множество точек М плоскости, сумма расстояний... множество точек, разность расстояний от которых... данных точек А и В равна постоянной величине,большей |AB|.

Эллипс – это множество точек М плоскости, сумма расстояний от которых до двух
данных точек А и В равна постоянной величине,большей |AB|.
Гипербола – это множество точек, разность расстояний от которых до двух данных
точек А и В равна (по модулю) постоянной величине а (0 < а < |AB|).
Парабола – это множество точек М, одинаково удалённых от данной точки Р и данной
прямой l.
1. На плоскости даны точки А и В. Найти множество точек М, для которых:
а) периметр треугольника АМВ равен постоянной величине р;
б) периметр треугольника АМВ не больше р;
в) разность |МА| – |МВ| не меньше с.
2. Даны отрезок АВ и точка Т на нём. Найти множество точек М, для которых окружность,
вписанная в треугольник АМВ, касается стороны АВ в точке Г.
3. Найти множество центров окружностей, касающихся
а) данной прямой и проходящих через данную точку;
б) данной окружности и проходящих через данную точку внутри окружности;
в) данной окружности и проходящих через данную точку вне окружности;
г) данной окружности и данной прямой;
д)* двух данных окружностей.
4. а) На плоскости заданы две точки А и В, расстояние между которыми — целое число п.
Проведены все окружности целочисленных радиусов с центрами А и В. На полученной сетке
отмечена последовательность узлов (точек пересечения окружностей), в которой каждые два
соседних узла — противоположные вершины криволинейного четырёхугольника. Доказать,
что все точки этой последовательности лежат либо на одном эллипсе, либо на одной
гиперболе.
б) На плоскости задана прямая I и на ней — точка Р. Проведены все окружности
целочисленных радиусов с центром Р и все прямые, параллельные I и находящиеся от I на
целочисленном расстоянии. Доказать, что все точки последовательности узлов сетки,
построенной так же, как в задаче а), лежат на одной параболе с фокусом Р.
5. Дана прямая I и две точки А и В по одну сторону от неё. Найти на прямой / такую точку
X, для которой сумма расстояний |АХ|+ |ХВ| до точек А и В наименьшая. Доказать, что точка Х
– точка касания некоторого эллипса с фокусами A и B с прямой l. Доказать, что отрезки АХ и
ВХ составляют одинаковые углы с прямой I.
6. Сформулируйте и докажите аналогичное свойство для гиперболы.
7. Как выглядит аналогичное свойство для параболы?
8. Рассмотрим все параболы с данным фокусом и данной вертикальной осью. Они
естественно разбиваются на два семейства: у парабол одного семейства ветви идут вверх, а
у другого – вниз. Доказать, что любая парабола одного семейства ортогональна любой
параболе другого семейства.
9. а) Пусть задан эллипс с фокусами А и В. Доказать, что множество точек, симметричных
фокусу А относительно всех касательных к эллипсу, – окружность.
б) Доказать, что множество оснований перпендикуляров, опущенных из фокуса А на все
касательные к эллипсу, – окружность.
10. а), б). Доказать утверждения пунктов а) и б) задачи 6.9 для гиперболы.
11. Пусть задана парабола с фокусом Р и директрисой I.
а) Найти множество точек, симметричных фокусу Р относительно всех её касательных.
б) Доказать, что множество оснований перпендикуляров, опущенных из фокуса Р на
касательные к параболе, есть прямая, параллельная I.
12*. а) Доказать, что произведение расстояний от фокусов эллипса до его касательной –
постоянная величина (не зависящая от касательной).
б) Найти множество точек, из которых эллипс виден под прямым углом.