Теория пластин Основные понятия и гипотезы теории изгиба анизотропных пластин. Перемещения и деформации тонкой пластины Основные понятия и гипотезы теории изгиба анизотропных пластин Пластина- призматическое или цилиндрическое тело, толщина которого h мала по сравнению с другими габаритными размерами. Для исследования напряженно-деформированного состояния пластин введем систему координат x,y,z так, чтобы ось z была перпендикулярна пластине (Рис.1). Рис.1 Пластина Основные понятия и гипотезы теории изгиба анизотропных пластин Таблица 1 Классификация пластин Пластина h/b Наибольший прогиб Тонкая Толстая Гибкая 1/5 ... 1/80 Менее h /А Менее hIA Более hIA 1/3 ... 1/5 Классификация теорий расчета Техническая теория Теория толстых пластин Теория гибких пластин или мембран Классификация, предложенная Б.Г.Галеркиным, представлена в Таблице 1. Любая плоскость, перпендикулярная оси z, является координатной плоскостью. Пересечение боковой поверхности пластины с координатной плоскостью называется контуром. Координатная плоскость, сохраняющая свои размеры при деформировании пластин, называется срединной плоскостью. Перемещение точек пластины в направлении z называется прогибом. Основные понятия и гипотезы теории изгиба анизотропных пластин Гипотеза прямых нормалей: любой прямолинейный элемент, нормальный к срединной поверхности, остается прямолинейным и нормальным к срединной поверхности после деформирования пластины (γyz=0, γxz=0) и длина его не изменится (εz=0). Гипотеза недеформируемости срединной плоскости: , где u, ν – перемещения точек плоскости пластины, zc – координата срединной плоскости. Гипотеза об отсутствии давления между слоями пластины, параллельными срединной плоскости, позволяет пренебречь напряжениями σz по сравнению с напряжениями σх и σy Перемещения и деформации тонкой пластины Исследуем геометрическую сторону задачи об изгибе пластины. Следуя 1-й гипотезе, рассмотрим соотношения Коши: z dw 0 dz (1) следовательно, прогиб w w( x, y )не зависит от координаты z, w w 0 yz z y z y u w 0 u w xz z x z x w z f 1 x, y y u z w f x, y 2 x (2) Перемещения и деформации тонкой пластины Для определения f1 и f2 воспользуемся 2-й гипотезой w 0 z f 1 x, y c y 0 z w f x, y c 2 x или 0 f1 x, y 0 f 2 x, y (3) (4) Если выбрать систему координат x,y,z из условия zc=0; окончательно получим w z y u z w x (5) Таким образом, все компоненты перемещения точки пластины выражаются через функцию прогиба w и через z - расстояние до срединной плоскости. Перемещения и деформации тонкой пластин Из 6 геометрических соотношений Коши 3 уже использовали для . Выпишем оставшиеся соотношения z , xz , yz u 2w z 2 zK x x x x 2w z 2 zK y y y x u 2w 2 z 2 K xy xy y x xy где Kx, Ky, Kxy - кривизны. Таким образом, все компоненты тензора деформации определяются через функцию прогиба w w( x, y ) (6)