«Пифагоровы штаны…»- Проект учащейся группы 102 Кузьминой Марии красота-простота-значимость
advertisement
Будь справедлив и в словах и в поступках своих.. Пифагор «Пифагоровы штаны…»красота-простота-значимость Проект учащейся группы 102 Кузьминой Марии Цели: • показать значение теоремы Пифагора в развитии естественных наук многих стран • в наиболее простой и интересной форме преподать содержание теоремы Задачи: • Привести различные доказательства теоремы Пифагора Актуальность: • В ходе изучения геометрии мы очень часто сталкиваемся с применением теоремы Пифагора, поэтому для нас важно четкое представление о ней. На самом деле теорема проста, но не очевидна, это сочетание двух противоречивых начал делает её особенно притягательной и красивой Пифагор • Родился на острове Самос в Эгейском море, уже в зрелом возрасте жил в греческом городе Кротоне, где организовал тайный пифагорейский союз, игравший немалую роль в жизни греческих колоний в Италии. • Пифагорейцы узнавали друг друга по звездачатому пятиугольнику – пентаграмме. Умер в г.Метапонт, в V в до н.э. его орден был разгромлен • Пифагор - древнегреческий философ и математик, прославившийся учением о космической гармонии и переселении душ. «Всё есть число» • Пифагорейцы считали, что в числовых закономерностях спрятана вся тайна мира • Пифагор первый разделил числа на четные и нечетные, простые и составные • Пифагор ввел доказательства в геометрию, создал планиметрию, учение о подобии фигур • Пифагорейцы знали правильные тела: тетраэдр, куб, додекаэдр. • Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг • Солнца Пифагорейские идеи проникли в Афины, где были усвоены Сократом и превратились в широкое идейное движение, начатое Платоном и его учеником Аристотелем «За легендой истина…» • «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого принес в жертву быка» Прокл • «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось». М.В.Ломоносов • «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам». Генрих Гейне • «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» Сама теорема была известна еще за тысячелетия до Пифагора, но он был первым, кто открыл ее доказательство Древний Китай • Здесь внимание привлекает китайская книга «Чупей», так же теорема была отражена в китайском математическом трактате «Чжоу-би суань цзинь», это значит, что еще в XV в. до н.э. китайцы знали свойства египетского треугольника Древний Египет • Кантор считал, что равенство 32+42 =52 было известно египтянам еще в 2300 г. до н.э. во времена царя Аменемхета. • По его мнению, гарпедонапты (землемеры) строили прямые углы при помощи треугольников со сторонами 3, 4, 5. Вавилон • В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, т. е. ещё к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку». Способы доказательства теоремы • Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum ослиный мост, или elefuga - бегство «убогих». Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихотворения вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.. Простейшее доказательство Достаточно взглянуть на мозаику из чёрных и светлых треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника Доказательство, основанное на свойствах равновеликих фигур b a a a b Sт. b c S c ab 2 c 2 b a c 2 a b 4 2 Sт. - сторона большого квадрата - сторона малого квадрата ab 2 Sм.квад. Sб.квад. 4Sт. 1 ab a 2 b 2 2ab 2ab c 2 a 2 b 2 2 На рисунке воспроизведён чертёж из трактата «Чжоу-би...». Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Доказательство древнеиндийское (Бхаскары) Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около XVIII века до н. э., также о ней было известно и в древнеиндийском геометрическотеологическом трактатеVII-V вв. до н. э. «Сульва сутра» («Правила верёвки»). С Sт. С ab 2 a, b, c - стороны треугольника С α-b α b С c - стороны большого квадрата ab Sт. 2 Sб.квад. Sм.квад. 4Sт. 1 c a b 4 ab a 2 b 2 2ab 2ab c 2 a 2 b 2 2 2 2 С r Доказательство Мёльмана S ABC = , а с другой стороны S ABC = r В А Доказательство Гарфилда S трап= с другой стороны площадь трапеции – это сумма площадей трех прямоугольных треугольников S трап= = «Пифагоровы штаны»доказательство Евклида В течение двух тысячелетий применяли доказательство, придуманное Евклидом, которое помещено в его знаменитых «Началах». Евклид опускал высоту из вершины прямоугольного треугольника на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит построенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах Чертёж, применяемый при доказательстве теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки. Задачи в стихах Задачи индийского математика XII века Бхаскары: На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол обломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С течением реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота? Задача из старинного китайского трактата: В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на один фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Какова глубина озера? Над озером тихим, С полфута размером, высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашел же рыбак его ранней весной В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока? Задача из первого учебника математики на Руси. Назывался этот учебник «Арифметика»: Случися некоему человеку к стене лествницу прибрати, стены же тоя высота есть 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать. Значение теоремы Пифагора Теорема Пифагора – одна из важнейших теорем геометрии: • С её помощью выводится и доказывается большое количество теорем • Теорема Пифагора – первое утверждение, связавшее стороны прямоугольного треугольника • С помощью теоремы научились находить стороны различных треугольников, возникла тригонометрия. Основное тригонометрическое тождество, это2 та же теорема Пифагора, 2 записанная в другом виде cos sin 1 • Теорема Пифагора – это частный случай теоремы косинусов c 2 a 2 b 2 2ab cos • На основании теоремы Пифагора выводится формула для нахождения площади произвольного треугольника через длины его сторон (формула Герона) S p p a p b p c • В теореме Пифагора, можно сказать, заключена вся Евклидова геометрия, достаточно вспомнить формулу для нахождения расстояния между точками 2 2 AB x2 x1 y2 y1 Применение теоремы • Еще в древности возникла необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам. • Построение прямых углов египтянами. • Нахождение высоты объекта и определение расстояния до недоступного предмета. • Подобные задачи решаются и в нашей повседневной жизни: в машиностроении, строительстве при проектировании любых строительных объектов, для измерения расстояний между космическими кораблями, землемерии и т.д. Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим — И таким простым путем К результату мы придем. И. Дырченко
