Векторное произведение

Динамическая
метеорология.
Векторные операции
Кто изобрел вектора?
Мёбиус ввел в
математику операции с
направленными
отрезками
Гамильтон ввел слово
вектор и определил
скалярное и векторное
произведение
Гиббс ввел
основные
обозначения А·В и
АВ
В автором
первого русского
учебника по
векторному
анализу был
Н.Е.Кочин
Чтобы понимать дальнейшее
вспомни тригонометрию!
Для чего нужны вектора?- 1
Для сокращения записи уравнений
Для чего нужны вектора?- 2
Вихрь в декартовых прямолинейных координатах
Вихрь в ортогональных криволинейных координатах
Чтобы не зависеть от системы координат при
записи фундаментальных законов и понятий
Эти вектора и равенства с
ними нужно знать и уметь
употреблять
Векторная запись формул и уравнений применяется для
краткости.
Но для расчетов необходимо переходить к координатной
записи.
Следует уметь читать векторную запись
и знать правила перехода к координатной!
Вектор это величина, которая характеризуется не
только размерами, но и направлением.
Обозначаем жирными прописными буквами!
 Вектора – это реальные
объекты, их можно
складывать (по правилу
параллелограмма)
 Примеры векторов:
перемещение r, скорость
v, ускорение a, сила f
 Обозначения: Скорость
V={u,v,w}={u1, u2, u3}= ui
(i=1,2,3)
НЕ все есть ВЕКТОР!
Если хочешь быть вектором, то
складывайся по правилу
параллелограмма
• Контрпример 1: Скаляры: длина -l,
масса -m, температура-t. Объединив их
в одно множество {l,m,t} получим
формальный , а не реальный вектор не
получить! Почему?
• Контрпример 2: Набор {T,P,e} – не
вектор, т.к. компоненты а) зависимы и б)
не характеризуют единый
геометрический объект
Операции с векторами осуществимы
практически, так же, как и в случае скаляров.
Пример: Сложение и вычитание
• Сумма векторов –
вектор, который имеет
начало в начале
первого и конец в
конце последнего
• Введя вектор (–N),
равный по величине
вектору N и
противоположный ему
по направлению,
можно определить
операцию вычитания
Проекции вектора на оси
• Проекции вектора на
координатные оси
вычисляются по
формулам
• P1=|P|cosax
• P2=|P|cosay
• P3=|P|cosaxz
Замечание 1: если модуль вектора равен 1 (единичный
вектор), то его координаты – это косинусы углов между им
и осями.
Т.Е. единичный вектор определяет направление вектора в
пространстве
Обратно: вектор направления s
для вектора P(P1,P2,P3)
•
•
•
•
определяется формулой: s= P/|P|
Сos(s,x)=P1/|P|,
сos(s,y)=P2/|P|,
сos(s,z)=P3/|P|
– Пример: направление нормали к
поверхости f(x,y,z)=0 или z=h(x,y)
определяется по вектору градиента поля
f (см.ниже)
Скалярное произведение – это
операция проектирования
• Оно представляет собой результат операции
проектирования одного из векторов на другой
Координатное представление
• Основная теорема: любой вектор D может быть разложен
по трем некомпланарным (aA+bB+cC
 0)
• D=mA+nB+pC
• На ней основано разложение вектора по трем единичным
взаимно перпендикулярным векторам (ортам)-i,j,k
• V=vxi+vyj+vzk
Важные вектора 1(знать!)
Радиус-вектор точки:
r = xi+yj+zk или r = {x,y,z}
Единичный вектор направления:
е = x/|x| i+y/|x| j+z/|x k
или e = {x/|x|, y/|x|, z/|x|}=
={cos(r,X)= x/|x|,cos(r,Y) = y/|x|,cos(r,Z) = z/|x|}=
= {cos(a,cosb ,cosg }
Радиус-вектор точки
Важные вектора 2 (знать!)
Направленный элемент кривой:
dl = dx i+dy j+dz k или dl = {dx,dy,dz}
Важные вектора 2 (знать!)
Направленный элемент площади:
dS =ndS
= dScos(n,X)i+dScos(n,Y)j +dScos(n,Z) k =
= dydz i+dxdz j+ dxdy k
n – единичный вектор
нормали к поверхности
(Для памяти: Направление
нормали совпадает с
направлением вектора
градиента функции, задающей
поверхность)
Направленный элемент
поверхности
Важные вектора 3 (знать!)
• Формальный вектор градиент
• или оператор Гамильтона
• или набла-оператор:
i 
     



 = i  j  k или  =  ; ;  j 
x y
z
 x y z k 
 
сокращенно
  
= ; ; 
 x y z 
Применение вектора набла
Градиент скалярного поля f
Дивергенция векторного
поля B
f
f
f
 f = i  j  k = gradf
x
y
z
Bx B y Bz
 B =


= divB
x
y
z
Вихрь (ротор) векторного поля B
i

rot  B =  B =
x
Bx
j

y
By
k
 Bz B y

= i


z
z
 y
Bz
  Bx Bz

  j 
x
  z
 B y Bx

  k  x  y





Определение скалярного произведения векторов a и b
Через скалярное произведение определяется длина (норма) в
a =
(a  a =
a a  a a  a a = a2  a2  a2
x x
y y
z z
x
y
z
Определение косинуса угла между векторами по координа
Условие перпендикулярности (ортогональности) векторов:
Поскольку орты – единичные взаимно перпендикулярные вектор
Определение скалярного произведения
совпадает с определением
коэффициента корреляции
rxy ~ cos( Z x , Z y )
Смысл к-та корреляции – это угол между двумя многомерными вектора
Если он равен нулю, то вектора перпендикулярны
Если он +1– они сонаправлены
Если он -1 – они противоположны по направлению
Важные скалярные произведения
• Кинетическая энергия единицы массы - (V·V)/2
•
•
•
•
•
•
Элементарная работа силы (циркуляция) - F·dl
Элементарный поток вектора А - A·dS
Спиральность скорости - V·
Градиент скалярного поля f - f
Адвекция скаляра f - V·f
Дивергенция вектора DivV:
Индексная (тензорная) форма
записи вектора
u v w
DivV =   V =


=
x y z
V
V V
= 1 2  3 =
x
x
x
1
2
3
V
i =
= 
i = 1, 2, 3 x
=
V
i
x
i
i
=  Vi
i
Особенности тройного
скалярного произведения
• Определение АВС смысла не имеет!
• Обязательно указать пару, образующую
скаляр: (АВ)С или А(ВС)
• Почему?
– (АВ)С – это вектор С, длина которого
увеличена в (АВ) раз
– А(ВС) – это вектор А, длина которого
увеличена в (ВС) раз
• Различие важно в преобразованиях
Пример использования тройного
скалярного произведения
a 
1




)   a2  =
 v3
 v2
(V  ) A = (v1
x3  
x2
x1
a 
 3
 a
a 1 
a 1
1
 v3
 v2

 v1
x3 
x2
 x1


a

a

a

=  v1 2  v2 2  v3 2 
x3
x2
x1


 a
a 3 
a 3
3
 v3
 v2

 v1
 x
x3 
x2
1

Скалярное
произведение
в рамке –
неразделимо
в операциях
((V  U )) A = (V   (U   A
Контролируй себя:
Справка: вычисление
определителя 3-его порядка
Метод разложения по первой
строке (нам нужен!):
Метод получения
числового значения (для
теории нам не нужен!)
Векторное произведение– это
описание поворота!
(вектор С перпендикулярен плоскости, в которой лежат a и b
и образует с ними правовинтовую систему и численно равен
площади параллелограмма, построенного на них, как на
сторонах)
Векторное произведение двух
векторов А и В определяется
как вектор С с величиной |А||B|
sin β и с направлением,
перпендикулярным плоскости,
проходящей через А и В так,
чтобы вращающийся вправо
винт, который поворачивал бы А
(первый вектор) к В (второй
вектор) и перемещался
(ввинчивался) в направлении С.
Помнить, что ab= -ba
Вычисление векторного произведения
Запись не точна!
Направление?
c = c i  c  j c k = ab
x
i
ab = a
x
b
x
.
j
a
y
b
y
a
c = y
x b
y
y
k
a
a = i y
z
b
y
b
z
a
a
z
 j x
b
b
z
x
z
x
z
a
z
b
z
a
c = x
y
b
x
a
z
b
z
a
c = x
z b
Условие колинеарности
(параллельности) двух векторов
Векторное
произведение ортов:
(доказать
самостоятельно)
a
a
z k x
b
b
x
a
y
b
y
a
y
b
y
Важные векторные произведения
• Линейная скорость вращения точки относительно оси
V=r
• Сила Кориолиса, отнесенная к единице массы
К = 2 V
• Момент импульса , отнесенный к единице массы
Vr
• Момент силы F
M = Fr
• Вихрь вектора V=rotV:
i
j k



rotV =   V =
= i
x y z
u
v
w
 w v 
 u
=
 i 
 z
 y z 

y
v



z  j  z
w
w


x  k  x
u
u
 v u 
w 

j


  k
x 
 x y 

y =
v
Смешанное произведение (скалярновекторное произведение)
Оно является скалярной
величиной и для векторов
A, B, C вычисляется по
формуле:
C· (A  B)
c
x
C  ( A  B = a
x
b
x
c
y
a
y
b
y
c
z
a
z
b
z
Интерпретация-объем соответствующего параллелепипеда
Свойства смешанного произведения (четные и
нечетные перестановки векторов)
A  ( B  C = B  (C  A  = C  ( A  B 
но
A  ( B  C  = B  ( A  C 
Помнить: Вектора лежат в одной
плоскости (компланарны), если: A · (B 
C)=0
Векторно-векторное
произведение- это вектор
A (B C)
Применение к примеру.
Вычисляется по
правилу:
A (B C)=B·(A·C)-C· (A·B)
Мнемоника:
«БАЦ минус ЦАБ»
Если n единичный вектор (n·n)=1 , перпендикулярный данному
вектору X, то векторно-векторное произведение осуществляет поворот
вектора X на 1800:
n  ( n  X  = n (n  X)  X ( n  n  = X
т.к. (n  X) = 0, ( n  n  = 1
С помощью A (B C) решается важная
задача :
• Разложить вектор B по двум направлениям:
параллельно и перпендикулярно заданному вектору A
• Решение – заменить в формуле С на А:
A  ( B  C = B ( A  C  C ( A  B  , C = A A  (B  A  = B ( A  A   A ( A  B 
B ( A  A  = A ( A  B  A  (B  A 
A  (B  A
A  B
(
B = B  B , где B =
, B =A


(A  A
(A  A
Два важных примера из ДМ:
К лекции 11 и 10
Вычисление вихря от векторного произведения
векторов вихря и скорости:
  ( Ω  V ) =  Ω  divV  ( Ω  V   (V   Ω  V  divΩ 
Обозначения (   V  = divV и (V  Ω = V  Ω
Решение уравнения геострофического баланса
 1

1

k     p  k  lU g = 0    k    p   lU g = 0 
 



(

 1

Ug = k    p
 l

k  k  lU g = k  ( k  lU g )  lU g ( k  k ) =
(

= k  0  lu g  0  lv g  1  0  lU g  ( 0  0  0  0  1  1 = lU g
Упражнение:
• Упростить выражение:
• (R)=?
• R –радиус вектор точки, вращающейся
вокруг оси
•  - вектор угловой скорости вращения
• Подсказка: R= R┴ + R║
• Сделать чертеж и применить правило
• A(BC)=B(AC)-C(AB)
Упражнение
• Выполнить преобразование:
(V  V I ) (V  V I ) = (V  V I )V  (V  V I )V I =
= V V  V V  V V  V V
I
I
I
I
Дифференцирование вектора по
скалярному аргументу.
dAy
dAz
dA dAx
=
i
j
k
dt
dt
dt
dt
df (t )  A(t ) df (t )
dA(t )
=
A(t )  f (t )
dt
dt
dt
dA(t )  B(t ) dA(t )
dB(t )
=
 B(t )  A(t ) 
dt
dt
dt
dA(t )  B(t ) dA(t )
dB(t )
=
 B(t )  A(t ) 
dt
dt
dt
Примеры дифференцирование вектора
по скалярному аргументу.
Скорость и направление, касательная
v(t ) =
dr (t ) ds dr (t )
ds
dr (t )
=
= Vτ, где V = ; τ =
dt
dt ds
dt
ds
Ускорение, нормаль, кривизна и ее радиус
dv(t ) dVτ dV
dτ ds dV
V2
dτ
a(t ) =
=
=
τ V
=
τ
 n, где n = R
dt
dt
dt
ds dt
dt
R
ds
Касательная и нормаль перпендикулярны
d ( τ  τ   dτ
dτ 
 dτ 
=  τ  τ   = 2 τ   = 0
(τ  τ = 1 
dt
ds 
 ds
 ds 
Примеры дифференцирование вектора
по скалярному аргументу.
• В подвижной системе координат орты
изменяются и их следует дифференцировать
абсолютная система координат
dAy
dAx
dAz
dA
=
i
j
k=
dt абс
dt
dt
dt
относительная(подвижная) система координат
dAy
 dAx
dAz 
dA
di
dj
dk
=
i
j
k   Аx  Аy  Аz
dt отн  dt
dt
dt 
dt
dt
dt
переносное движение вращательное движение
Теорема Эйлера о вращении точки с
постоянной угловой скоростью 

dA
A
 ω  A
= lim
= lim  A  sin g 

dt t 0 t t 0 
t ω  A
ω  A = ω A  sin g , ω =

t
dA
= ω A
dt
Здесь M2 , М1 , M0 – конечное,
среднее и начальное положения
точки
A = M2-M0 - вектор малого
перемещения точки,
q - угол поворота
e – единичный вектор,
определяющий направление
перемещения



Применение теоремы Эйлера – вращение подвижных ортов
dr
= r
dt
di
если r =i, то
= i
dt
dj
если r =j, то
=  j
dt
dk
если r =k , то
= k
dt
Полное
изменени
е вектора
во вращ.
системе
координат
dA
=
dt
dAx
i
dt
V=r 
dr/dt = r
dAy
dAx
dA
di
dj
dk
i
j  z k  Аx  Аy  Аz
=
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dAy
dAz
j
k  Аx (  i )  Аy (  j)  Аz (  k )
dt
dt
dA
dA
dA
=
=
  A
dt абс dt отн dt перенос
Применение вектора набла
Градиент скалярного поля f
Дивергенция векторного
поля B
f
f
f
 f = i  j  k = gradf
x
y
z
Bx B y Bz
 B =


= divB
x
y
z
Вихрь (ротор) векторного поля B
i

rot  B =  B =
x
Bx
j

y
By
k
 Bz B y

= i


z
z
 y
Bz
  Bx Bz

  j 
x
  z
 B y Bx

  k  x  y





Градиент векторного поля определяется иначе и
порождает новые математические объекты
–
тензора.
Дифференцирование вектора по вектору порождает три новых в
Теорема Гаусса (A=Pi+Qj+Rk)
Векторная запись:
  dV =  A  dS
V
Координатная запись:
S
Теорема Стокса (A=Pi+Qj+Rk)
Векторная запись:
 (  A )  dS =  A  dL
S
Координатная запись:
L
Математика – это
легко и просто.
/проф.
Д.Л.Лайхтман –
мой учитель/