Численное моделирование динамики роста льда в водоемах с

Математическое моделирование
ледотермического режима пресных и соленых
водоемов
Воеводин Анатолий Федорович
Институт гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН, Новосибирск
Одномерная трехслойная модель описывает рост снежно-ледового покрова в водоемах с различной
степенью минерализации. В результате образования пресного льда, перед фронтом кристаллизации
образуется слой с высоким содержанием примеси, которая влияет на температуру фазового перехода.
В математическом отношении решение проблемы сводится к интегрированию уравнения
теплопроводности в трех областях с неизвестными подвижными границами («вода-лед» z = f1(t), «ледснег» z = f2(t), «снег-атмосфера» z = f3(t)) и условиями сопряжения на этих границах, учитывая
тепловой баланс и переменную температуру фазового перехода.
Twater
 2Twater
0  z  f1 (t ) :
 water c p
 kwater

2
t
z
2
C
C
d 2 
t
z
2
Tice
2  Tice
 aice
;
f1 (t )  z  f 2 (t ) :
t
z 2
T
T 
 
cpsnow( z ) snow   k snow ( z ) snow ;
f 2 (t )  z  f3 (t ) :
t
z 
z 
 snow ( z )  0 eb ( f3 (t )  z ) , b  1.255( м 1 ),
T – температура среды (вода, лед, снег), 0С; а2 – температуропроводность, м2/с; ρwater(T, C) –
плотность воды,
ksnow=2.910-6 2(z)+0.043 - теплопроводность снега, Вт/м ºС (Пиотрович В.В.); ρ0 - плотность
свежего снега, кг/м3; ср - удельная теплоемкость, Дж/кг ºС.
(В.И.Васильев, А.М.Максимов, Е.Е.Петров, Г.Г. Цыпкин Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих
грунтах. М.: Наука. 1996;
Е.Е. Мачульская, В.Н. Лыкосов, Моделирование термодинамической реакции вечной мерзлоты на сезонные и
межгодовые вариации атмосферных параметров, Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2002, т. 38, 20-33 )
Условия сопряжения на границе фазового перехода «вода – лед» z = f1(t):
обобщенные условия Стефана:
V fas 
d lice

dt
k water
Twater
z
 kice
z  f1 ( t )
условие баланса массы:
Tice
z
C fas
  waterV fas ;
z  f1 ( t )
df1
C
 d
dt
z

z  f1 ( t )
условие равенства температур
Tice
z  f1
 Twater
z  f1
 T fas (t )
T fas (t )  T    C fas (t )
для пресного водоема:
Twater = Tice = Т* = 0˚C;
lice - толщина слоя льда, Cfas – концентрация соли на границе раздела фаз,
Tfas - температура замерзания.
(Гороновский И.Т. и др. Краткий справочник по химии, 1987 )
Граничные условия:
на дне водоема z = 0:
Twater
z
0
или
Twater
z 0
z 0
 const ;
C
z 0  0
z
на границе «лед-снег» z = f2(t):
kice
Tice
z
 k snow ( z )
z  f 2 (t )
Tsnow
z
;
z  f 2 (t )
Tsnow = Tice;
на границе «снег-атмосфера» z = f3(t) задается атмосферная температура (измерения на
высоте 2м над поверхностью) или температура поверхности снега:
Tsnow
z  f3 ( t )
 Ta ( t ).
Метод решения
l*(t)
Tа
1
f3(t)
снег
0
1
Tsnow= Tice
f2(t)
лед
0
1
вода
0
Twater= Tice =Тf
f1(t)
По методу «спрямления фронта» отобразим исходную область в
область с фиксированными границами, перейдя к новым
независимым переменным (Будак Б.М.(1966))
t t
0  i 1 (i =1, 2, 3)
i 
z  f i 1 (t )
;
f i (t )  f i 1 (t )
Уравнения для определения положения подвижных
границ
f1 (t) = lwater = H - Kρ lice , K =ice/water;
f2 (t) =f1(t) + lice= H + (1 - Kρ)lice(t);
f3 (t) = f2 (t)+ lsnow ;

l *  0.001W water
0
ln( 1  bl * (t ))
lsnow 
,
b
где l*(t) толщина свежевыпавшего снега, м с плотностью ρ0; W
водный эквивалент, мм; H – глубина водоема, м.
Основные уравнения в новых переменных:
l
2
water
Twater
k water  2Twater
Twater
dlice



;


K
l

;
water
water
 water 1
2
t
 water c p 1
1
dt
l
2
water
C
 2C
C
 D 2  vwater

t
1
1
2
Tice
Tice
2  Tice
l ice
 aice


;
ice
2
t
 2
 2
ice  ( K   2 )
2
l
2
snow
dlice
;
dt

Tsnow
Tsnow  2Tsnow 
Tsnow
2
 asnow (  )  2blsnow



;
snow
2 
t
3
3 
3

snow  ( K   1)lsnow
dlice
dl
dlsnow
k
2
 3 snow 
, asnow
 snow  4.85 106  snow .
 snowc p d3
 snowc p
dt
dt
Условия сопряжения
kwater Twater
lwater 

1 1
kice Tice
lice 
 ice K 
2 0
kice
Tice
z
dlice
,
dt
k V fasC fas 

 2 1
k snowlice Tsnow
lsnow
z
.
3  0
d C
lwater l

l 1
Аппроксимация уравнений по неявной схеме:
uin1  uin
uin11  2uin1  uin11 (vi   vi )n uin11  2  vi n uin 1  (vi   vi )n uin11
K

 i  2 N r 
2

hr
2hr
n 1
n 1
n 1
решение ищем в виде:
Au

C
u

B
u
i i 1
i i
i i 1   Fi 
методом встречной прогонки в воде:
n 1
i
u
 u
l  c n 1
i 1 i 1
   i  1 N r  
l c
i 1
во льду
uin11   is1uin 1  is1  i  N r 1
l c
i 1
Bi
Ai il c  Fi
l c

 i 1 

l c
l c
Ci   i Ai
Ci   i Ai
s
B
A

s
s
i
i i 1  Fi 1
i 
 i 

s
s
Ci   i 1 Ai
Ci   i 1 Ai
условия сопряжения на фронте кристаллизации в разностном виде:
C fas  CN r C (1   Nc r 1 )   Nc r 1
T fas  TNl r T fas (1   Nl r 1 )   Nl r 1 C
Tl
 1


 1



hl
hl

hl
hl
T2s  T fas T fas ( 2s  1)   2s
Ts
 0



hs
hs
T fas  T   C fas 
V fas  AT T fas  BT 
V fasC fas  AC C fas  BC 
Из трех уравнений получаем квадратное уравнение относительно Сf
 AT C 2fas  ( AC  BT )C fas  BC  0
Решением полученного квадратного уравнения будет один, удовлетворяющий физическим
условиям корень:
C fas
BT  AC  ( AC  BT )2  4 AT BC


2 AT

1  kwater
kice
l
s
AT 
(1


)

(


1)

N r 1
2


ice  lwater hwater
licehice

AC 
d (1   Nc r 1 )
hwater lwater k

BC  
1  kl l
ks s 
BT  
 
 
ice  ll hl Nr 1 ls hs 2 
d  Nc r 1
hwater lwater k 

А.Ф.Воеводин, Т.Б. Гранкина Численное моделирование роста ледяного покрова в
водоеме// Сбирский журнал индустриальной математики, 2006. Том 9, №1(25). С.47-54
На рисунках представлены результаты расчета динамика роста снежноледового покрова и данные натурных измерений. Объект - озере Яркуль
Чановской системы озер. Минерализация водоема 5 г/дм3. Средняя
глубина 5 метров. Сравнение с натурными измерениями. Зима 1999 –
2000 гг
На рисунках представлены результаты расчета динамика роста снежно-ледового
покрова и данные натурных измерений. Объект - озере Яркуль Чановской
системы озер. Минерализация водоема 5 г/дм3. Средняя глубина 5 метров.
Сравнение с натурными измерениями. Зима 2002 – 2003 гг.
Динамика роста снежно-ледового покрова
Новосибирское водохранилище, пгт Ордынское
(метеоданные 1976-77 гг.)
Спасибо за внимание
Гранкина Т.Б.
[email protected]