P(H i A) = P(H i )

Формула полной
вероятности.
Формула Бейеса
1
Терминология
Допустим, что об условиях опыта можно
сделать n исключающих друг друга
предположений (гипотез):
H1,H2,…,Hn, где Hi Hj = Ø, i ≠ j

n
H
i 1
i

Hi – несовместные, образующие полную
группу события.
2
Формула полной вероятности
Заданы условные вероятности события А,
при каждой из гипотез P(A‫׀‬H1),…,P(A‫׀‬Hn).
Событие А может появиться только вместе с
одной из гипотез.
 Найдем вероятность события А.
 A= H1A +H2A + …+ HnA , HiA – несовместные
n
события, значит P( A)   P( H i A) ,
i 1
P(HiA) = P(Hi)∙P(A‫׀‬Hi)

n
Отсюда P( A)   P( H i )P( A | H i )
i 1
полной вероятности
– формула
3
Формула полной вероятности
Применяется, когда опыт со
случайными исходами распадается на
два случая:
 розыгрыш условий опыта
 розыгрыш результата

4
Пример1

Имеются два одинаковых ящика с
карандашами. В 1-ом ящике – 2
зеленых и 1 синий карандаш, во 2-ом
– 1 зеленый и 3 синих. Наудачу
выбирают один из ящиков и вынимают
из него карандаш. Какова вероятность
вынуть зеленый карандаш?
5
Решение
Hi – выбор i ящика
 P(H1) = P(H2)=1/2
 P(A‫׀‬H1) =2/3
 P(A‫׀‬H2) = ¼
1 2 1 1 1  8  3  11
 P(A) = 2  3  2  4  2  12   24



6
Пример 2

Предположим, что 0,5% всех мужчин и
0,025% всех женщин дальтоники.
Найти вероятность того, что наугад
выбранное лицо страдает
дальтонизмом. Фразу из песни считать
верной: «На 10 девчонок по статистике
9 ребят».
7
Решение
H1 – выбрана женщина
 H2 – выбран мужчина
 P(H1) = 10/19;
 P(H2) = 9/19;
 P(A‫׀‬H1) = 0.00025
 P(A‫׀‬H2) = 0.005
10
9
1
9
1 9 2
19
1

0
,
00025


0
,
005





 P(A) = 19
19
19  400 19  200 19  400 19  400 400

8
Формула Бейеса
До опыта о его условиях можно было сделать
ряд гипотез
 H1, H2,…,Hn;
∑Hi = Ω; HiHj = Ø
 Вероятности гипотез до опыта «априорные
вероятности» заданы:
n
P(H1),….,P(Hn);  P( H i )  1
i 1
Пусть опыт проведен, в результате его
появилось событие А. Найдем вероятность
гипотез, при условии, что А произошло (найти
«апостериорные» вероятности гипотез, при
условии, что опыт дал результат А).

9
Формула Бейеса
P(H1‫׀‬A); P(H2‫׀‬A)…. P(Hn‫׀‬A)
 P(HiA) = P(Hi)∙ P(A‫׀‬Hi) =P(A)∙ P(Hi‫׀‬A)

P( H i )  P( A / H i )

P(Hi|A) =
n
 P( H i )P( A / H i )
=
P( H i )  P( A / H i )
P ( A)
i 1
10
Пример 1
1.
Три барабана с лотереями: в 1-ом 50
билетов, из которых два выигрышных;
во 2-ом 100 билетов – 4 выигрышных;
в 3-ем 300 билетов – 5 выигрышных.
Изымают 1 билет – выигрышный. Из
какого барабана менее вероятно этот
билет?
11
Решение





P(Hi) = 1/3;
P(A‫׀‬H1) = 2/50=1/25;
P(A‫׀‬H2) = 4/100=1/25;
P(A‫׀‬H3) = 5/300=1/60;
1 1
1
1
1 29  29
P(A) =        

3  25
25
60 
3  300 
900
1 / 25 1 / 3 1 900 12



 P(H1‫׀‬A) =
29 / 900 75 29 29


P(H2‫׀‬A) = 12/29
P(H3‫׀‬A)= 5/29
12
Пример 2
2. Два студента на практике в налоговой
полиции
проверяют
правильность
заполнения налоговых деклараций членами
правительства РФ. 1 студент обрабатывает
60% деклараций, 2-ой – 40%. Вероятность
того, что 1-ый допустит ошибку при
обработке 0.01, 2-ой – 0.03 . Руководитель
практики для контроля проверил одну
декларацию и выявил ошибку проверки.
Определить вероятность того, что ошибся
1-ый студент.
13
Решение
H1 – проверил 1-ый студент
 Н2 – проверил 2-ой студент
 А – «студент ошибся»


P(H1‫׀‬A) =
0,6 
0,6 
1
100
1
3
 0,4 
100
100

0,006
0,006 6 1



0,006  0,012 0,018 18 3
14