную). Определение 1. Перпендикуляром, опущенным из данной точки на плоскость, называется отрезок прямой, перпендикулярной этой плоскости, один коней которой принадлежит данной плоскости, а другой – данная точка. Конец этого отрезка, принадлежащий плоскости называется основанием перпендикуляра. Определение 2. Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется всякий отрезок, который соединяет данную точку с точкой на плоскости. Конец этого отрезка, принадлежащий плоскости называется основанием наклонной. Определение 3. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных к плоскости из одной точки, называется ортогональной проекций наклонной на эту плоскость. Свойства перпендикуляра и наклонной: если из одной точки, не принадлежащей плоскости, проведены к той плоскости перпендикуляр и наклонная, то длина наклонной больше длины перпендикуляра; длина проекции наклонной меньше длины самой наклонной; длины наклонных, проведенных из одной точки, не принадлежащей плоскости, равны тогда и только тогда, когда равны длины их проекций; если из одной точки, не принадлежащей плоскости, поведены к этой плоскости две наклонные к этой плоскости, то большей наклонной соответствует большая проекция. Наклонной к плоскости также называют любую прямую, пересекающую плоскость, не перпендикулярную ей. В таком случае ортогональной проекцией наклонной будет прямая. Теорема 1 (прямая теорема о трех перпендикулярах). Если прямая, лежащая на плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то данная прямая перпендикулярна и самой наклонной. Теорема 2 (обратная теорема о трех перпендикулярах). Если на плоскости проведена прямая перпендикулярно наклонной, то эта прямая перпендикулярна проекции наклонной. Теорема 3 (теорема о трех перпендикулярах). Для того, чтобы проекция наклонной к плоскости была перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сама наклонная была перпендикулярна данной прямой. 2. Доказать пространственную теорему Фалеса. Теорема. Если две прямые в пространстве пересечены параллельными плоскостями, то отрезки, отсекаемые ими на одной прямой, пропорциональны соответственным отрезкам на другой прямой. Следствие. Если параллельные плоскости пересекают две прямые и на одной прямой отсекают равные отрезки, то и на другой прямой они отсекают равные отрезки. Билет №11 1. Доказать теорему о сравнении угла между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость с углом между этой прямой и другой прямой, лежащей в этой плоскости. Определение угла между прямой и плоскостью. Теорема. Угол между данной прямой, не перпендикулярной, не параллельной данной плоскости, и ее ортогональной проекцией на эту плоскость меньше угла между этой прямой и любой другой прямой данной плоскости. Определение. Если прямая лежит в плоскости или параллельна ей, то угол между этой прямой и этой плоскостью принимается равным 0о. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между данной прямой и данной плоскостью принимается равным 90о. Если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей, то углом между этой прямой и данной плоскостью называется угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость. 2. Определение тетраэдра. Доказать теорему косинусов для тетраэдра. Теорема Пифагора для тетраэдра. Определение. треугольник. Тетраэдром называется пирамида, в основании которой лежит Определение. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны. Теорема (теорема косинусов для тетраэдра). Квадрат площади любой грани тетраэдра равен сумме квадратов площадей трех остальных его граней без удвоенных произведений площадей этих граней, взятых попарно, и косинусов двугранных углов между ними. S 42 S12 S 22 S 32 2S1S 2 cos CD 2S 2 S 3 cos AD 2S1S 3 cos BD , где S1 S BCD , S 2 S ACD , S 3 S ABD , S 4 S ABC . Теорема (теорема Пифагора для тетраэдра). Если плоскости трех граней тетраэдра попарно перпендикулярны, то квадрат площади четвертой грани равен сумме квадратов площадей этих трех граней тетраэдра. S 42 S12 S 22 S32 Билет №12 1. Аксиомы стереометрии. Доказать теорему о двух точках. Доказать теорему о трех точках. Определение 1. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Определение 2. Пространство – это множество, элементами которого являются точки и в котором, выполняется система аксиом стереометрии, описывающая свойства, точек, прямых и плоскостей. Аксиома 1 (аксиома плоскости). Существует хотя бы одна плоскость. Каждая плоскость есть несовпадающее с пространством непустое множество точек, в котором выполняется система аксиом планиметрии, описывающая свойства точек и прямых. Замечание 1. Из аксиомы 1 следует, что в пространстве существует бесконечно много точек. Для любой плоскости существую точки, принадлежащие ей и не принадлежащие ей. Аксиома 2 (аксиома трех точек). Через любые три точки можно провести плоскость. Замечание 2. Из аксиом 1 и 2 следует, что плоскостей в пространстве больше, чем одна (на самом деле, бесконечно иного). Плоскость можно провести не только через три точки пространства, но и через одну, и через две. Определение 3. Говорят, что фигура лежит в плоскости, если все точки данной фигуры принадлежат этой плоскости. Аксиома 3 (аксиома прямой и плоскости). Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости. Аксиома 4 (аксиома пересечения плоскостей). Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точки, то они имеют общую прямую, содержащую эту точку. Другими словами, если плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой. Определение 4. Две точки, не принадлежащие данной плоскости, называются разделенными этой плоскостью, если отрезок, соединяющий эти точки, пересекает данную плоскость. Аксиома 5 (аксиома разбиения пространства плоскостью). Любая плоскость разбивает множество, не принадлежащих ей точек пространства, на два непустых множества (полупространства) так, что: а) любые две точки, принадлежащие разным полупространствам, разделены данной плоскостью; б) любые две точки, принадлежащие одному и тому же полупространству, не разделены этой плоскостью. Аксиома 6 (аксиома расстояния). Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, проходящей через эти точки. Теорема 1 (о двух точках). Через любые две точки пространства можно провести прямую, и притом только одну. Теорема 2 (о трех точках). Через любые три точки пространства, не лежащих на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. 2. Бимедианы тетраэдра. Доказать теорему о бимедианах тетраэдра. Определение 1. Бимедианой (средней линией) тетраэдра называется отрезок, соединяющий середины противоположных (скрещивающихся) ребер тетраэдра. Теорема. Бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит пополам каждую из них. Определение 2. Точка пересечения бимедиан тетраэдра называется его центроидом. Билет №13 1. Определение параллельных плоскостей. Доказать теорему о двух плоскостях, перпендикулярных одной прямой. Доказать теорему о транзитивности параллельности плоскостей. Определение. Плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Теорема 1. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны. Теорема 2. Если две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны. 2. Медианы тетраэдра. Доказать теорему о медианах тетраэдра. Определение. Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани. Теорема. Медианы тетраэдра пересекаются в его центроиде и делятся им в отношении 3 : 1, считая от вершин. Билет №14 1. Определение параллельных плоскостей. Доказать признаки параллельности плоскостей. Определение. Плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Теорема 1. Если каждая из двух пересекающихся прямых одной плоскости параллельна другой плоскости, то данные плоскости параллельны. Теорема 2. Если две пересекающиеся прямые одой плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. 2. Доказать теорему Менелая для тетраэдра. Теорема. Пусть на ребрах AD, DB, BC и АС тетраэдра DABC выбраны точки K, L, M и N соттветственно. Для того, чтобы точки K, L, M и N лежали в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее равенство AK DL BM CN 1. KD LB MC NA Билет №15 1. Доказать теорему о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью. Доказать теорему о прямой, пересекающей одну из параллельных плоскостей. Теорема 1. Прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны Теорема 2. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую. 2. Доказать теорему синусов для тетраэдра. Теорема (теорема синусов для тетраэдра). Произведения длин противоположных ребер тетраэдра пропорциональны произведениям синусов соответствующих двугранных углов при этих ребрах. Для тетраэдра DABC справедлива следующая формула: AB CD BC AD AC BD . sin AB sin CD sin BC sin AD sin AC sin BD Билет №16 1. Доказать теорему о плоскости, пересекающей одну из параллельных плоскостей. Доказать теорему об отрезках двух параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями. Теорема 1. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость. Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. 2. Определение призмы. параллелепипеда. Параллелепипед. Доказать свойство диагоналей Определение 1. п-угольной призмой называется многогранник, две грани которого, называемые основаниями призмы, – равные п-угольники, а все остальные п граней (боковые грани призмы) – параллелограммы. Отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований называются боковыми рёбрами призмы. Определение 2. Призма называется прямой, если все её боковые грани – прямоугольники. Во всех остальных случаях призма называется наклонной. Определение 3. Призма называется правильной, если она прямая и в основании лежит правильный многоугольник. Определение 4. Параллелепипедом называется четырёхугольная призма, в основании которой лежит параллелограмм. Определение 5. Параллелепипед называется прямым, все его боковые грани – прямоугольники. Во всех остальных случаях параллелепипед называется наклонным. Определение 6. Параллелепипед называется прямоугольным, все его грани – прямоугольники. Определение 7. Кубом называется параллелепипед, все грани которого – равные квадраты. Определение 8. Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две его вершины, не лежащие в одной грани. Теорема. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Билет №17 1. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Доказать теорему о существовании и единственности плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через данную точку пространства. Взаимное расположение плоскостей в пространстве: если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку (а, значит, и общую прямую), то плоскости называются пересекающимися; если две плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными. Теорема. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну. 2. Определение призмы. Параллелепипед. Доказать теорему о сумме квадратов диагоналей параллелепипеда. Определение 1. п-угольной призмой называется многогранник, две грани которого, называемые основаниями призмы, – равные п-угольники, а все остальные п граней (боковые грани призмы) – параллелограммы. Отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований называются боковыми рёбрами призмы. Определение 2. Призма называется прямой, если все её боковые грани – прямоугольники. Во всех остальных случаях призма называется наклонной. Определение 3. Призма называется правильной, если она прямая и в основании лежит правильный многоугольник. Определение 4. Параллелепипедом называется четырёхугольная призма, в основании которой лежит параллелограмм. Определение 5. Параллелепипед называется прямым, все его боковые грани – прямоугольники. Во всех остальных случаях параллелепипед называется наклонным. Определение 6. Параллелепипед называется прямоугольным, все его грани – прямоугольники. Определение 7. Кубом называется параллелепипед, все грани которого – равные квадраты. Определение 8. Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две его вершины, не лежащие в одной грани. Теорема. Сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер. Билет №18 1. Аксиомы стереометрии. Доказать теорему о прямой и точке, не лежащей на данной прямой. Доказать теорему о двух пересекающихся прямых. Способы задания плоскостей. Определение 1. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Определение 2. Пространство – это множество, элементами которого являются точки и в котором, выполняется система аксиом стереометрии, описывающая свойства, точек, прямых и плоскостей. Аксиома 1 (аксиома плоскости). Существует хотя бы одна плоскость. Каждая плоскость есть несовпадающее с пространством непустое множество точек, в котором выполняется система аксиом планиметрии, описывающая свойства точек и прямых. Замечание 1. Из аксиомы 1 следует, что в пространстве существует бесконечно много точек. Для любой плоскости существую точки, принадлежащие ей и не принадлежащие ей. Аксиома 2 (аксиома трех точек). Через любые три точки можно провести плоскость. Определение 3. Говорят, что фигура лежит в плоскости, если все точки данной фигуры принадлежат этой плоскости. Аксиома 3 (аксиома прямой и плоскости). Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости. Аксиома 4 (аксиома пересечения плоскостей). Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точки, то они имеют общую прямую, содержащую эту точку. Определение 4. Две точки, не принадлежащие данной плоскости, называются разделенными этой плоскостью, если отрезок, соединяющий эти точки, пересекает данную плоскость. Аксиома 5 (аксиома разбиения пространства плоскостью). Любая плоскость разбивает множество, не принадлежащих ей точек пространства, на два непустых множества (полупространства) так, что: а) любые две точки, принадлежащие разным полупространствам, разделены данной плоскостью; б) любые две точки, принадлежащие одному и тому же полупространству, не разделены этой плоскостью. Аксиома 6 (аксиома расстояния). Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, проходящей через эти точки. Теорема 1 (о прямой и точке). Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну. Теорема 2 (о пересекающихся прямых). Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Способы задания плоскостей: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой, не лежащей на этой прямой; двумя пересекающимися прямыми; двумя параллельными прямыми. 2. Прямоугольный параллелепипед. Доказать теорему прямоугольного параллелепипеда. Свойство диагоналей параллелепипеда. Пифагора для прямоугольного Определение 1. Параллелепипедом называется четырёхугольная призма, в основании которой лежит параллелограмм. Определение 2. Параллелепипед называется прямым, все его боковые грани – прямоугольники. Во всех остальных случаях параллелепипед называется наклонным. Определение 3. Параллелепипед называется прямоугольным, все его грани – прямоугольники. Определение 4. Кубом называется параллелепипед, все грани которого – равные квадраты. Определение 5. Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две его вершины, не лежащие в одной грани. Определение 6. Измерениями параллелепипеда называются длины трех его ребер, исходящих из одной вершины. Теорема (теорема Пифагора для прямоугольного параллелепипеда). Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. d 2 a2 b2 c2 Следствие (свойство диагоналей прямоугольного параллелепипеда). Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой. Билет №19 1. Определение двугранного угла. Линейный угол двугранного угла. Теорема о линейных углах двугранного угла. Величина двугранного угла. Угол между плоскостями. Определение перпендикулярных плоскостей. Доказать признак перпендикулярности плоскостей. Определение 1. Двугранным углом называется геометрическая фигура, состоящая из двух полуплоскостей с общей граничной прямой. Определение 2. Линейным углом двугранного угла называется плоский угол, получающийся при пересечении данного двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Теорема 1. Величины всех линейных углов двугранного угла равны между собой. Определение 3. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла. Определение 4. Углом между пересекающимися плоскостями называется величина наименьшего из двугранных углов, образованных при их пересечении. Углом между параллельными или совпадающими плоскостями полагается равным 0о. Определение 5. Две плоскости называются перпендикулярными), если угол между ними равен 90о. перпендикулярными (взаимно Теорема 2 (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. 2. Доказать теорему о высоте пирамиды, боковое ребро которой одинаково наклонено к примыкающим к нему сторонам основания. Доказать теоремы о высоте пирамиды, боковое ребро которой перпендикулярно стороне основания. Следствие. Теорема 1. Если боковое ребро пирамиды образует равные углы с двумя примыкающими к нему сторонами основания, то основание высоты пирамиды лежит на биссектрисе угла, образованного этими сторонами основания. Теорема 2. Если боковое ребро пирамиды перпендикулярно пересекающейся с ним стороне основания, то основание высоты пирамиды находится на перпендикуляре, восстановленном (в плоскости основания) к этой стороне из точки ее пересечения с этим боковым ребром. Теорема 3. Если боковое ребро пирамиды перпендикулярно скрещивающейся с ним стороне основания, то основание высоты пирамиды находится на перпендикуляре, опущенном на эту сторону из точки пересечения этого бокового ребра с плоскостью основания. Следствие. Если боковое ребро треугольной пирамиды перпендикулярно скрещивающейся с ним стороне основания, то основание высоты пирамиды находится на той высоте, лежащего в основании пирамиды треугольника, которая опущена на эту сторону. Билет №20 1. Доказать теорему о существовании и единственности плоскости, перпендикулярной данной прямой и проходящей через заданную точку. Теорема. Через данную точку пространства можно перпендикулярную данной прямой, и притом только одну. провести плоскость, 2. Метод внутреннего проектирования построения сечений. Показать на примере. Метод внутреннего проектирования (метод соответствия) построения сечений заключается в том, что каждой точке сечения ставится в соответствие некоторая точка основания рассматриваемой призмы и пирамиды. Сущность этого метода можно рассмотреть на примерах. Пример 1. Построить сечение призмы ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью (MPQ), где M BB1 , P DD1 , Q EE1 . Пример 2. Построить сечение пирамиды PABCDE плоскостью (MPQ), где M PA, P PC , Q PE . Билет №21 1. Доказать теорему о прямой, лежащей в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостях и перпендикулярной линии их пересечения. Доказать теорему о перпендикуляре к одной из двух перпендикулярных плоскостей, имеющем с другой плоскостью общую точку. Теорема 1. Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна другой плоскости. Теорема 2. Если прямая, проведенная через точку одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна другой плоскости, то она лежит в первой из них. 2. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух плоскостей. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек. Геометрическое место точек, равноудаленных от трех точек. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон треугольника. Теорема 1. Множество всех точек пространства, равноудаленных от двух параллельных плоскостей, есть параллельная им плоскость, проходящая через середину отрезка их общего перпендикуляра. Теорема 2. Множество всех точек пространства, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей, есть две «биссекторные» плоскости, проходящие через прямую пересечения этих плоскостей и делящие образованные ими двугранные углы пополам. Теорема 3. Множество всех точек пространства, равноудаленных от двух точек, есть плоскость, проходящая через середину отрезка с концами в этих точках перпендикулярно прямой, проходящей через данные точки. Теорема 4. Множество всех точек пространства, равноудаленных от трех данных точек, не лежащих на одной прямой, есть прямая, перпендикулярная плоскости этих точек и проходящая через центр окружности, описанной около треугольника с вершинами в данных точках. Теорема 5. Множество всех точек пространства, равноудаленных от сторон данного треугольника, есть прямая, перпендикулярная плоскости треугольника и проходящая через центр вписанной в него окружности. Сформулировать все утверждения. Доказать любые два из них. Билет №22 1. Параллельное проектирование. Свойства параллельного проектирования. Ортогональное проектирование. Доказать теорему об ортогональной проекции плоского многоугольника. В пространстве выбирается произвольная плоскость , которую называют плоскостью проекций или плоскостью изображения, и прямая l (проектирующая прямая), пересекающая эту плоскость. Пусть М – произвольная точка пространства. Через эту прямую проведем прямую p , параллельную l. Точка M пересечения с прямой p с плоскостью называется параллельной проекцией точки М на плоскость в направлении прямой l. Если точка М лежит в плоскости , то M совпадает с М. При этом часто используется обозначение: M Прl M . Для построения проекции фигуры достаточно построить проекции всех точек этой фигуры или проекции точек фигуры ее определяющих (для прямой достаточно найти проекции каких-либо двух ее точек, для треугольника – его вершин). Свойства параллельного проектирования: Все точки проектирующей прямой проектируются в одну точку. Проекция прямой есть прямая или точка. Три точки, лежащие на одной прямой, проектируются в три точки, также лежащие на одной прямой. Пересекающиеся прямые проектируются либо в две пересекающиеся прямые, либо в одну прямую. Параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в две точки, либо в одну прямую. Скрещивающиеся прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в две пересекающиеся прямые, либо в одну прямую и точку, не лежащую на этой прямой. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин проекций этих отрезков. Определение. Проектирование в направлении прямой, перпендикулярной плоскости проекции, называется ортогональным. Удобно пользоваться обозначением: M Пр M . Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус углам между плоскостью проекций. S S cos , здесь Пр , - угол между плоскостью, содержащей многоугольник , и плоскостью проекций . 2. Доказать теоремы о противоположными ребрами. тетраэдре с взаимно перпендикулярными Теорема 1. Если в тетраэдре DABC ребра АВ и СD, АD и BC взаимно перпендикулярны, то ребра АС и BD также взаимно перпендикулярны. Теорема 2. Если в тетраэдре DABC ребра АВ и СD, АD и BC взаимно перпендикулярны, то АВ2 + СD2 = АD2 + BC2. Билет №23 1. Доказать теорему о линии пересечения двух пересекающихся плоскостей, перпендикулярных третьей. Доказать теорему о прямой, перпендикулярной одной из двух параллельных плоскостей. Теорема 1. Если две плоскости, перпендикулярные третье плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости. Теорема 2. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости. 2. Метод следов построения сечений. Построение сечений тетраэдра. Определение 1. Если плоскость пересекает плоскость по прямой l , то прямую l называют следом плоскости на плоскости . Определение 2. Сечением многогранника плоскостью называется множество всех общих точек этого многогранника и данной плоскости. Определение 3. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какойлибо грани многогранника, называют следом секущей плоскости на плоскости этой грани; а отрезок следа, лежащий непосредственно в грани многогранника, называют следом секущей плоскости на этой грани. Замечание. Сечением выпуклого многогранника плоскостью является выпуклый многогранник, количество сторон которого не превосходит количества граней данного многогранника. Построение сечения методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости основания многогранника (в случае призмы – нижнего). Далее находятся точки пересечения сторон основания с основным следом секущей плоскости, что в дальнейшем позволит достроить искомое сечение. Построение сечения основывается на: аксиомах стереометрии, а также на простом следствии из аксиом: если две плоскости имеют две общие точки, то прямая, проведенная через эти точки, является линией пересечения данных плоскостей; на утверждении: если три плоскости пересекаются по трем различным прямым, то эти прямые либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны; на утверждении: если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения этих плоскостей параллельны… и других фактах стереометрии. Сечениями тетраэдра могут быть треугольник и четырехугольник (показать на примерах). Рассмотреть сущность метода следов построения сечения на следующем примере: Пример. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через три точки, лежащих в трех его различных гранях. Билет №24 1. Общий перпендикуляр двух прямых. Доказать теорему об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых. Расстояние между двумя прямыми. Способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми. Определение. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, соединяющий две точки на данных прямых и перпендикулярный к ним. Теорема. Для двух данных скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые. Его длина меньше длины любого другого отрезка с концами на этих прямых. Определение. Расстоянием между скрещивающимися или параллельными прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Расстояние между пересекающимися прямыми принимается равным нулю. Способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми: расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между содержащими их параллельными плоскостями; расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между одной из этих прямых и плоскостью, параллельную ей и проходящую через другую прямую; расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от некоторой точки одной из этих прямых до плоскости, параллельную первой и содержащую вторую прямую; расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между ортогональными проекциями этих прямых на плоскость, перпендикулярную одной из них. 2. Метод следов построения сечений. Построение сечений параллелепипеда. Определение 1. Если плоскость пересекает плоскость по прямой l , то прямую l называют следом плоскости на плоскости . Определение 2. Сечением многогранника плоскостью называется множество всех общих точек этого многогранника и данной плоскости. Определение 3. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какойлибо грани многогранника, называют следом секущей плоскости на плоскости этой грани; а отрезок следа, лежащий непосредственно в грани многогранника, называют следом секущей плоскости на этой грани. Замечание. Сечением выпуклого многогранника плоскостью является выпуклый многогранник, количество сторон которого не превосходит количества граней данного многогранника. Построение сечения методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости основания многогранника (в случае призмы – нижнего). Далее находятся точки пересечения сторон основания с основным следом секущей плоскости, что в дальнейшем позволит достроить искомое сечение. Построение сечения основывается на: аксиомах стереометрии, а также на простом следствии из аксиом: если две плоскости имеют две общие точки, то прямая, проведенная через эти точки, является линией пересечения данных плоскостей; на утверждении: если три плоскости пересекаются по трем различным прямым, то эти прямые либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны; на утверждении: если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения этих плоскостей параллельны… и других фактах стереометрии. Сечениями параллелепипеда могут быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник (показать на примерах). Рассмотреть сущность метода следов построения сечения на следующем примере: Пример. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через три точки, лежащих в трех его попарно непараллельных гранях.
