УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (II)

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
 Одномерное волновое уравнение описывает
продольные колебания стержня, сечения которого
совершают плоскопараллельные колебательные
движения.
Двумерное волновое уравнение
используется для исследования колебаний
тонкой пластины (мембраны).
Трехмерное волновое уравнение
описывает распространение волн в
пространстве (например, звуковых волн в
жидко- жидкости).
 Рассмотрим одномерное волновое уравнение
U
2  U
a
2
2
t
x
2
2
 c начальными условиями
U
t 0 
U
t
U
 ( x),
t 0 
x 0
 ( x),
 0, U
x l
 0.
 Рассмотрим явную разностную схему «крест» для
решения данной задачи.
i, j  1

h
h
i  1, j
i, j

i, j  1
i  1, j
 Заменим в уравнении вторые производные
искомой функции U по t и х их конечноразностными соотношениями.
ui
j 1
 2ui  ui
j

2
j 1
a
j
2 ui 1
j
 2ui  ui 1
2
j
h
 Отсюда можно найти явное выражение для
значения сеточной функции на (j + 1)-м слое:
uij 1  2(1   )uij   (uij1  uij1 )  uij 1 ,
a 2 2
 2 .
h
Здесь, для определения неизвестных
значений на (j + 1)-м слое нужно знать
решения на j-м и (j — 1)-м слоях.
 Поэтому начать счет можно лишь для
второго слоя.
 решения на нулевом и первом слоях находятся с
помощью начальных условий.
 На нулевом слое имеем
0
ui
  ( xi ).
 Для получения решения на первом слое
воспользуемся вторым начальным условием.
 Производную u / t заменим конечноразностной аппроксимацией.
U
t
t 0
x x i
  ( xi ) 
u1i  u 0i

.
 Из этого соотношения можно найти значения
сеточной функции на первом слое:
1
ui
0
 ui
  ( xi ).
Построим неявную схему.
 Вторую производную по t в уравнении
аппроксимируем, как и ранее, по
трехточечному шаблону с помощью
значений сеточной функции на слоях j - 1, j,
j + 1.
ui
j 1
 2ui  ui
j

2
j 1

j 1
j 1
j 1
j 1
j 1
j 1

a ui 1  2ui  ui 1 ui 1  2ui  ui 1 
 


2
2
2 
h
h

2
 Из этого соотношения можно получить систему
уравнений относительно неизвестных значений
сеточной функции на (j + 1)-м слое:

j 1
ui 1
 (1  2 )ui
 (1  2 )ui
j 1
j 1


j 1
(ui 1
a
  2 , i  1, 2,...,
h
2 2
j 1
ui 1

j 1
j
 ui 1 )  2ui ,
j  1, 2,... .
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


Интегральным уравнением называется
уравнение, неизвестная функция в котором
содержится под знаком интеграла.
В общем случае интегральное уравнение имеет
вид
b
 K ( x, s, y(s))ds  f ( x, y( x)),
a
a  x  b.


Виды интегральных уравнений.
Уравнения, в которые искомая функция входит
линейно, называются линейными
интегральными уравнениями.

Одним из них является уравнение Фредгольма
первого рода
b
 K ( x, s) y(s)ds  f ( x),
a  x  b.
a

Уравнение Фредгольма второго рода имеет вид
b
y( x)    K ( x, s) y(s)ds  f ( x), a  x  b.
a

уравнение Вольтерра первого рода:
x
 K ( x, s) y(s)ds  f ( x),
a  s  x.
a

уравнение Вольтерра второго рода
x
y( x)    K ( x, s) y ( s)ds  f ( x), a  s  x.
a

Для решения линейных интегральных
уравнений строится итерационный
процесс, аналогичный методу простой
итерации для нелинейного уравнения.