Лекция 8: Расчет статически неопределимых систем методом сил

Лекция 8
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
МЕТОДОМ СИЛ
(продолжение)
5. Проверка правильности коэффициентов
При вычислении коэффициентов канонических уравнений метода
сил возможны ошибки. Поэтому их надо проверять.
Рассмотрим два способа проверки.
Универсальная проверка используется для одновременной
проверки всех коэффициентов системы канонических уравнений:
• если сумма всех коэффициентов системы канонических
уравнений равна произведению суммарной единичной эпюры
на себя, т.е. n
n
  ij  M 
i=1
2
 M  M ,
j=1
то все коэффициенты системы канонических уравнений
вычислены верно.
n
Здесь
M    M i  M 1 + M 2 + ...+ M n
i=1
− суммарная
единичная эпюра
Постолбцовая проверка используется для проверки грузовых
коэффициентов:
• если
сумма
всех
грузовых
коэффициентов
равна
произведению суммарной единичной эпюры на грузовую эпюру,
т.е.
n
  iP  M 
 MP ,
i=1
то грузовые коэффициенты вычислены верно.
После этих проверок можно решать систему канонических
уравнений метода сил и определять неизвестные X1, X2, …, Xn.
6. Определение внутренних усилий
Внутренние усилия заданной СНС можно найти двумя способами:
1) подставляя найденные величины X1, X2, …, Xn в основную
систему и определяя ее усилия M, Q, N в СОС;
2) используя единичные эпюры M i , Qi , Ni в единичных состояниях
и грузовые эпюры MP, QP, NP в грузовом состоянии. С учетом закона
Гука и принципа суперпозиции получаются формулы:
M  Μ1 X 1  Μ 2 X 2 
 Μn X n ;
Q  Q1 X 1  Q2 X 2 
 Qn X n ;
N  N1 X 1  N2 X 2 
 Nn X n .
При расчете рам и балок обычно используется только первая из
этих формул. Тогда эпюра Q строится по эпюре M с использованием
теоремы Журавского, а эпюра N строится по эпюре Q способом
вырезания узлов, т.е.:
M  Q  N.
7. Алгоритм метода сил
Порядок расчета рамы методом сил состоит из следующих этапов:
1. Определение степени статической неопределимости.
2. Выбор основной системы.
3. Запись канонических уравнений.
4. Рассмотрение единичных и грузового состояний.
5. Построение единичных и грузовой эпюр.
6. Определение коэффициентов канонических уравнений.
7. Решение системы канонических уравнений.
8. Построение эпюр M, Q, N.
9. Проверка правильности расчета.
Такая проверка состоит из двух частей:
• статическая проверка − проверка выполнения условий
равновесия;
• кинематическая проверка – проверка выполнения всех условий
Mi M 0
или одного условия
M  M  0.
8. Определение перемещений СНС
Перемещения статически неопределимых систем можно вычислять по
формуле Мора. В системах с преобладанием изгибных деформаций
(например, в рамах и балках) она имеет вид:
  
M M
dx  M  M .
EI
Перемещения СНС по этой формуле можно искать в трех вариантах:
1) используются эпюры M и M в заданной СНС; однако построение
этих эпюр связано с решением двух трудоёмких задач раскрытия
статической неопределимости;
2−3) одна из этих эпюр строится в статически определимой основной
системе; в этом случае используются формулы
  M  M или   M  M P ,
0
где M0 и MP – единичная и грузовая эпюры в любой основной системе
метода сил.
9. Расчет симметричных рам
Симметричными называются системы, расчетные схемы которых
симметричны относительно некоторой оси:
Расчет любой симметричной рамы можно упростить, если
воспользоваться ее симметрией и разложить внешнюю нагрузку на
сумму двух типов нагрузок:
произвольная
нагрузка
симметричная
нагрузка
кососимметричная
нагрузка
Несмотря на то что раму приходится рассчитывать дважды, выбор
основной системы с учетом симметрии дает выигрыш в вычислениях.
Для выяснения этого построим следующие эпюры:
ОС
кососим. эп.
сим. эп.
сим. эп.
Канонические уравнения будут:
 11 X 1   12 X 2   13 X 3  1P  0 ,
 21 X 1   22 X 2   23 X 3  2P  0 ,
 31 X 1   32 X 2   33 X 3   3P  0 .
Симметричная (с) и кососимметричная (кс) эпюры взаимноортогональны, так как их “произведение” равно нулю:
с
Mi
кс
M j
 0.
Поэтому
некоторые
коэффициенты
уравнений обращаются в нуль:
 12   21  M1  M 2  0,
системы
канонических
 23   32  M 2  M 3  0
и система уравнений распадается на две независимые системы:
 11 X 1   13 X 3  Δ1P  0,
(1) 
 31 X 1   33 X 3  Δ3P  0;
(2)  22 X 2  2P  0.
Таким образом, при расчете симметричной рамы некоторые
коэффициенты можно не вычислять, а решение большой системы
канонических уравнений заменить решением двух систем уравнений
значительно меньших размеров.
10. Группировка неизвестных
Рассмотрим следующую симметричную раму (ЗС):
ЗС
ОС
Если при ее расчете выбрать обычную основную систему (ОС), то
все коэффициенты системы канонических уравнений
 11 X 1   12 X 2   1P  0,
 21 X 1   22 X 2   2P  0
будут отличны от нуля и  12   21  M1  M 2  0.
Если выбрать основную систему группировкой неизвестных по
формулам:
X1=Y1 +Y2 ,
X2=Y1 – Y2 ,
то единичные эпюры будут ортогональными:  12   21  M1  M 2  0.
ОС
Тогда система канонических уравнений распадется на два:
11Y1  1P  0;
 22Y2   2P  0.
Поэтому группировка неизвестных позволяет уменьшить объем
вычислений.