Векторы (тема для элективного курса)

Векторы
(тема для элективного
курса)
Вектором называется параллельный
перенос.
Для обозначения векторов используются символы
а,b, х и т.п.
Векторы рассматриваются на плоскости
(II перенос плоскости) и в пространстве (II перенос
пространства).
И в том, и другом случае вектор определяется
упорядоченной парой точек, т.е. заданием точки и ее
образа.
Вектор – это направленный отрезок
АВ=а.
Направление луча АВ, называется направлением
вектора а=АВ.
Расстояние IАВI – называется длиной или модулем
а=АВ, обозначается IАВI или IаI.
Проекцией вектора а на ось и
называется число, равное
произведению длины IаI на косинус угла
между вектором а и осью и
B
приIaI=IaIcosα
A
) а
и
Вектор а задается координатами: а=(Ха; Уа; Zа), где Ха
проекция вектора а на ось ОХ, Уа – проекция вектора а
на ось ОУ, Zа –проекция на OZ.
Вектор можно задать разложением
по векторам базиса i; j; k.
Z
a  X a i  ya j  z a K
i
K
Y
j
X
i; j; k – единичные , т.е.
,где
i  j  k 1
и взаимно перпендикулярные векторы.
Суммой векторов а; b; с называется вектор
d=АВ, который является замкнутой ломаной,
построенной следующим образом:
в конце вектора а помещается начало вектора ,
b, в конце b – начало с.
в
а
A
Дано:
a = (xa; ya; za) и b = (xb; yb; zb), тогда
a + b= (xa+ xb; ya+ yb; za+ zb)
с
d
B
Разность векторов а-в=АВ
Определяется геометрически так:
пусть a = (xa; ya; za) и b = (xb; yb; zb) заданны своими
координатами, тогда
a - b= (xa- xb; ya- yb; za- zb)
В
а
с
в
А
Произведение вектора а на
число λ
а
.
3а
.
.
.
-2а
.
есть вектор с, длина
которого равна IλI • IaI;
вектор с сонаправлен
вектору а, если λ>0 и
противоположно направлен,
если λ<0.
Умножение вектора a = (xa; ya; za), заданного
координатами, на число λ производится по правилу:
λa=( λxa; λya; λza)
Векторы называются коллинеарными,
если существует прямая, которой они
параллельны.
Коллинеарные векторы а и b связаны
равенством
a = λb
Если известны координаты векторов, то
условие коллинеарности векторов можно
определить:
xa y a z a
 
xb yb zb
Длина (модуль) вектора a = (xa; ya; za)
определяется формулой:
IaI=
2
2
2
a
a
a
x y z
Если А (Х1;У1;Z1) начало и В (Х2;У2;Z2) конец
вектора АВ, то координаты АВ определяются
формулой:
АВ=(Х2-Х1;У2-У1;Z2-Z1)
Скалярное произведение вектора а на вектор b
есть число, равное произведению модулей этих
векторов на косинус угла между ними:
a•b=(a,b)= IaI•IbI•cosφ
в
)
φ
а
Формула для вычисления скалярного
произведения векторов a = (xa; ya; za)
и b = (xb; yb; zb), заданных координатами:
a•b= xa• xb+ ya• yb+ za• zb
Угол между векторами а и b
определяется формулой:
cos a 
a b
a в
Если векторы a = (xa; ya; za) и b = (xb; yb; zb)
заданы координатами, то угол между
векторами находится по формуле:
cos a 
x x y y z z
x y z  x y
a
b
a
a
b
b
2
2
2
2
2
a
a
a
b
b

z
2
b
Проекция вектора а на вектор b
определяется формулой:
а

в
пр в а 
в
Если векторы a = (xa; ya; za) и b = (xb; yb; zb) заданы
координатами, то проекция вектора a на b
определяется формулой:
y y z z
x
x
прв а 
x y z
a
b
a
a
b
2
2
2
b
b
b
b
Векторное произведение векторов а и b
обозначение a×b=[a,b]=[a×b] есть вектор c,
удовлетворяющий условиям:
1) IcI=IaI IbI sinφ
2) c┴a и ×c┴b
3) Направление с определяется по правилу
правой руки, т.е. с конца вектора с
кратчайший поворот от вектора а к вектору b
виден против хода часовой стрелки (правило
Буравчика).
в
с
)
φ
а
Формула для вычисления векторного
произведения векторов а и b, заданных
координатами а (xa; ya; za) и b(xb; yb; zb).
i
а в  x a
xb
j
k
ya
za  i
yb
zb
ya
yb
xa
za
j
xb
zb
xa
za
k
xb
zb
т.е. векторное произведение а и b – это вектор
с координатами:
ya
с  ав 
yb







za xa

zb xb
za xa

zb xb
ya 

yb 
ya
yb
Площадь параллелограмма, построенного
на векторах а и b равна модулю векторного
произведения а х b т.е.
S= I a×b I= IaI×IbI sinφ
(φ – угол между а и b)
Площадь #, построенного на векторах,
заданных координатами находится:
S  a в 





ya
yb
2










za
xa

zb
xb
2










xa
za

xb
zb
y a 2

yb 
Смешанным произведением векторов а, b, с
называется число, равное скалярному
произведению векторов а × b на вектор с.
а в с  а в с  авс








Формула для смешанного произведения
векторов, заданных координатами:
xa
авс  xb
xc
ya
yb
yc
za
zb
zc
V параллелепипеда, построенного на векторах а, b
и с равен модулю смешанного произведения этих
векторов
V пар  авс
V пирамиды, построенной на векторах а,в,ис  1
6
объема параллелепипеда, построенного на этих
векторах:
1
1


V пир 6V пар 6  авс
Три вектора а, b, с называются
компланарными, если существует
плоскость, которой они II.
Признак компланарности трех векторов:
Три не нулевых вектора а, b, с
компланарны тогда и только тогда, когда
их смешанное произведение =0.
авс0
Прямоугольные координаты в
пространстве
Если Охуz декартова система координат в
пространстве, то точка М пространства,
имеющая координаты Х(абсцисса)
У(ордината) Z(аппликата), обозначается
М (х; у; z).
Расстояние между А (х1; у1; z1) и В (х2; у2; z2)
определяется:
2
2
d  x  x   y  y  z  z 2
2
1


2

1
2
1
В частности, расстояние точки М (х; у; z) от
начала координат 0 определяется по формуле:
d x
2

y
2

z
2
Если отрезок, концами которого служат точки А (х1; у1; z1)
и В (х2; у2; z2) разделен точкой С(х; у; z) в отношение λ,
то координаты точки С определенности по по формуле:
x
X X
1
1 
2
y
X X
1
1 
2
z
X X
1
2
1 
В частности координаты середины отрезка определяются по
формуле(т.к. λ=1)
y  X1X 2
z  X1X 2
x X1X 2
2
2
2
Примечание:
Пусть на прямой заданой отрезка АВ (А начало ,В конец отрезка)
Тогда всякая третья точка С этой прямой делит АВ в некотором
отношении λ, где    AC : CB ,если АС и ВС направлены в одну
строку, то λ имеет знак «+» ,если АС и ВС направлены в
противоположные стороны, то λ имеет знак «-».
Иными словами   0, если с  АВ    0, если с  АВ
Практика
№1
Дано:
М1(2;4;-2)
М2(-2;4;2)
На прямой М1М2
Найти М, делящую
отрезок М1М2 в
отношение λ=3
Решение
Воспользуемся формулой
деления отрезка в данном
отношении:
x
X X
Yм =4
1
1 
2
 1
Z м =1
М(-1;4;1)
Показать, что а=2i+5j+7k;в =i+j-k;
c=i+2j+2k компланарны
авс0 (признак компланарности )
2
5
abc  1
1
1
2
7
1
1  2
2
2
1
2
5
1 1
1
2
7
1 1
1 2
 2  (2  2)  5(2  1)  7(2  1)  8  15  7  0
№ 3 Найдем объем пирамиды с
вершинами А(2;2;2) В(4;3;3) С(4;5;4) и
D(5;5;6)
Решение :
Найти векторы АВ ; АС и АD совпадают с
ребрами пирамиды, сходящимися в вершине А.
АВ= 2i+j+k ; АС= 2i+3j+2k ; АD= 3i+3j+4k .
2 1 1
3 2
2
AB AC AD  2 3 2  2
1
3 4
3
3 3 4
2
4
1
7
V пир  6 AB AC AD  6 куб.ед.
1
2 3
3 3
 2  6  1 2  1 3  7
Задание №4
А1А2А3А4-пирамида А1(-4;-2;0) А2(-1;-2;4) А3(2;1;2) А4(3;-2;1).
Найти: 1) А1А2 длину ребра
АА
1
2
АА
1
3
 (( 1  4) : (2  2); (4  0))  (3;0;4)
 (2(4);1  (2);2  0)  (6;3;2)
А А  (3  (4);2  (2);1  0)  (7;0;1)
А А  3 0 4 5
1
4
2
1
2
36  9  4  7
49 1  5 2
2
2
2) Угол между векторами А1А2 и А1А4, это есть угол
между ребрами А1А2 и А1А4
А1 А2 А1 А4  а
cos a  A1 A2 A1 A1
A1 A2  A1 A4
2
2
2



A1 A4 7 0 1  50  5 2 A1 A4 5 2
cos a  37  00 41 25  1  2  a  
4
55 2
25 2 2 2
3) Найдем проекцию вектора А1А3 на вектор А1А4
A A
A
A
пр А А А А 
AA
1
1
1
3
1
3
4
1
4)V

пирам
1
6
2
1
4
1

6  7  3  0  2 1
5 2

44  2
5 2 2
 4,4 2
4
A A A A A A
1
4
4
3 0 4
6 3 1
1
1 3 2
75
 6 3 2  3 
04
 12,5куб.ед.
   75 
7 0 6
6
6 0 1
6
7 0 1
Работу сделали :
Ученики 11Г класса:
Пароваткина Т.В.
Лаштабов К.В.
Больше всего претензий предъявлял
Алексей Демченко