Система эвристических задач

Система эвристических задач
Прием элементарных задач.
6-й класс. Наименьшее общее кратное.
Задача №1.
Вдоль дороги из пункта А поставлены столбы через каждые 45 метров. Эти столбы
решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Найдите
расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого.
Прежде чем решить данную задачу, учащимся предлагается решить более простые
задачи:
Вдоль дороги из пункта А поставлены столбы через каждые 10 метров. Эти столбы
решили заменить другими, поставив их на расстоянии 30 м друг от друга. Найдите
расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого.
Решение:
Выполним чертеж для задачи:
Решение данной задачи очевидно - 30 м.
Однако решение данной задачи наталкнет учащихся на решение следующей задачи:
Найти НОК для чисел 15 и 45.
Решение:
Выпишем числа, кратные 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90…
=3*3*5, 15=3*5
НОК: 3*3*5=45
После решения данных задач можно приступить к решению исходной задачи.
Решение:
Найдем НОК чисел 45 и 60:
=3*3*5, 60=2*2*3*5
НОК: 3*3*5*2*2=180
Ответ: расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте
старого, 180 метров.
Задача №2.
Летит стая гусей и на встречу ей один гусь.
здравствуйте сто гусей! - сказал ей гусь
Нас не сто, - ответил вожак стаи. - Вот если бы нас было еще столько, да полстолько, да
четверть столько, да еще один гусь - вот тогда бы нас было сто гусей.
Сколько гусей было в стае?
Прежде чем решать данную задачу решим несколько простых задач.
Задумали некоторое число. Затем к нему прибавили это же число и получили 18. какое
число задумали?
Решение:
Пусть х - задуманное число. Тогда составим уравнение:
x+x=18 => x=9.
Ответ: задумали число 9.
Задумали некоторое число. Затем к нему прибавили половину этого числа и получили 36.
Какое число задумали?
Решение:
Пусть х - задуманное число, тогда ½ x - это половина задуманного числа. Составим
уравнение:
x+1/2x=36
решая данное уравнение учащиеся найдут задуманное число - 24.
Теперь с детьми можно решить старинную задачу про гусей.
Обозначая за х количество гусей в стае, анализируя условие задачи и основываясь на
предыдущих задачах, составим уравнение для данной задачи:
Х+х+1/2х +1/4х+1=100
Решая получившееся уравнение, находим ответ - в стае 36 гусей.
Задача №3
Из пункта А в пункт В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Через полчаса из
пункта В в пункт А выехал мотоциклист со скоростью30 км/ч. Через сколько времени они
встретятся, если расстояние между пунктами 40 км.
Данную задачу можно разбить на простые задачи:
Найти пройденный петь велосипедиста за полчаса;
Найти скорость сближения;
Зная путь и скорость сближения, найти через сколько времени мотоциклист и
велосипедист встретятся.
Метод аналогий.
5-й класс. Операции сложения, вычитания, умножения и деления.
При изучении темы «площадь» в 5 классе можно установить аналогию между единицами
измерения длины и площади. Затем можно задать следующие вопросы:
1.какие единицы длины, аналогичные единицам площади, вы знаете?
2.Какая единица площади аналогична сантиметру (дециметру, метру и т.д.)?
3.какова площадь квадрата со стороной 1 см (1 дм, 1м и т.д)?
таким образом, установив, что 1 см - это длина отрезка, а 1 см2 - это площадь квадрата со
стороной 1 см, можно выполнить следующие упражнения:
1.Длина отрезка 5 см. определить площадь квадрата, аналогичного данному отрезку.
2.Площадь квадрата 36 см2. определить длину отрезка, аналогичного квадрату. Начертите
его.
Целесообразно установить аналогию между сложением и умножением, вычитанием и
делением. Для формирования приема аналогии детям предлагается выполнение
следующих упражнений:
№4 Среди данных выражений:
а)123+589;
б)457-256;
в)9875:5;
г)396:11;
д)953-189;
е)569*164.
найдите аналогичные.
№5 заполните таблицы
123+589=712569*164=93316123 - _____________ слагаемое.569 - ___________
множитель.589 - второе ______________.164 - второй _______________.712 _____________.93316 - _________________.
457-256=2019875:5=1975457 - уменьшаемое.9875 - делимое.256 - ______________.5 _______________.201 - _____________.1975 - _________________.
№6 Проведите аналогию в данных примерах:
1*5 и 16:(-4); -10*(-3,4) и -5:(-2);
В 6 классе при решении задач на работу можно провести аналогию с задачами на
нахождение пройденного пути.
Велосипедист ехал 4 часа со скоростью 14 км/ч. Какой путь он проделал за это время?
S=v*t
S=14*4=56 (км)
Токарь вытачивает 15 деталей в час. Сколько он сделает деталей за 3 часа?
Общее количество деталей назовем работой, которую он должен выполнить за данное
время, и обозначим за А.
А=15*3=45 (дет)
А=15*3 S=14*4
Т.о. если путь рассчитывается по формуле S=v*t, то выполненная работа рассчитывается
по аналогичной формуле. Однако как таковой формулы вычисления работы нет.
Решим следующую задачу:
№7 Бригада трактористов должна вспахать поле за 5 дней, но трактористы
перевыполняли норму на 2 га каждый день, поэтому выполнили все задание за 4 дня.
Сколько гектаров в день вспахивала бригада?
Решение:
Пусть х га/день - скорость работы трактористов (количество вспаханных гектаров в день),
перевыполняя норму. Тогда (х-2) - это скорость работы трактористов по плану. 4*х - вся
выполненная работа, перевыполняя ежедневную норму, а 5*(х-2) - вся выполненная
работа. Так как площадь поля не изменилась, то эти две величины равны. Составим
уравнение:
4*х=5*(х-2)
Решая данное уравнение, получим х=10 га/день.
Итак, скорость работы бригады трактористов 10 гектаров в день.
5-й класс. Признаки делимости на 2, на 5 и на 10.
№8 1) Используя таблицу умножения, скажите, какой может быть последняя цифра
произведения натурального числа на 2; на 5.
Какой цифрой оканчивается произведение натурального числа на 10?
№9 Пусть k - натуральное число. Используя известные вам свойства делимости,
обоснуйте ответы на вопросы.
1)может ли выражение 2k оканчиваться нечетной цифрой?
2)Может ли значение выражения 5k быть числом, последняя цифра которого не 5 и не 0?
Может ли значение выражения 10k заканчиваться еще какой-либо цифрой, кроме нуля?
№10Укажите, какие из чисел 158, 225, 1920, 181, 753, 174, 980, 5400, 134, 122 кратны
числу:
А) 2; Б) 5; В) 10; Г) и 2, и 5.
После решения подобных задач, детям можно предложить следующую задачу,
вытекающую из данных:
№11 Сформулируйте признак делимости на 2, на 5 и на 10.
6-й класс. Модуль числа. Противоположные числа.
№12Чи сло а - положительное, число b - отрицательное. Какое из неравенств верно: a>b
или a<b?
Решение:
a>b
№13 Числа а и b - отрицательныe, |a|>|b|. Какое из неравенств верно: a>b или a<b?
Решение: a<b
№14 Числа а и b - отрицательныe, a<b. Сравните модули чисел a и b.
Решение: |a|>|b|
Проблемный метод
5 класс.
№15 Ученица нашла НОК(33, 198) и получила 99. Не проверяя вычислений, учитель
определили, что была допущена ошибка. Как он это сделал?
№2 Даны разложения чисел a и b, найдите НОД(a, b) и НОК(a, b).
А) а=23*34*5, b=24*35*52;
Б) а=22*33*52, b=32*53.
Для решения задачи достаточно составить произведение и не вычислять его.
№16 решить уравнение:
А) (x-2)(5+x)=0;
Б) (3,4-y)(7-y)=0.
В 6 класс дети не умеют решать квадратные уравнения, однако они знают что если один
из множителей равен нулю, тои все произведение равно нулю. Т.о. это уравнение легко
решается из условия что все уравнение равно нулю, когда один из множителей равен
нулю.
№17 Ширина прямоугольника равна 5 см, а его длина в 4 раза больше. Ширину
прямоугольника решили увеличить на 3, а длину уменьшить в 2 раза. Найдите площадь
нового прямоугольника.
Выполнив рисунок, легко решить задачу устно:
Исходный прямоугольник:
Новый прямоугольник:
Осталось перемножить длину и ширину прямоугольника.
Текстовые задачи.
Процесс решения задачи - это поиск выхода из затруднения или поиск пути обхода
препятствия. Решение достаточно трудной задачи требует от учащегося напряженного
труда, воли и упорства, которые наиболее сильно проявляются тогда, когда дети
заинтересованы задачей. Интересную задачу легче решать, так она мобилизует
умственную энергию. Поэтому учитель должен подбирать такую задачу, чтобы учащийся
хотел её решать.
Практика показывает, что школьники с интересом воспринимают задачи практического
содержания. Позволяющие показать тесную взаимосвязь теории и практики.
Решение задач является специфической особенностью интеллекта, поэтому решение
задач можно рассматривать, как одно из самых характерных проявлений человеческой
деятельности . Для решения задачи Пойа выделяет четыре ступени:
Понимание постановки задачи;
Выявление связей друг с другом различных элементов задачи, для получения
представления о решении, составление плана решения;
Осуществление плана;
Просмотр полученного решения и его анализ.
Решение текстовых задач традиционно является одним из основных видов учебной
деятельности в 5-6 классах. На этом этапе у учащихся развивается логическое мышление,
элементарные навыки абстрагирования, математического моделирования и т.п. В связи с
этим следующие текстовые задачи я рекомендую включить в работу факультативов и
кружков.
№ 18 Разделить 125 на такие 4 части, чтобы первая часть относилась ко второй, как 2:3,
вторая к третьей, как 3:5, а третья к четвертой, как 5:6.
На первый взгляд задача достаточно трудная для учеников, однако стоит разобраться, что
значит «относится», как задача становится простой. Пусть и первая и вторая части
содержат по 2 и 3 равные доли соответственно; вторая и третья по 3 и 5 равных долей
соответственно; третья и четвертая - по 5 и 6 долей. Тогда всего равных долей будет
(2+3+5+6) и, найдя одну долю, мы сможем найти все четыре части.
№ 19 Когда стрижка стоила 11 р. 50 к., учитель математики задолжал своему мастеру 50
к. Когда стрижка стоила уже 575 р., учитель вспомнил о долге. Сколько денег он должен
вернуть своему мастеру?
Сумму долга надо увеличить во столько же раз, во сколько увеличилась стоимость
стрижки.
№20 Решить арифметически:
В 1-ый день 30 учеников 5 класса и 10 учеников 7 класса собрали 1510 кг макулатуры.
Во 2-ой день 15 учеников 5 класса и 10 учеников 7 класса собрали 1165 кг макулатуры,
причем и в первый, и во второй день все пятиклассники приносили одинаковое
количество макулатуры, а также все 7-классники приносили одинаковое количество
макулатуры. Сколько кг макулатуры приносил один пятиклассник?
Для осознания решения данной задачи необходимо сделать схематическую запись:
Кол-во 5-классниковКол-во 7-классниковМакулатура, кг.I день30101510II день15101165
№ 21 Решить арифметически:
синиц за 100 дней съедают 100 кг зерна. Сколько кг зерна съедят 10 синиц за 10 дней.
Как правило, дети, не думая, сразу отвечают на вопрос задачи - 10 кг. И ответ этот не
правильный. Для начала нужно выяснить, сколько килограмм зерна съедят за один день
100 синиц. Затем, мы можем узнать, сколько килограмм зерна за один день съедят 10
синиц: (100:100):10=0,1 кг
После чего не трудно ответить на вопрос задачи.
№22 Автомобиль Mazda за час проходит расстояние в 2 раза больше, чем поезд. Сколько
километров в час пройдет каждый из них, если сумма скоростей 200 км/ч?
Вопросы к задаче:
Назовите величины, которые связаны следующими зависимостями:
а) одна больше другой в 2 раза;
б) одна меньше другой в 2 раза.
Если поезд проходит х км/ч, то, как можно истолковать выражения 2х, 2х+х?
Разработка уроков с примерами задач
Урок №1. Признаки делимости на 2, на 5 и на 10 (5-й класс)
Цель урока:
·ОБУЧАЮЩИЕ: ознакомить учащихся с признаками делимости на 2, на 5 и на 10, научить
применять признаки к решению задач.;
·РАЗВИВАЮЩИЕ: развить у учащихся логическое мышление, творческое мышление,
развить грамотную устную речь;
·ВОСПИТЫВАЮЩИЕ: воспитывать уважение к одноклассникам;
Задачи урока: сформулировать признаки делимости, научить применять признаки к
решению задач.
Инструменты: раздаточный материал, доска, учебник.
Этап урока:
Деятельность учителя Деятельность учеников
Орг. момент ~2 мин
Устный счет ~7 мин
Новый материал ~13 мин
Закрепление Нового материала ~13 мин
Подведение итогов ~4 мин
Домашнее задание ~1 мин
Здравствуйте дети, садитесь. Сегодня на уроке мы изучим признаки делимости на 2, на 5
и на 10. Устный счет производится по карточкам «Приложение 1». Выполнить в тетрадях
деление нацело, если это возможно. Детям раздаются карточки с записанными в них
примерами (деление на 2, 5 и 10) «приложение 2»
-Скажите, в каких примерах числа делятся нацело? Все примеры выписаны на доске за
закрытыми крыльями. -Итак, давайте теперь запишем тему нашего урока «Признаки
делимости на 2, 5 и 10». Сейчас вы все решили примеры где выполняется деление чисел
на 2, на 5 и на10. Давайте внимательно посмотрим на все группы примеров,
проанализируем их и сформулируем признаки делимости Начнем с группы примеров I
Какие числа называются четными? Тогда как нам сформулировать признак делимости на
2? Молодцы, теперь рассмотрим группу примеров II И последняя группа пример III А
теперь сформулируйте все три признака, использую слова ЕСЛИ, ТО Проанализировав
эти определения, скажите, какие числа делятся и на 2, и на 5, и на 10? Итак, только что вы
сами сформулировали признаки делимости на 2, на 5 и на 10, молодцы.
Теперь же давайте перейдем к решению задач и закрепим этот материал.
№1 Даны числа: 10, 17, 56, 65, 74, 80, 85, 101, 1000. укажите те из них, которые: А) кратны
одновременно 2, 5 и 10; Б) кратны 2 и не краны 5; В)кратны 5 и не кратны 2; Г) не кратны
ни 2, ни 5.
№2 Верно ли утверждение: · Если число делится на 5, то оно делится на 10; · Если число
делится на 5, то оно делится на 2; · Если число делится на 2, то оно делится на 5; · Если
число делится на 10, то оно делится на 5; · Если число делится на 10, то оно делится на 2.
№ 3 даны чила 11, 16, 17, 35, 48, 60, 74, 85, 90. запишите, какой остаток получится при
делении каждого из этих чисел: А) на 2; Б) на 5; В) на 10.
Итак, мы изучили с вами сегодня признаки делимости на 2, на 5 и на 10. Давайте еще раз
сформулируем их Стр. 9-10 №№ 55, 60 а,б.
Всем спасибо, урок окончен.
I 1) 2) 3) 5) 8) 9) II 1) 3) 4) 5) III 1) 2) 3) 5) 8) Числа, оканчивающиеся четной цифрой
Числа, оканчивающиеся четной цифрой, делятся на 2 без остатка Без остатка делятся на 5
числа, оканчивающиеся цифрой 0 или 5 Без остатка делятся на 10 числа,
оканчивающиеся цифрой 0 Если число оканчивается четной цифрой, то оно делится на 2
без остатка Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делятся без остатка на 5 Если
число оканчивается цифрой 0, то оно делятся без остатка на 10 Числа, оканчивающиеся
цифрой 0, делятся одновременно на 2, 5 и 10. А) 10, 80, 1000; Б)56, 74; В)65, 85; Г) 17, 101. ·
Не верно. 15 делится на 5, но не делится на 10; · Не верно. 15 делится на 5, но не делится
на 2; · Не верно. 4 делится на 2, но не делится на 5; · Верно всегда; · Верно всегда. Если
число оканчивается четной цифрой, то оно делится на 2 без остатка
Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делятся без остатка на 5 Если число
оканчивается цифрой 0, то оно делятся без остатка на 10 Записывают в дневники.
Урок №2. Признаки делимости на 2, на 5 и на 10 (5-й класс)
Цель урока:
·ОБУЧАЮЩИЕ: формировать умения и навыки использования признаков делимости на
2, на 5 и на 10, проверить знания и навыки учащихся по изученному материалу;
·РАЗВИВАЮЩИЕ: развить у учащихся логическое мышление, творческое мышление,
развить грамотную устную речь;
·ВОСПИТЫВАЮЩИЕ: воспитывать уважение к одноклассникам;
Задачи урока: сформировать умения и навыки использования признаков делимости.
Инструменты: раздаточный материал, доска, учебник.
Этап урока Деятельность учителя Деятельность учеников
Орг. момент ~2 мин
Устный счет ~5 мин
Закрепление изученного материала ~20 мин
Самостоятельная работа ~10 мин
Подведение итогов ~2мин
Домашнее задание ~1 мин
Здравствуйте дети, садитесь. Сегодня мы продолжим изучать признаки делимости на 2,
на 5 и на 10. Устный счет производится по карточкам «Приложение 1».
Сформулируйте признаки делимости на 10, на 5 и на 2.
№1 Приведите примеры, доказывающие что: Уменьшаемое Вычитаемое Разность Четное
Нечетное Нечетное Четное Четное Четное Нечетное Четное Нечетное Нечетное Нечетное
Четное
№2 Пусть k - натуральное число. Используя известные вам свойства делимости,
обоснуйте ответы на вопросы. Может ли выражение 2k оканчиваться нечетной цифрой?
Может ли значение выражения 5k быть числом, последняя цифра которого не 5 и не 0?
Может ли значение выражения 10k заканчиваться еще какой-либо цифрой, кроме нуля?
№3 Разделить 125 на такие 4 части, чтобы первая часть относилась ко второй, как 2:3,
вторая к третьей, как 3:5, а третья к четвертой, как 5:6. На первый взгляд задача
достаточно трудная, однако стоит разобраться, что значит «относится», как задача
становится простой. Пусть и первая и вторая части содержат по 2 и 3 равные доли
соответственно; сколько равных далей будут содержать вторая и третья части? Сколько
равных долей содержат третья и четвертая части? Сколько всего тогда будет равных
долей? (2+3+5+6) Можем ли мы найти теперь одну долю? Как? и, найдя одну долю, мы
сможем найти все четыре части. Выполните проверку. Приложение № 3
На этих уроках мы с вами изучили признаки делимости на 10, на 5 и на 2. научились
использовать их для решения задач. Давайте еще раз быстро вспомни эти признаки Стр.
9-10 №№ 59 б, 57, 58 Всем спасибо, урок окончен. Если число оканчивается четной
цифрой, то оно делится на 2 без остатка Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно
делятся без остатка на 5 Если число оканчивается цифрой 0, то оно делятся без остатка на
10 Приводят примеры самостоятельно. Нет, не может, т.к. число 2k кратно 2, а значит оно
оканчивается четной цифрой. Нет, не может, т.к. число 5k кратно 5, а значит оно должно
оканчиваться цифрами либо 5, либо 2. Нет, не может, т.к. число 10k кратно 10, а значит
оно должно заканчиваться цифрой 0. Вторая и третья части по 3 и 5 равных долей
соответственно; По 5 и 6 равных долей долей. (2+3+5+6) Да, можем: 125:(2+3+5+6) А
найдя одну долю мы сможем найти все 4 части: 125:(2+3+5+6)=7,8125 7,8125*2=15,625
7,8125*3=23,4375 7,8125*5=39,0625 7,8125*6=46,875 15,625+23,4375+39,0625+46,875=125
Если число оканчивается четной цифрой, то оно делится на 2 без остатка Если число
оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делятся без остатка на 5 Если число оканчивается
цифрой 0, то оно делятся без остатка на 10 Записывают в дневник.