Лекция 5-3

Полицинский Е.В.
Тяготение. Элементы теории поля
Законы Кеплера
В мире атомов и элементарных частиц гравитационные
силы пренебрежимо малы по сравнению с другими
видами силового взаимодействия между частицами. Очень
непросто наблюдать гравитационное взаимодействие и
между различными окружающими нас телами, даже если
их массы составляют многие тысячи килограмм. Однако
именно гравитация определяет поведение «больших»
объектов, таких, как планеты, кометы и звезды, именно
гравитация удерживает всех нас на Земле. Гравитация
управляет движением планет Солнечной системы. Без неё
планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались
бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах
мирового пространства.
Закономерности движения планет с давних пор
привлекали внимание людей. Изучение движения планет и
строения Солнечной системы и привело к созданию теории
гравитации – открытию закона всемирного тяготения.
Полицинский Е.В.
С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма
сложным траекториям (рис. 79). Первая попытка создания модели
Вселенной была предпринята Птолемеем (~ 140 г.). В центре мироздания
Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам,
как в хороводе, двигались планеты и звезды.
Рис.79. Условное изображение наблюдаемого движения Марса на фоне неподвижных звезд
Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и
только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой
Коперника. В системе Коперника траектории планет оказались более
простыми. Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе
системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения
планет Солнечной системы. Кеплер использовал результаты наблюдений за
движением планет датского астронома Т. Браге.
Полицинский Е.В.
Первый закон Кеплера (1609 г.):
все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов
которых находится Солнце.
На рис. 80 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много
меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса.
Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием, точка A,
наиболее удаленная от Солнца, называется афелием или апогелием.
Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.
Рис. 80. Эллиптическая орбита планеты массой m << M.
а – длина большой полуоси, F и F' – фокусы орбиты
Полицинский Е.В.
Второй закон Кеплера (1609 г.):
радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени
равные площади. Рис. 81 иллюстрирует второй закон Кеплера.
Рис. 81. Закон площадей – второй закон Кеплера
Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента
импульса. На рис. 81 изображен вектор импульса тела p и его
составляющие p r и p  . Площадь, заметенная радиус-вектором за
малое время Δt, приближенно равна площади треугольника с
основанием rΔθ и высотой r :
S 
здесь


; (t  0)
t
1 2
 r  
2
или
S 1 2  1 2
 r 
  r   ; (t  0)
t 2
t
2
– угловая скорость.
(157),
Полицинский Е.В.
Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению
модулей векторов p  и r
L  r  p  r  (m  )  m  r 2  
так как
(158),
  r   .
Из этих отношений следует:
S
L

; (t  0)
t 2  m
(159).
S
Поэтому, если по второму закону Кеплера t  const то и момент импульса L
при движении остается неизменным.
В частности, поскольку скорости планеты в перигелии  p и афелии  A
направлены перпендикулярно радиус-векторам r p и r A из закона
сохранения момента импульса следует:
rP∙υP = rA∙υA
(160).
Полицинский Е.В.
Третий закон Кеплера (1619 г.):
квадраты периодов обращения планет относятся как
кубы больших полуосей их орбит:
T2
 const
a3
или
T12
T22

a13
a23
(161).
Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной
системы с точностью выше 1 %.
На рис. 82 изображены две орбиты, одна из которых круговая с
радиусом R, а другая – эллиптическая с большой полуосью a.
Третий закон утверждает, что если R = a, то периоды обращения
тел по этим орбитам одинаковы.
Рис. 82. Круговая и эллиптическая орбиты