Лекция 1 Понятие математической логики. Этапы развития логики

Лекция 1
Понятие математической логики.
Этапы развития логики
1. Основные понятия
 Logos (греч.) - слово, понятие,
рассуждение, разум.
 ”логика” - совокупность правил, которым
подчиняется процесс мышления
 обозначает науку о правилах
рассуждения и тех формах, в которых
оно осуществляется.
Этапы развития логики
 1-й этап связан с работами Аристотеля (384-322 гг.
до н.э.). Он дал систематическое изложение логики (
формальная логика или Аристотелева логика).
Формальная логика связана с анализом
умозаключений.
 Аристотель ввел понятие силлогизма, т.е.
рассуждения, в котором из заданных двух суждений
выводится третье.
 В силлогистике Аристотеля посылки и заключения
формируются в виде стандартных категорических
утверждений,

 Пример "все S суть P ", "некоторые S не суть Р " и др. Чтобы
доказать правильность рассуждения средствами теории
Аристотеля, необходимо было все суждения предоставить в
форме простых категорических высказываний.
 Силлогистика - теория правильных рассуждений
 Дедукция - метод вывода правильных заключений из посылок
 Силлогистика и дедукция были сформированы более 2 тысяч лет
тому назад, никем не опровергнуты .
 Не путать с "дедуктивным методом" Шерлока Холмса.
 ДЕДУКТИВНЫЙ подход ( АКСИОМАТИЧЕСКИЙ)- от общего к
частному. От аксиом (постулатов) к теоремам (следствиям).
 Логика, основанная на теории силлогизмов называется
классической
Пример
 Все квадраты – ромбы → все ромбы параллелограммы→Следовательно, все
квадраты - параллелограммы.
 В общем виде этот силлогизм имеет
форму:
”Все а суть в, все в суть с.
Следовательно, все а суть с.”
Пример силлогизма неправильной
формы
 Все квадраты - ромбы. →Некоторые
ромбы имеют острый угол.
→Следовательно, некоторые квадраты
имеют острый угол.
 силлогизм, имеет форму
”Все а суть в, некоторые в суть с.
Значит, некоторые а суть с”
может привести и к ложным выводам.
Правильные формы силлогизмов
 Аристотель выделил все правильные
формы силлогизмов, которые можно
составить из рассуждений вида:
 - 1. "Все а суть в"
 - 2. "Некоторые а суть в"
 - 3. "Все а не суть в"
 - 4. "Некоторые а не суть в"
 имеются правильные и неправильные
силлогизмы (модусы).
 Из 256 возможных силлогизмов только 24
являются правильными, а остальные могут
привести к ошибочному выводу .
 Правильные модусы образуют ядро теории
дедуктивных выводов, в котором от
правильных посылок всегда гарантируется
переход к правильному заключению.
2-й этап - появление математической или символической логики
.
 Математическая логика возникла на стыке двух
наук: традиционной или философской логики и
математики.
 Основы ее заложил немецкий ученый и
философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (16461716) (нем). Он создал алгебру высказываний.
 Джордж Буль (анг)(1815-1864). Буль считается
основоположником математической логики как
самостоятельной дисциплины. В его работах
логика обрела свой алфавит, орфографию и
грамматику.
Лейбниц (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1.7.1646 —
14.11.1716



и
языковед.
немецкий философ, математик, физик
изобретатель, юрист, историк,
Изучал юриспруденцию и философию
в Лейпцигском университете. 40 лет состоял на службе
у ганноверских герцогов, сначала в качестве
придворного библиотекаря, затем — герцогского
историографа и тайного советника юстиции.
 В логике Лейбниц развил учение об анализе и синтезе
 впервые сформулировал закон достаточного
основания
 ему принадлежит принятая в современной логике
формулировка закона тождества.
 создал классификацию определений
 применил в логике математическую символику для
построений логических исчислений
 предложил использовать бинарную систему счисления
 Л. впервые высказал мысль о возможности машинного
моделирования человеческих функций;
 ввёл термин «модель».
Джордж Буль (1815 -1864)





английский математик
и логик.
Профессор математики
Королевского колледжа
с 1849. Один из
основателей математической логики.
3-й этап –этап парадоксов
 связан с XX веком и попытками
обосновать справедливость
математических доказательств, с
исследованиями теории чисел, а также с
попыткой разрешить известные
логические парадоксы.
Самые известные парадоксы
 Парадокс лжеца
 По преданию, Эпименид утверждал, что все критяне
лжецы. Верно ли это утверждение, если учесть, что
сам Эпименид родом с острова Крит?
 Современная форма этого парадокса: «Некто
говорит: ’’я лгу’’.
 Если он при этом лжет, то сказанное им есть ложь, и ,
следовательно он не лжет.
 Если же он не лжет, то сказанное им есть истина, и
следовательно, он лжет.
 В любом случае оказывается, что он лжет и не лжет
одновременно.»
Парадокс Платона , Сократа, Рассела
 Платон: Следующее высказывание
Сократа будет ложным.
 Сократ: То, что сказал Платон, истинно.
 Парадокс Рассела брадобрея. Владелец
парикмахерской в одном селе повесил
следующее объявление: "Брею тех и
только тех жителей села, кто не бреется
сам". Спрашивается, кто бреет
брадобрея?
Парадокс о вычислимых
функциях
 Легко доказать, что множество всюду определенных
вычислимых функций
 f:  является перечислимым, т. е. их можно
перенумеровать в виде последовательности f1, f2, f3,...
.
 Определим теперь новую функцию g формулой
 g(n) = fn(n)+1.
 Она не входит в нашу последовательность, поскольку
при n=1 она отличается от f1, при n=2 - от f2 и т. д.
Следовательно, она не вычислима.
 С другой стороны, ясно, что она вычислима, так как
fn(n) вычислима, а прибавив 1 к fn(n), мы получим g(n).
Областями использования логики
 - проектирование цифровых схем;
 - исследование семантики языков
программирования;
 - спецификация, верификация и синтез
программ;
 - спецификация и верификация параллельных
процессов;
 - создание логических языков
программирования;
 - системы искусственного интеллекта
Математическая логика
 - это современная форма логики, которая полностью опирается на
формальные математические методы.
 изучает умозаключения со строго определенными объектами и
суждениями, для которых можно однозначно решить, истинны они
или ложны.
 Математическая логика используется при решении трех групп
задач.
 1. формулировка логических рассуждений с помощью
специальных символов.
 2. построение формальных теорий (исчислений) для различных
математических объектов на основе аксиоматического метода.
 3. применение аппарата математической логики к различным
областям практической деятельности.
Логика высказываний
 Высказывание - это повествовательное предложение,
о котором можно сказать, что оно истинно или ложно (
И или Л).
– Пример: Земля - планета Солнечной системы. (Истинно);
Каждый параллелограмм есть квадрат (Ложно)
 Существуют высказывания, о которых нельзя говорить
с уверенностью, истинны они или ложны.
« Сегодня хорошая погода « ( кому как).
 Говорить об истинности или ложности определений
бессмысленно. Например, "Назовем эту музыку
 гимном". И все тут!..
Пример.
 “x-1=4” – не высказывание (неизвестно, какие значения
принимает ).
 “Студент второго курса” не высказывание (не
утверждением).
 Элементарные высказывания – высказывания,
представляющие одно утверждение, не могут быть
выражены через другие высказывания.
 Составные высказывания можно выразить из
элементарных высказываний с помощью связок «не»,
«и», или», «если то».
 “Число 22 четное” – элементарное высказывание.
Два основных подхода к установлению
истинности высказываний
 Эмпирический подход: истинность
высказывания устанавливается с помощью
наблюдений, измерений, проведением
экспериментов.
 Логический подход: истинность высказывания
устанавливается на основе истинности других
высказываний, то есть формально.
логический подход основан на выявлении и
использовании логических связей между
высказываниями, входящими в рассуждение.
Основные определения ЛВ
 Логика высказываний - раздел логики, в
котором вопрос об истинности или ложности
высказываний решается на основе изучения
способа построения высказываний из
элементарных высказываний с помощью
логических операций .
 Исчисление высказываний – это
аксиоматическая логическая система,
интерпретацией которой является алгебра
высказываний.
Формальные системы
ИВ (исчислением высказываний) формальная система, порождающая
высказывания, которые являются
тавтологиями . Формальная система ИВ
определяется:
Логические связки в ИВ:
 отрицание, конъюнкция, дизъюнкция,
импликация и эквивалентность.
Приоритет связок ИВ
– Символы отрицание, конъюнкция,
дизъюнкция, импликация и эквивалентность
называются пропозициональными связками
или связками исчисления высказываний.

Приоритет или ранг связок .
Алфавит исчисления
высказываний
– – любое непустое множество, элементы которого
есть символы трех категорий:
 Символы первой категории: переменными
высказывания – буквы латинского алфавита с
индексом или без него.
 Символы второй категории: логические
связки.
 Третью категорию составляет пара символов
( ), называемая скобками или разделитель.
 Других символов исчисление высказываний не
имеет
Формулы в ИВ
 Формула – правильно построенная составное
высказывание
 1) Всякая буква есть формула.
 2) Если А, В , - формулы, то формулами являются
также , , , , .

 Подформула элементарной формулы является
 она сама формула.
 Если формула имеет вид (А*В)(здесь и в дальнейшем
под символом * будем понимать любой из трех
символов ), то ее подформулами являются: она сама,
формулы А и В и все подформулы формул А и В.
Классификация формул
 Формула называется тавтологией, если она принимает только
истинные значения при любых значениях букв.
 Формула ложная при любых значениях букв называется
противоречием

– Формула называется выполнимой, если на некотором наборе
распределения истинностных значений переменных она принимает
значение И.
– Формула называется опровержимой, если при некотором
распределении истинностных значений переменных она принимает
значение Л.
Конкретный набор истинностных значений, приписанных переменных
называется интерпретацией формулы
 Формула называется общезначимой, если она истинна в любой
интерпретации.
Пример
Законы алгебры высказываний
Основные теоремы ИВ
Вывод формулы