Жозеф Луи Лагранж - Томский политехнический университет
реклама
Томский Политехнический Университет Кафедра Геоэкологии и геохимии Жизненный путь и труды Жозефа Луи Лагранжа Выполнил: студент группы 2Г01 Злобина Анастасия Проверил: доцент Тарбокова Татьяна Васильевна Томск 2011 Жозеф Луи Лагранж Французский математик, астроном и механик итальянского происхождения. Признан лучшим математиком XVIII века. Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала. Автор классического трактата «Аналитическая механика», в котором установил фундаментальный «принцип возможных перемещений» и завершил математизацию механики. Внёс грандиозный вклад в развитие анализа, теории чисел, теорию вероятностей и численные методы, создал вариационное исчисление. Лагранж родился 25 января 1736 в Турине. Из-за материальных затруднений семьи он был вынужден рано начать самостоятельную жизнь. Сначала Лагранж заинтересовался филологией. Его отец хотел, чтобы сын стал адвокатом, и поэтому определил его в Туринский университет. Но в руки Лагранжа случайно попал трактат по математической оптике, и он почувствовал своё настоящее призвание. В 1755 году Лагранж послал Эйлеру свою работу об изопериметрических свойствах, ставших впоследствии основой вариационного исчисления. В этой работе он решил ряд задач, которые сам Эйлер не смог одолеть. 1762 год – первое описание общего решения вариационной задачи. Оно не было ясно обосновано и встретило резкую критику. Эйлер в 1766 году дал строгое обоснование вариационным методам и в дальнейшем всячески поддерживал Лагранжа. Леонард Эйлер В 1764 году Французская Академия наук объявила конкурс на лучшую работу по проблеме движения Луны. Лагранж представил работу, посвященную либрации Луны (Точка Лагранжа), которая была удостоена первой премии. В 1766 году Лагранж получил вторую премию Парижской Академии за исследование, посвященное теории движения спутников Юпитера, а до 1778 года был удостоен ещё трёх премий. Берлинский период (1766—1787) был самым плодотворным в жизни Лагранжа. Здесь он выполнил важные работы по алгебре и теории чисел, в том числе строго доказал несколько утверждений Ферма и теорему Вильсона: для любого простого числа p выражение (p − 1)! + 1 делится на p. В 1787 году, после кончины Фридриха II, Лагранж по приглашению Людовика XVI переехал в Париж, где был принят с королевскими почестями и стал членом Парижской Академии наук. Наполеон любил обсуждать с деликатным и ироничным Лагранжем философские вопросы. Он пожаловал Лагранжу титул графа, должность сенатора и орден Почётного легиона. Дифференциальные уравнения Лагранжа Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее переменную величину , искомую функцию и её производные, то есть соотношение вида: Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они возникают при решении задач, когда устанавливается взаимосвязь между функцией от переменной и её производными. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида: Такое дифференциальное уравнение приходиться решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение, введя параметр Тогда уравнение запишется: Замечая, что этого уравнения по Пишем: Преобразуем его в вид: продифференцируем обе части . (1) (2) Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении , удовлетворяющему условию В самом деле, при любом постоянном значении , производная тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю. Решение, соответствующее каждому значению то есть, является линейной функцией от , поскольку производная, постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство (1) значение то есть Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением. Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение (2) в виде и будем считать, как функцию от . Тогда полученное уравнение суть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции от . Решая его, найдём (3) Исключая параметр из уравнений (1)и (3) найдём общий интеграл уравнения (1) в виде. Уравнение Эйлера — Лагранжа Одним из основных классических результатов вариационного исчисления, имеющих огромное практическое значение, являются уравнения Эйлера — Лагранжа — дифференциальные уравнения, которым должна удовлетворять функция, являющаяся стационарной для довольно общего в своем классе и очень важного вида интегрального функционала (а значит и функция, на которой такой функционал достигает локального экстремума, тоже должна необходимо удовлетворять этим уравнениям). Пьер-Симон Лаплас дал такую характеристику деятельности Лагранжа: «…среди тех, кто самым эффективным образом раздвинул пределы наших знаний, Ньютон и Лагранж в самой высокой степени владели счастливым искусством открывания новых данных, представляющих собой существо знаний…» Высоко оценивал Лагранжа, как учёного и как человека, Фурье: «Всей своей жизнью… он доказал свою преданность общим интересам человечества, — благородной простотой манер, возвышенным характером и, наконец, точностью и глубиной своих научных трудов.» Умер Лагранж 10 апреля 1813 года. Умер спокойно, как и жил, сказав друзьям: «Я сделал своё дело… Я никогда никого не ненавидел, и не делал никому зла». Похоронен в Пантеоне.
