Жозеф Луи Лагранж - Томский политехнический университет

Томский Политехнический Университет
Кафедра
Геоэкологии и геохимии
Жизненный путь и труды
Жозефа Луи Лагранжа
Выполнил: студент группы 2Г01 Злобина Анастасия
Проверил: доцент Тарбокова Татьяна Васильевна
Томск 2011
Жозеф Луи Лагранж
Французский математик,
астроном и механик
итальянского
происхождения. Признан
лучшим математиком XVIII
века. Особенно прославился
исключительным
мастерством в области
обобщения и синтеза
накопленного научного
материала.
Автор классического трактата
«Аналитическая механика»,
в котором установил
фундаментальный «принцип
возможных перемещений» и
завершил математизацию
механики. Внёс грандиозный
вклад в развитие анализа,
теории чисел, теорию
вероятностей и численные
методы, создал
вариационное исчисление.
Лагранж родился 25 января 1736 в Турине. Из-за материальных
затруднений семьи он был вынужден рано начать
самостоятельную жизнь. Сначала Лагранж заинтересовался
филологией. Его отец хотел, чтобы сын стал адвокатом, и поэтому
определил его в Туринский университет. Но в руки Лагранжа
случайно попал трактат по математической оптике, и он
почувствовал своё настоящее призвание.


В 1755 году Лагранж послал Эйлеру свою работу об
изопериметрических свойствах, ставших впоследствии основой
вариационного исчисления. В этой работе он решил ряд задач,
которые сам Эйлер не смог одолеть.
1762 год – первое описание общего решения вариационной задачи.
Оно не было ясно обосновано и встретило резкую критику. Эйлер в
1766 году дал строгое обоснование вариационным методам и в
дальнейшем всячески поддерживал Лагранжа.
Леонард Эйлер
В 1764 году Французская Академия наук объявила конкурс на
лучшую работу по проблеме движения Луны. Лагранж представил
работу, посвященную либрации Луны (Точка Лагранжа), которая
была удостоена первой премии. В 1766 году Лагранж получил вторую
премию Парижской Академии за исследование, посвященное теории
движения спутников Юпитера, а до 1778 года был удостоен ещё трёх
премий.
Берлинский период (1766—1787) был самым плодотворным в
жизни Лагранжа. Здесь он выполнил важные работы по
алгебре и теории чисел, в том числе строго доказал несколько
утверждений Ферма и теорему Вильсона: для любого простого
числа p выражение (p − 1)! + 1 делится на p.
В 1787 году, после кончины Фридриха II, Лагранж по приглашению
Людовика XVI переехал в Париж, где был принят с королевскими
почестями и стал членом Парижской Академии наук.
Наполеон любил
обсуждать с
деликатным и
ироничным
Лагранжем
философские
вопросы. Он
пожаловал
Лагранжу титул
графа, должность
сенатора и орден
Почётного
легиона.
Дифференциальные уравнения
Лагранжа

Дифференциальным уравнением называется
соотношение, связывающее переменную
величину , искомую функцию и её производные,
то есть соотношение вида:

Дифференциальные уравнения находят
широчайшее применение в различных областях
науки и техники. Они возникают при решении
задач, когда устанавливается взаимосвязь между
функцией от переменной и её производными.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого
порядка следующего вида:

Такое дифференциальное уравнение приходиться
решать, как говорят, методом введения
вспомогательного параметра. Найдём его общее
решение, введя параметр
Тогда уравнение запишется:


Замечая, что
этого уравнения по
Пишем:

Преобразуем его в вид:

продифференцируем обе части
.
(1)
(2)

Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения,
если заметить, что оно обращается в верное равенство при
всяком постоянном значении
, удовлетворяющему
условию

В самом деле, при любом постоянном значении , производная
тождественно обращается в нуль и тогда обе части
уравнения можно приравнять к нулю.

Решение, соответствующее каждому значению
то есть,
является линейной функцией от , поскольку производная,
постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту
функцию, достаточно подставить в равенство (1) значение
то есть

Если окажется, что это решение не получается из общего ни
при каком значении произвольной постоянной, то оно будет
являться особым решением.

Найдём теперь общее решение. Для этого запишем
уравнение (2) в виде
и будем считать, как функцию от
. Тогда полученное
уравнение суть не что иное как линейное дифференциальное
уравнение относительно функции от . Решая его, найдём

(3)
Исключая параметр из уравнений (1)и (3) найдём общий
интеграл уравнения (1) в виде.
Уравнение Эйлера — Лагранжа
Одним из основных классических результатов
вариационного исчисления, имеющих огромное
практическое значение, являются уравнения
Эйлера — Лагранжа — дифференциальные
уравнения, которым должна удовлетворять
функция, являющаяся стационарной для
довольно общего в своем классе и очень важного
вида интегрального функционала (а значит и
функция, на которой такой функционал достигает
локального экстремума, тоже должна
необходимо удовлетворять этим уравнениям).
Пьер-Симон Лаплас дал такую характеристику
деятельности Лагранжа:
«…среди тех, кто самым эффективным образом
раздвинул пределы наших знаний, Ньютон и
Лагранж в самой высокой степени владели
счастливым искусством открывания новых
данных, представляющих собой существо
знаний…»
Высоко оценивал Лагранжа, как учёного и как
человека, Фурье:
«Всей своей жизнью… он доказал свою
преданность общим интересам человечества, —
благородной простотой манер, возвышенным
характером и, наконец, точностью и глубиной
своих научных трудов.»
Умер Лагранж 10 апреля 1813 года.
Умер спокойно, как и жил, сказав друзьям: «Я сделал
своё дело… Я никогда никого не ненавидел, и не
делал никому зла».
Похоронен в Пантеоне.