Урок 5 Выборка с возвращением и без возвращения.

Урок 5
Выборка с возвращением и
без возвращения.
Упорядоченные выборки
Все множество изучаемых объектов
называется генеральной совокупностью(г.с.).
Число элементов г.с. n - объем выборки. Любое
множество объектов, случайно выбранных из
г.с. – случайная выборка. Число элементов m
выборки – объем выборки.
Определение. Пусть {a1,a2,…,an} –
множество из n элементов или г.с.
Упорядоченной выборкой объема m из данной
г.с. называется любое упорядоченное
подмножество из m его элементов.
Пусть элементы выборки выбираются
один за другим. Возможны два варианта.
1) Выборка с возвращением. Такие выборки –
упорядоченные множества, в которых
допускаются повторения.
2) Выборка без возвращения. Здесь элемент,
выбранный однажды, исключается из г.с. Такие
выборки – упорядоченные множества без
повторений. (m ≤ n).
1. Схема выбора без возвращения.
А) Пусть опыт состоит в выборе m элементов
без возвращения и без упорядочивания. Тогда
различными исходами следует считать m элементные подмножества исходного
множества, имеющие различный состав.
Общее число элементарных исходов при этом
равно
n!
C 
m !(n  m)!
m
n
Б) Пусть опыт состоит в выборе m элементов
без возвращения, но с упорядочиванием их по
мере выбора. Тогда различными исходами будут
упорядоченные m - элементные подмножества
исходного множества, отличающиеся либо
набором элементов, либо порядком их
следования. Общее число элементарных
исходов при этом равно
Anm  n(n  1)(n  2)...(n  m  1)
2. Схема выбора с возвращением.
А) Пусть опыт состоит в выборе m элементов с
возвращением, но без упорядочивания. Тогда
различными исходами следует считать m элементные подмножества исходного множества,
отличающиеся составом. Но при этом различные
наборы могут содержать повторяющиеся
элементы. Общее число элементарных исходов
при этом равно
Cnm m 1
Б) Пусть опыт состоит в выборе m элементов
с возвращением и с упорядочиванием их в
последовательную цепочку. Тогда различными
исходами будут упорядоченные m элементные подмножества ( с повторениями)
исходного множества, отличающиеся либо
составом элементов, либо порядком их
следования. Общее число элементарных
исходов при этом равно
nm
Пример. В партии из N деталей имеется n стандартных.
Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что
среди отобранных деталей ровно k стандартные.
Решение. Общее число возможных элементарных исходов
равно числу способов, которыми можно извлечь m деталей
из N деталей, то есть C Nm
- числу сочетаний из N
элементов по m. Найдем число благоприятных исходов. Нам
надо выбрать k стандартных деталей из n стандартных Cnk
способами, при этом остальные m-k деталей должны быть
нестандартными. Выбрать же m-k нестандартных деталей из
N- m деталей можно C Nmnk способами. Следовательно,
число благоприятных исходов равно
Тогда
Cnk  CNmnk
p( A)  Cnk  CNmnk / CNm
Правило сложения вероятностей.
Вероятность появления одного из
двух несовместных событий, безразлично
какого, равна сумме вероятностей этих
событий.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Пример 1. Стрелок стреляет в мишень.
Вероятность выбить 10 очков равна 0,3 , а
вероятность выбить 9 очков равна 0,6. Чему равна
вероятность выбить не менее 9 очков?
Решение.
Событие А «выбить не менее 9 очков» является
объединением событий В – «выбить 10 очков» и С –
«выбить 9 очков». При этом события В и С
несовместны ,так как нельзя одним выстрелом
выбить и 9 и 10 очков. Поэтому по теореме 1 имеем:
P( A)  P( B)  P(C )  0,3  0,6  0,9.
Пример 2. В цехе работают несколько станков.
Вероятность того, что за смену потребует
наладки ровно один станок , равна 0.2.
Вероятность того, что за смену потребуют
наладки ровно два станка, равна 0,13.
Вероятность того, что за смену потребуют
наладки больше двух станков , равна 0.07.
Какова вероятность того, что за смену придется
проводить наладку станков?
Решение. В этом примере опыт состоит в том,
что прошла смена и отмечено, сколько станков за
эту смену потребовало наладки. В этом опыте
события : А-«за смену потребовал наладки ровно
один станок», В- «за смену потребовали наладки
ровно два станка», и С- « за смену потребовали
наладки более двух станков» несовместимы. Нас
же интересует вероятность события A  B  C
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C ) 
 0, 2  0,13  0, 07  0, 4.
Вероятность противоположного события.
P( A )  1  P( A).
Пример. Берется наудачу трехзначное натуральное число
от 100 до 999. Какова вероятность того, что хотя бы две его
цифры совпадают?
Решение. Опыт здесь состоит в том, что наудачу
выбирается число от 100 дл 999 и смотрят , есть ли у него
совпадающие цифры. События «взяли наудачу число N» (N
=100, 101, …, 999) равновероятны (в этом смысл слова
«наудачу») и образуют множество исходов этого опыта.
Число исходов n=900. Нас интересует событие А – « у
выбранного числа совпадают хотя бы две цифры». Проще ,
однако , подсчитать вероятность противоположного
события Ā - « у выбранного числа все цифры различны».
Каждое такое число есть размещение без
повторений из 10 цифр по 3, не имеющих первым
элементом нуль. Следовательно,
m  A  A  10  9  8  9  8  9  8
3
10
2
9
2
( из числа всех трехэлементных размещений без
повторений надо вычесть число тех, у которых на
первом месте стоит нуль) и
92  8
P( A ) 
 0,72.
900
Тогда
P( A)  1  P( A )  0,28.