Зачетный материал по алгебре 8 класс

Зачетный материал
по алгебре
8 класс
Составила учитель математики:
Цыганенкова Оксана Юрьевна
Зачет № 1 по теме: «Неравенства».
Цели:
1. Систематизировать полученные ранее знания о положительных и
отрицательных числах;
2. Сформировать представления о числовых неравенствах; об основных
свойствах числовых неравенств;
3. Повторить сложение и умножение неравенств; строгие и нестрогие
неравенства;
4. Научить решать системы неравенств; уравнения и неравенства, содержащие
модуль.
Основные понятия и определения:








положительные и отрицательные числа;
числовые неравенства;
основные свойства числовых неравенств;
строгие и нестрогие неравенства;
неравенства с одним неизвестным;
числовые промежутки;
решение систем неравенств; модуль числа;
уравнения и неравенства, содержащие модуль.
Требования к уровню подготовки учащихся
Учащиеся должны знать:


свойства числовых неравенств;
правила решения числовых неравенств.
Учащиеся должны уметь:

применять основные свойства числовых неравенств и правила решения
неравенств на практике.
Теоретическая часть:
Положительные и отрицательные числа.
Положительное рациональное число – это число вида k/n, где k и n – натуральные
числа.
Отрицательное рациональное число – это число вида –k/n, где k и n – натуральные
числа.
Рациональными числами называют числа вида m/n, где m – целое, n – натуральное
число.
Положительные числа называют большими нуля, а отрицательные – меньшими
нуля.
Знаки < и > называют противоположными.
Свойства чисел:
Формулировка с помощью букв
Словесная формулировка
Если a>0 и b>0, то a+b>0, ab>0, a/b>0.
Сумма, произведение и частное двух
положительных чисел – положительные
числа.
Если a<0 и b<0, то a+b<0, ab>0, a/b>0.
Сумма отрицательных чисел
отрицательна, а произведение и частное
двух отрицательных числе
положительны.
Если a>0 и b<0, то ab<0, a/b<0, b/a<0.
Произведение и частное положительного
и отрицательного чисел отрицательны.
Если ab>0, то или a>0 и b>0,
Если произведение или частное двух
или a<0 и b<0.
чисел положительно, то эти числа имеют
Если a/b>0, то или a>0 и b>0,
одинаковые знаки (т.е. оба числа
или a<0 и b<0.
положительны или оба отрицательны).
Если ab<0, то или a>0 и b<0,
Если произведение или частное двух
или a<0 и b>0.
чисел отрицательно, то эти числа имеют
Если a/b<0, то или
разные знаки (т.е. одно из них
a>0 и b<0,
положительно, а другое отрицательно).
или a<0 и b>0.
Если ab=0, то или a=0, b≠0,
Если произведение двух чисел равно
или a≠0, b=0.
нулю, то хотя бы одно из этих чисел
или a=0, b=0.
равно нулю.
Если a/b=0, то a=0 b≠0.
Если дробь равна нулю, то ее числитель
равен нулю, а знаменатель не равен
нулю.
Числовые неравенства
Определение. Число a больше числа b, если разность a-b положительна. Число a
меньше числа b, если разность a-b отрицательна.
Таки образом, неравенство a>b означает, что разность a-b положительна, т.е. a-b>0.
Неравенство a<b означает, что a-b<0.
Основные свойства числовых неравенств
Теорема 1. Если a>b и b>c, то a>c.
По условию a>b и b>c. Это означает, что a-b>0 и b-c>0. Складывая положительные
числа a-b и b-c, получаем (a-b)+(b-c), т.е. a-c>0. Следовательно, a>c.
Теорема 2. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак
неравенства не изменится.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в
другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.
Теорема 3. Если обе части неравенства умножить на одно и тоже положительное
число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на
одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на
противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное
число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на
одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на
противоположный.
Сложение и умножение неравенств
Теоремы о сложении и умножении неравенств:
1. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же
знака: если a>b и c>d, то a+c>b+d.
2. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые
части положительны, получается неравенство того же знака: a>b, c>d и a, b, c,
d – положительные числа, то ac>bd.
Неравенства с одним неизвестным
Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение
неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое
неравенство.
Решить неравенство – это значит найти все его решения или установить, что
их нет.
Решение неравенств
Свойство 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в
другую, изменив знак этого члена на противоположный; при этом знак неравенства
не меняется.
Свойство 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же
число, не равное нулю; если это число положительно, то знак неравенства не
меняется, а если это число отрицательно, то знак неравенства не меняется на
противоположный
Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки
Решением системы неравенств с одним неизвестным называется то значение
неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые
неравенства.
Решить систему неравенств – это значит найти все решений этой системы или
установить, что их нет.
Если a<b, то множество чисел x, удовлетворяющих неравенствам a≤x≤b, называется
отрезком и обозначается [a;b].
Если a<b, то множество чисел x, удовлетворяющих неравенствам a<x<b, называется
интервалом и обозначается (a;b).
Множества чисел x удовлетворяющих неравенствам a≤x<b или a<x≤b, называются
полуинтервалами и обозначаются соответственно [a;b) и (a;b].
Отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи называют числовыми промежутками.
Модуль числа
Модулем неотрицательного действительного числа x называют само это число: | x | = x;
модулем отрицательного действительного числа x называют противоположное число: | x | = - x.
Короче это записывают так:
(1)
Свойства модулей:
1.
2.
3.
4.
5.
Задания для самостоятельной работы
Уровень 1.
1. Поставьте вместо
неравенство:
3 7
 ;
4 8
5 3
5)
 ;
12 8
1
1
9)    ;
2
3
1)

знак =, > или < так, чтобы получилось верное равенство или
1
2) 1, 25 1 ;
4
1
6) 2  2,125;
8
1
10)     0, 26;
7
3
;
7
2
7) 0, 4  ;
7
5
11)   0, 625;
8
3) 0, 6 
1
4) 1, 08 1 ;
7
1
8) 1, 3 1 ;
6
12)  0, 07  
3
.
50
2. Расположите в порядке возрастания числа:
1
2
1
1, 2; 1 ; 1 ; 1, 4; 1 .
3
7
9
3. Найдите корни уравнения:
1)  x  3 x  12   0;
2)  x  1 x  7  x  9   0;
 x  8  2 x  5   x 2  25   0;
6)  x  1 x  5  x  8   0;
8)  2 x  3  x 2  9   x  5   0.
3)  6 x  5  x  5   0;
4)
 x  2  x  7   0;
7)  3 x  1 x  4   0;
5)
4. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной
прямой:
1) 12 x  36;
2)  4 x  0;
3)  15 x  45;
4) 6 x  18.
5. Решите неравенство:
1) 5 x  35;
2) 8 x  72;
3) 3x  11;
6)  x  10; 7)  18 x  27;
4) 6 x  1, 2; 5)  9 x  63;
1
2
8)  15 x  25; 9) x  3; 10) x  18.
6
3
Уровень 2.
1. Решите неравенство:
1) 12  x  18;
5) 1  3 x  10;
2) 6  x  4; 3) 0, 3  x  1;
6) 3 x  8  0; 7) 6  5 x  2;
4) 0, 4  x  0;
8) 9  12 x  0
9) 6  x  3  2 x;
10) 4  12 x  7  13 x;
11) 4 x  19  5 x  1;
12) 6 x  8 x  1;
13) 3  2  x   4  x;
14)   4  x   2  3  x  ;
15) 3 1  x   2  2  2 x   0;
16)   2  3 x   4  6  x   1;
5  3x
4 x
1 x
2  5x
 1;
18)
 0;
19)
 5; 20)
 0;
2
3
4
4
2x
x
3x
21)
 x  3;
22) x   2;
23)
 x  0;
5
4
2
x 1
3x  1
24)
 2x 
.
3
2
17)
2. Изобразите на координатной прямой промежуток:
1)  3; 2  ;
2)  1; 4 ;
3)  0,5;5  ;
4)  2,5;1;
5)  ;6  ;
6)  ; 2 ;
7) 8;   ;
8)  1,5;   .
1;  .
3. Изобразите на координатной прямой и запишите, используя введенные
обозначения, промежуток, задаваемый условием:
1) x  1, 5;
2) x  3, 2;
3) x  8;
4) x  7, 5;
5) 0  x  1;
6)  1  x  4;
7) 0  x  3;
8)  5  x  3.
4 . Решите уравнение:
1) x  2, 6;
2) x  1, 5;
3)
x  3;
4) x  5  3;
5) 4  x  2, 5;
6)
x  7  0;
7) 3 x  5  7;
8) 5 x  1  4;
9) 6  2 x  8.
5. Решите систему неравенств:

 x  2,
1) 

 x  11;
 x  1,

2) 

 x  0;
 x  1,5,
3) 
 x  2, 7;
 x  5,
4) 
 x  4;
Зачет № 2 по теме: «Квадратные корни».
Цели:
1. Систематизировать полученные ранее знания о рациональных числах;
2. Научить выполнять простейшие преобразования выражений, содержащих
квадратные корни.
Основные понятия и определения:





арифметический квадратный корень;
действительные числа;
квадратный корень из степени;
квадратный корень из произведения;
квадратный корень из дроби.
Требования к уровню подготовки учащихся
Учащиеся должны знать:

иметь представление об иррациональных числах, знать определение и
свойства арифметического квадратного корня.
Учащиеся должны уметь:

выполнять вычисления и алгебраические преобразования в выражениях,
содержащих квадратные корни; уметь строить график функции.
Теоретический материал
Арифметический квадратный корень
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число,
квадрат которого равен а.
Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением
квадратного корня.
Действительные числа
Рациональное число можно записать в виде десятичной дроби, конечной или
бесконечной.
Любое рациональное число можно представить либо в виде конечной десятичной
дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Бесконечные десятичные непериодические дроби называют иррациональными
числами. Рациональные и иррациональные числа образуют множество
действительных чисел.
Квадратный корень из степени
Теорема 1. Если а  и в 0, то ав  = а в .
Теорема 1 верна и тогда, когда число множителей под знаком корня больше двух.
авс = а в с .
Теорема 2. Если а 0 и в 0, то
а
а
=
.
в
в
Для доказательства достаточно установить, что 1)
Теорема 1.
а
а
а
 0 и 2) ( )2= .
в
в
в
Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен
произведению квадратных корней из этих чисел:
Задания для самостоятельной работы № 2
1. Найдите значение арифметического квадратного корня:
1) 16; 2) 100;
7) 0, 09; 8)
3) 49;
4) 81;
1
; 10)
64
400; 9)
5) 0, 25;
4
5 ;
9
6) 3600;
11) 3
6
9
; 12) 1 .
25
16
2. Найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен:
1) 3; 2) 10; 3) 0; 4) 0,8;
5)
1
; 6) 0,1;
4
2
7) 1 ;
3
8) 1,1.
3. Вычислите:
1)
25 
5)
0, 36 
16  9; 3) 3 4  36; 4) 64 : 900;
1
0, 01; 6)
0, 64  1; 7)  3 0, 49  2, 6;
8
49; 2)
8) 0, 4  0, 04;
12)
15)
1

6

12

 
9)
4
2
;
2
13)
3  0, 4 2  0,11 ;
 1, 5;

10) 7  

42  33;
16)
2
2
7

 ;

11)

0, 9
4  52  6 2 ;
14)
0, 52  0, 32 .
4. Найдите значение корня:
1) 9  36; 2) 20  81; 3) 16  900; 4)
6) 0, 49 16;
7)
10) 6, 25  0,16;
13)
9 1, 21;
11)
8)
400  0,36;
25 16  0,36;
1, 69  0, 04  0, 0001.
5. Найдите значение выражения:
2500  49; 5)
12)
9)
0, 64  25;
0, 09  0, 25;
196  2, 25  0, 09;

2
 0, 3;
1)
40  490;
2)
5)
12  27;
9)
12,1  0, 4; 10)
6)
10  640;
3)
18  32;
2, 5  40;
7)
6, 4  90;
4)
8)
8  800;
4, 9  0, 9;
5  45.
6. Найдите значение произведения:
1)
2  18;
3  48;
2)
5)
4, 5  72;
9)
17  2  34;
6)
3)
12, 5  98;
10)
13  52;
7)
4)
0, 4  3, 6;
1
11 13


;
11 13
25
11)
12  75;
8)
200  0,18;
3
1
 3
.
7
7
Зачет № 3 по теме: «Квадратные уравнения».
Цели:
1. Систематизировать полученные ранее знания о квадратных уравнениях;
2. Выработать умения решать квадратные уравнения; уравнения, сводящиеся к
квадратным и применять их к решению задач;
3. Познакомить с общим видом квадратного уравнения и формулами для
нахождения корней.
Основные понятия и определения:










квадратное уравнение и его корни;
неполные квадратные уравнения;
метод выделения полного квадрата;
решение квадратных уравнений;
приведенное квадратное уравнение;
теорема Виета;
уравнения, сводящиеся к квадратным;
решение задач с помощью квадратных уравнений;
решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени;
комплексные числа.
Требования к уровню подготовки учащихся
Учащиеся должны знать:
 определение квадратного уравнения, формулы его корней, теорему Виета;
Учащиеся должны уметь:
 решать разнообразные квадратные уравнения, дробные рациональные
уравнения, решать задачи с помощью уравнений.
Теоретический материал:
Квадратные уравнения
Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида
где коэффициенты a, b, c — любые действительные числа, причем a ≠ 0.
Коэффициенты a, b, c различают по названиям: a — первый, или старший, коэффициент; b —
второй коэффициент, или коэффициент при x; c — свободный член.
Определение 2. Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент
равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от
1.
Так, уравнение
— неприведенное квадратное уравнение (старший коэффициент равен 2), а уравнение
— приведенное квадратное уравнение.
Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные
уравнения.
Определение 3. Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором
присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c
отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не
все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b, c
равен нулю.
Обратите внимание: об
речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.
Определение 4. Корнем квадратного уравнения
называют всякое значение
переменной x, при котором квадратный трехчлен
обращается в нуль; такое
значение переменной x называют также корнем квадратного трехчлена.
Можно сказать и так: корень квадратного уравнения
— это такое значение x,
подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство 0 = 0.
Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Теорема Виета
Теорема 1
(теорема
Виета).
Пусть x1, x2 — корни квадратного уравнения
корней равна
, а произведение корней равно
. Тогда сумма
:
Например, для уравнения
, не находя его корней, можно, воспользовавшись
теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна , а произведение корней равно
, т. е.
- 2. А для уравнения
заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней
равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2.
Доказательство теоремы Виета. Корни x1 и x2 квадратного уравнения
находятся по формулам
где
— дискриминант уравнения. Сложив эти корни, получим
Первое соотношение доказано:
.
Теперь вычислим произведение корней x1 и x2 Имеем
Второе соотношение доказано:
Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один
корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых
корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.
Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного
уравнения
. В этом случае получаем:
т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и
коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, x 1 и x2 — корни приведенного
квадратного уравнения
. Тогда
Итак,
Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения
между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью
теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой
мы в дальнейшем не обойдемся.
Теорема 2.
Если
и
тождество
- корни квадратного трехчлена
, то справедливо
Доказательство. Имеем
По теореме Виета,
,
. Значит,
Формулы корней квадратных уравнений
Пусть дано квадратное уравнение
Обычно выражение
уравнения
Таким образом,
. Имеем
обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного
(или дискриминантом квадратного трехчлена
).
Значит, квадратное уравнение
можно переписать в виде
и далее
(1)
Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся,
для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.
Теорема 1.
Если
, то квадратное уравнение
не имеет корней.
Доказательство. Если D < 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время
левая часть уравнения (1) при любых значениях x принимает неотрицательные значения. Значит,
нет ни одного значения x, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не
имеет корней.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Здесь a = 2, b = 4, c = 7,
.
Так как D < 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.
Если
, то квадратное уравнение
имеет один
Теорема 2.
корень, который находится по формуле
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если D = 0, то уравнение (1) принимает вид
, т.е.
. Значит,
- единственный корень уравнения.
Замечание 1. Помните ли вы, что
графиком функции
корнем квадратного уравнения
как мы установили ранее,
— абсцисса вершины параболы, которая служит
? Почему именно это значение оказалось единственным
? «Ларчик» открывается просто: если D = 0, то,
Графиком же функции
является парабола с вершиной в точке
(см.,
например, рис. 98). Значит, абсцисса вершины параболы и единственный корень квадратного
уравнения при D = 0 — одно и то же число.
Пример 2. Решить уравнение
.
Решение. Здесь a = 4, b = -20, c = 25,
Так как D =0, то по теореме 2 данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень
находится по формуле
Ответ: 2,5.
Значит,
.
Задания для самостоятельной работы № 3
Уровень 1.
Практическая часть:
1. В квадратном уравнении подчеркните одной чертой первый коэффициент,
двумя чертами второй и тремя – свободный член:
1) 3 x 2  7 x  6  0;
2) 2 x 2  5 x  1  0;
4) x 2  7  4 x  0;
5) 2 x 2  11  0;
7) 7 x 2  0;
3) 5 x 2  x  9  0;
6) 15 x  x 2  0;
8) 3 x  x 2  19  0.
2. Решите уравнение:
1) 3 x 2  12  0;
2) 2 x 2  6 x  0;
5) 7 x 2  14  0;
6)
3) 1, 8 x 2  0;
x 2  3 x  0;
7) 
2 2
x  0;
3
4) x 2  9  0;
8) 6 x 2  24  0;
3. Решите уравнение и сделайте проверку:
1) 9 y 2  4  0;
2)  y 2  5  0;
4) 8 y 2  y  0;
5) 6 y  y 2  0;
3) 1  4 y 2  0;
6) 0,1y 2  0,5 y  0.
4. Найдите корни уравнения:
1)
 x  1 x  2   0;
4) x 2  16  0;
7) x 2  3x;
5)
2) x  x  0, 5   0;
9 x 2  1  0;
6) 3 x  2 x 2  0;
8) x 2  2 x  3  2 x  6;
5. Найдите дискриминант квадратного уравнения:
1) 3x 2  5 x  2  0;
2) 4 x 2  4 x  1  0;
3) 2 x  x 2  3  0;
4) 3x  1  6 x 2  0.
6. Сколько корней имеет уравнение:
1) 3x 2  7 x  0;
2) x 2  2 x  1  0;
3) 2 x 2  1  0;
4) x 2  3x  3  0?
3) x 2  2 x  0;
9) 3 x 2  7  12 x  7.
7. Решите уравнение:
1) x 2  x  0;
2) x 2  4 x  3  0;
4) x 2  2 x  2  0;
7) 7 x 2  4  0;
5) 5 x  3 x 2 ;
8) 3 x 2  x  2  0;
10) 7 x 2  8 x  1  0;
13) 5 y 2  4 y  1;
11)
2
6)
17)
x 2  5 x  4  0;
9) 10 x 2  5 x  0, 6  0;
2 x 2  3 x  2  0;
12)
x 2  6  5 x;
 x  2   3 x  8;
 x  2  x  2   7 x  14;
14) 2  3 x  5 x 2 ;
16) 5  x  2   6 x  44;
3) 5 x 2  14 x  3  0;
15)
2
x2  x 2x  4
18) 5  x  2    3 x  2  x  2  ;
19)

;
3
5
x2  3
x2  2x
x 2  24
20)
 6 x  5;
21)

;
2
2
7
3 x 2  x 2  7 x 3 x 2  17
22)


.
4
5
10
Уровень 2
1. Решите уравнение:
1) x 4  26 x 2  25  0;
2) x 4  20 x 2  64  0;
3) 9 x 4  37 x 2  4  0;
4) 16 x 4  25 x 2  9  0;
5) x 4  15 x 2  16  0;
6) 9 x 4  32 x 2  16  0;
7) x 4  10 x 2  25  0;
8) x 4  3 x 2  9  0.
2. Решите уравнение:
3x  x 2 2 x 2  x
3x  1 7 x  x 2 x 2  1
1)

 x;
2)


;
2
6
4
10
8
x2
3x
2 x 2  3x x  x 2
x2  2x x  4
3)

; 4)

;
5)

;
2 x 2 x
3 x
x 3
x4
x4
x2  2x 4x  3
5x  7 4 x  3
y  4 2 y 1
6)

;
7)

; 8)

;
2x 1 1  2x
x 3
x
y2
y
9)
5 x  2 6 x  21

;
x2
x3
10)
2 y  5 3 y  21

;
y5
2 y 1
3 y 2  y  24
4x  2
 2; 13)
 x  6;
2
9 y
1 2x
9
15)
 2 x  1.
x3
12)
3x 2  5 x  2
 0;
2 x
11)
14)
3 x 2  11x  4
 3;
3  1x
3. Решите систему уравнений:
 2 xy  5,
1) 
2 x  y  6;
 x 2  y  2;
4) 
 2 x  y  2;
 x  y  10;
7)  2
2
 x  y  40;
 x  y  1,
10)  2
 x  y  3;
 x  2 y  2,
2) 
 2 xy  3;
3 x  y  10,
5)  2
 x  y  10;
 3 xy  1,
3) 
6 x  y  3;
 x  y  7;
6) 
 xy  10;
 x 2  3 y  22,
8) 
 x  y  2;
 y  x  2,
9)  2
 y  4 x  13;
2 x  y 2  6,
11) 
 x  y  3;
 x  y  2,
12) 
2
 x  y  2.
Зачет № 4 по теме: «Квадратичная функция».
Цели:
1. Систематизировать полученные ранее сведения о квадратичной функции;
2. Сформировать представления о функции y=x2 и ее графике;
3. Сформировать представления о функции y=аx2 и ее графике;
4. Сформировать представления о функции y=ax2+bx+c;
5. Уделить внимание на построение графика с использованием координат вершины параболы,
нулей функции и нескольких дополнительных точек;
6. Сформировать умения определять по графику промежутки возрастания и
убывания функции, нули функции.
Основные понятия и определения:





определение квадратичной функции;
построение графика квадратичной функции;
функция y=x2;
функция y=аx2;
функция y=ax2+bx+c
Теоретический материал:
Квадратным уравнением называют уравнение вида
, где
— любые
числа (коэффициенты), причем
. Используя наши знания о некоторых функциях и их
графиках, мы в состоянии уже теперь, не дожидаясь систематического изучения темы
«Квадратные уравнения», решать некоторые квадратные уравнения, причем различными
способами; мы рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.
Пример. Решить уравнение
Решение.
I способ. Построим график функции
.
1) Имеем:
. Значит, вершиной
параболы служит точка (1; -4), а осью параболы — прямая x = 1.
2) Возьмем на оси x две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки x = -1
и x = 3. Имеем
. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).
3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).
Корнями уравнения
являются абсциссы точек пересечения параболы с осью x;
значит, корни уравнения таковы: x1 = - 1, x2 = 3.
II способ. Преобразуем уравнение к виду
. Построим в одной системе координат
графики функций
и
(рис. 69). Они пересекаются в двух точках A (- 1; 1) и B (3;
9). Корнями уравнения служат абсциссы точек A и B, значит, x1 = - 1, x2 = 3.
Рассмотрим многочлен
, где a,b,c - числа (коэффициенты), причем a ≠ 0. Его
обычно называют квадратным трехчленом; при этом одночлен
называют старшим членом
квадратного трехчлена, а коэффициент a — старшим коэффициентом.
Функцию
, где a,b,c - произвольные числа, причем a ≠ 0, называют
квадратичной функцией. Это название можно объяснить тем, что старший член трехчлена
содержит x в квадрате.
Опираясь на результаты, полученные выше, мы сможем построить график любой квадратичной
функции. Один такой график мы построили в конце предыдущего параграфа, воспользовавшись
методом выделения полного квадрата. Рассмотрим еще один пример.
Пример 1. Построить график
.
Решение. Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене
. Имеем
.
Для построения графика функции
перейдем к вспомогательной системе
координат с началом в точке (-1; 4) (пунктирные прямые x = - 1 и y = 4 на рис. 61). Привяжем
функцию
к новой системе координат. С этой целью выберем контрольные точки для
функции
, например: (0; 0), (1; -3), (-1; -3), (2; -12), (-2; -12), но строить их будем не в
старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 61). По этим точкам построим
параболу
получим
требуемый
график
(рис.
62).
Итак, применив метод выделения полного квадрата, мы преобразовали квадратный трехчлен к
виду
и использовали алгоритм 2 (заметим, что с равным успехом мы могли бы
использовать и алгоритм 1 - кому что нравится). Оказалось, что графиком функции
является парабола, которая получается из параболы
параллельным переносом. А в конце предыдущего параграфа мы установили, что графиком
функции
также является парабола; она получается из параболы
параллельным переносом. Оказывается, график любой квадратичной функции
можно получить из параболы
параллельным переносом, причем для доказательства
этого факта используется та же идея - выделение полного квадрата.
является парабола, которая
Теорема Графиком квадратичной функции
получается их параболы
параллельным переносом.
Доказательство. Воспользуемся методом выделения полного квадрата. Имеем
.
Итак, нам удалось преобразовать квадратный трехчлен
к виду
, где
,
.
Чтобы построить график функции
, нужно выполнить параллельный перенос
параболы
так, чтобы вершина параболы оказалась в точке
(рис. 63). Теорема
доказана.
Обратите внимание на следующее важное обстоятельство: из проведенного доказательства
следует, что вершиной параболы
является прямая
, т.е.
Итак, осью параболы
параболы
служит точка
. Осью параболы
.
служит прямая
; абсцисса
вершины
вычисляется по формуле
.
Формулу для ординаты вершины параболы запоминать не нужно (речь идет о формуле
т.е.
, то ординату
,
). Во-первых, она довольно громоздкая, а во-вторых, если известна абсцисса
всегда можно вычислить по формуле
, где
.
Задания для самостоятельной работы № 4
Уровень 1.
1. В одной и той же системе координат постройте графики функций y  1,5 x 2 и
1
y   x 2 . Используя построенные графики:
2
1) выясните, какая из этих функций:
а) возрастает в промежутке x  0;
б) убывает в промежутке x  0;
2) решите неравенство:
1
2
1
2
а) 1,5x2  3; б) 1,5x2  6; в)  x 2  2; г)  x 2  3.
2. Принадлежит ли графику функции y  5 x 2 точка A  8;320 ; B 3;45 ; C  5; 125 ?
3. Найдите координаты точки пересечения параболы y  8 x 2 и прямой:
1) y  2 x  1;
2) y  16 x;
3) y  32;
4) y  0.
4. Является ли функция y  4 x2 возрастающей (убывающей):
1) на отрезке  6;0; 2) в интервале  0;10  ;
3) на отрезке  5;5 ; 4) в интервале  1;8 ?
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y  0, 25 x 2 , где 4  x  2.
Уровень 2.
1. Найдите координаты вершины параболы:
1) y  2  x  4   5;
2) y   x  7   9;
2
3) y   x 2  12;
2
4) y  6  x  1 ;
5) y  x 2  6 x  8;
2
7) y  2 x 2  x  10;
6) y  3 x 2  4;
8) y  4 x 2  8 x.
2. Найдите координаты точки пересечения параболы с осями координат:
1) y  x 2  5 x  6;
2) y  2 x 2  5 x  12;
3) y  x 2  4 x;
4) y  3x 2  12.
3. Постройте график функции y  x2  2 x  8 и найдите, используя график:
1) значение функции при x  2,5; 1,5; 3;
2) значение х, при которых у = 7; –3;
3) нули функции, промежутки, в которых y  0, y  0;
4) промежутки возрастания и убывания функции;
5) значение х, при котором функция принимает наибольшее или наименьшее
значение.
4. Принадлежит ли графику функции y  x 2  11x  24 точки A  2;6 ;
B  1;36 ; C  23; 278 ?
1.
2.
3.
4.
Литература
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин «Алгебра, учебник для 8 класса
общеобразовательных учреждений». – М.: Просвещение, 2004 г.
Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров «Изучение алгебры в 7 – 9 классах». – М.:
Просвещение, 2004 г.
Л.В. Кузнецова, Е.А. Бунимович «Алгебра. Сборник заданий для проведения
письменного экзамена по алгебре за курс основной школы». – М.: Дрофа, 2002
г.
Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова «Математика. Экспериментальная
экзаменационная работа 8 класс. Типовые тестовые задания». – М.: Экзамен,
2008 г.