пределы1

Вопросы по теме ''Теория пределов''.
Вопросы первого уровня.
1. Сформулируйте определения
а) последовательности; б) ограниченной и неограниченной последовательности; в) предела последовательности.
Дайте геометрическую интерпретацию этих определений.
2. Какая последовательность называется
а) сходящейся; б) расходящейся?
3. Верно ли утверждение
а) из того, что последовательность ограничена, следует, что она сходится?
б) из неограниченности последовательности следует ее расходимость?
4. Сформулируйте необходимое условие сходимости последовательности.
5. Сформулируйте определения
а) бесконечно малой последовательности; б) бесконечно большой последовательности.
Дайте геометрическую интерпретацию этих определений.
6. Дайте определение, соответствующее символической записи lim xn   .
n 
7. Известно, что последовательность {xn } является бесконечно малой. Следует ли отсюда (при условии xn  0 n N ), что последовательность {1/xn}
является бесконечно большой?
8. Является ли бесконечно малая последовательность ограниченной?, сходящейся?
9. Является ли бесконечно большая последовательность неограниченной?,
сходящейся?
10. Сформулируйте теоремы об основных свойствах сходящихся последовательностей, связанных с арифметическими действиями и с неравенствами.
11. Докажите, что условие lim xn = a эквивалентно условию xn = a+  n , где
{  n } - бесконечно малая последовательность.
12.Сформулируйте определения возрастающей и убывающей последовательности.
13. Является ли ограниченность последовательности необходимым и достаточным условием сходимости: а)монотонной последовательности,
б)произвольной последовательности?
14.
Ограничены
ли
последовательности
1
xn  (1) n , xn  2n, xn  ln n,
n
xn  sin n, xn  1; 0; 2; 0; 3; 0; 4; 0; 5; 0; 6; ...
15. Найдите пределы
1
n2  n
5  3n
lim
; lim n
; lim( n 2  n  n) .
3 2
n n
n
 1   1   (1)   1 
16. Даны последовательности  ;  2 ; 
; 
 . Выберите из
 n   n   n   n  100 
x
x
этих б.м. последовательностей такие, что lim n  0;
lim n  1;
yn
yn
x
lim n   .
yn
10n
lim 2
;
n 1
17. Сформулируйте определение предела функции.
18. Докажите, что lim x  x0
x x0
lim c  c .
x  x0
19. Сформулируйте теоремы об основных свойствах пределов функции.
20. Сформулируйте определения односторонних пределов функции.
21. Дана f ( x) 
3 x
3 x
. Существует ли lim f ( x) ?
x3
22. Найдите пределы
x2 1
3 x  2
100 x 2  1
, lim
, lim 2
,
x 1 x  1
x 1
x  x  100
x 1
1  2x  3
x2  4
lim
, lim
.
x 4
x  2 ( x  2)( x  1)
x 2
x 
lim
1  cos x
,
x 0
x2
lim
tgx
,
x 0 x
lim
lim
x 3
x 2  5x  6
,
x 2  8 x  15
23. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке.
24. Какие точки называются точками разрыва функции?
25. Дайте определение точки устранимого разрыва и точек разрыва I и II рода.
26. Сформулируйте теоремы о непрерывности сложной и обратной функций.
27. Исследуйте на непрерывность функцию f(x) и укажите тип точек ее разрыва

1
f ( x)  e x ,
 x, x  1
f ( x)  
ln x, x  1.
28. Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке, дайте геометрическую иллюстрацию.
Вопросы второго уровня.
1. Покажите на примере, что номер N, фигурирующий в определении предела, зависит, вообще говоря, от .
2. Пусть lim x n  a .
n 
а) Могут ли все члены последовательности быть положительными (отрицательными), если а=0?
2
б) Может ли последовательность иметь бесконечно много отрицательных
членов, если а>0?
в) Докажите, что lim x n 1  a, lim x n  2  a.
n 
n 
г) Докажите, что x n  ограничена.
3. Пусть в некоторой окрестности точки а лежит бесконечно много членов
x n . Следует ли из этого условия, что:
а) lim x n  a ; б) x n  ограничена? в) никакая точка вне этой окрестности
n 
не является пределом x n  ?
4. Пусть в любой окрестности точки а лежит бесконечно много членов последовательности x n  . Следует ли отсюда, что: а) lim x n  a ? б) x n 
n 
ограничена?
5. Докажите, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.
6. Известно, что lim x n  a . Докажите, что lim ( x n 1  x n )  a
n 
n 
lim x 2n  a 2 .
n
7. Пусть бесконечное число членов последовательности находится
а) в любой окрестности нуля
б) вне любой окрестности нуля.
Следует ли из условия а) (условия б)), что последовательность является бесконечно большой? бесконечно малой? ограниченной? неограниченной?
8. Является ли любая неограниченная последовательность бесконечно большой?
9. Известно, что уn0 nN и а) lim xn  lim y n  0 ; б) lim x n  lim y n   .
 xn 
 быть бесконечно большой? бесконечно малой? сходящей yn 
Может ли 
ся? расходящейся, но не бесконечно большой? Приведите примеры.
10. Докажите, что сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой. Верно ли аналогичное утверждение для бесконечно больших последовательностей. Приведите примеры.
11. Известно, что в некоторой окрестности нуля находится: а) конечное число членов последовательности; б) бесконечное число членов последовательности. Следует ли отсюда, что в каждом из этих случаев последовательность является ограниченной? бесконечно малой? бесконечно большой?
12. Известно, что последовательность x n  сходится, а y n  – бесконечно
большая. Может ли последовательность xn y n  а) сходиться; б) расходиться, но быть ограниченной; в) бесконечно большой; г) быть бесконечно
3
малой? Ответьте на эти вопросы, используя в качестве примеров последоn
 n  1  1   (1)   1 
,  , 
,  2  .
 n  n   n  n 
вательности n, 
13. Найдите наименьший член последовательности x n  , если
а) x n  n 2  9n  100; б) x n  n 
100
.
n
14. Докажите теоремы о свойствах сходящихся последовательностей, связанных с арифметическими действиями и неравенствами.
n cos n
.
n 1
15. Найдите предел lim
n 
16. Докажите единственность предела функции.
17. Дана функция f ( x) 
x
x
. Определена ли f(x) в точке х=0? Является ли
точка х=0 предельной точкой области определения f(x)? Существует ли
lim f ( x ) ?
x 0
18. Докажите, что lim sin x  0 .
n 0
19. Докажите, что не существует lim sin x .
n  
sin x
 1.
n
x
21. Верно ли sin x  x 2 , sin 2 x  x 2 , sin 2 x  x , 1 cos x  x 2 при x  0 ? при
x  1? при x   ?
20. Докажите, что lim
Вопросы третьего уровня.
1. Доказать, что a  является бесконечно большой при a  1 ;
n
беско-
нечно малой при a  1 .
2. Пусть x n  – сходящаяся, а y n  – бесконечно большая последовательность. Доказать, что последовательность xn  y n  бесконечно большая.
3. Докажите, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.
4. Докажите, что неограниченная монотонная последовательность является бесконечно большой.
n
 1
5. Докажите существование lim 1   .
n 
 n
4