ЧЕТЫРЕХВОЛНОЕ СМЕШИВАНИЕ ЛЫСЕНКО Вадим Григорьевич

ЧЕТЫРЕХВОЛНОЕ СМЕШИВАНИЕ
ЛЫСЕНКО Вадим Григорьевич
Institut für Angewandte Photophysik, TU Dresden, FRG
Институт проблем технологии микроэлектроники и
особочистых материалов РАН, Черноголовка
• Принцип ЧВС (FWM)
• Схема экспериментальной установки
• Матрица плотности
• Временные эволюции спектров ЧВС
1
При резонансном лазерном возбуждении в
полупроводнике возникает наведенная поляризация
Поляризация
КЯ
P
Резонанс
Pump
Спектр
Лазера
0
t
Поляризация в Квантовых ямах
при 4К спадает за пикосекунды2
Задержанный на пикосекунды лазерный импульс создает
с остатками поляризации интерференционную картину
k2
Pump
k1 - k2
Prob
Амплитуда модуляции пропорциональна
сохранившейся поляризации
3
Если есть нелинейность –пропускание пространственно
промодулировано (слабо, 10-6)
k2+( k2 - k1)=
2k2 - k1
k2
k2- ( k2 - k1)=
k1
k1 - k2
Pump
Prob
4
Диафрагмой можно выделить диффрагированное в
направлении 2k2-k1 излучение и измерять его интенсивность в
зависимости от задержки τ между k1 и k2 импульсами
2k2 - k1
k2
k1
k1 - k2
Pump
Prob
k2 диффрагирует также в направлении k1: тогда это
“когерентная добавка” к сигналу PUMP-PROBE
5
Схема экспериментальной установки, измеряющей ЧВС или
PUMP-PROB в зависимости от положения диафрагмы
Для улучшения сигнал-шум pump и prob модулируют на разных
частотах ω1 и ω2 и смотрят на одной из них или разности ω1 - ω2
6
Матрица плотности
В некоторых случаях экситоны в полупроводниковых
структурах можно рассматривать как переходы в
двухуровневой системе
3
2
Рассмотрим ансамбль двухуровневых систем.
Статистические свойства ансамбля удобно описывать
матрицей плотности:
Hrel
1
H0|n = hn|n
   Pj  j  j
Hint(t)
j
Bath
где Pj – вероятность найти систему в состоянии |ψj>.
0
Для многоуровневой системы имеющей основное состояние 0> с энергией ħω0 и
возбужденные состояния |1>, |2>, |3>… с энергиями ħω1, ħω2, ħω3…, матрица плотности
имеет вид
 00

ˆ   10
  20
 ...

01 02 ...
11 10 ...

 21  22 ...
...
...
...
7
Матрица плотности: Свойства
Диагональные элементы матрицы плотности – вероятность найти система в
соответствующем состоянии, или населённость соответствующего уровня. В замкнутой
многоуровневой системе диагональные элементы связаны соотношением:
00  11  22  ...  1
Недиагональные элементы описывают когерентность (суперпозиции) состояний.
Пример
Для ансамбля двухуровневых систем состояние j-й системы:
 j (t )  caj (t ) a  cbj (t ) b
Матрица плотности имеет вид
| caj |2 cbj caj* 
   Pj  *
2
c
c
|
c
|
j
aj
 aj bj

где Pj – вероятность находиться в состоянии j.
Среднее значение (expectation value) любого оператора O выражается через:
O  Tr{O }
8
Матрица плотности: Уравнение эволюции
Матрица плотности удовлетворяет уравнению Лиувиля:
i
где
H  H 0  Hint  H rel.
ˆ
 ( H ˆ  ˆ H )
t
(1)
Дипольное взаимодействие Hint с электромагнитным полем фемтосекундного импульса:
Hint (t )   μ  E (t )
где m – оператор дипольного взаимодействия.
9
Матрица плотности: Уравнение эволюции
Последний член Hrel в (1) описывает взаимодействие, приводящее к фазовой релаксации:
 nm
t
(0)
  nm (  nm   nm
),
relax
Это уравнение приводит к экспоненциальной релаксации со скоростью γnm.Это “dephasing
rate“ при n≠m и “population relaxation rate“ при n = m.
ρ(0) оператор плотности при термическом равновесии. При низкой (нулевой) температуре
заполнено только основное состояние, поэтому
 00(0)  1
А все остальные состояния пустые (их матричные элементы раны нулю).
Уравнение эволюции для матричных элементов можно расписать в виде:
E (t )
 d

i



i


(
t
)


[ mnl lm (t )  nl (t ) mlm ]


nm
nm  nm
 dt

l
(3)
10
Матрица плотности: Функция Грина
Решения уравнения (3) для δ-образного
импульса E(t) = δ(t) в правой части, [δ(t) –
функция Дирака]:
является (временной)функцией Грина Gnm(t):
Gnm (t )   (t ) exp(inm t   nm t ),
(2)
где θ(t) –(ступенчатая) функция Хевисайда.
Фурье-преобразование функции Грина Gnm(t):
Gnm ( )  
1
(  nm  i nm )
.
Функция Грина интерпретируется как отклик
многоуровневой системы на сверхкороткое
импульсное возбуждение
Green Function Amplitude
0.1
 (t )
 d

,
 i  nm  i nm  Gnm (t )  
dt


i
G10(t), T10= 0.1 ps
0.2
0.0
-0.1
-0.2
0
50
100
150
Time (fs)
1
G00(t), T11= 1 ps
G00(t), T11= 3 ps
0.1
0.01
1E-3
G11(t), T11= 3 ps
G11(t), T11= 1 ps
0
2
4
6
Time (ps)
8
10
11
Матрица плотности: Произвольное возбуждение E(t)
Решение уравнения (1) при произвольной амплитуде импульса E(t) описывается
сверткой:


nm (t )  Gnm (t )   E (t )[ mnl lm (t )  nl (t ) mlm ] .

Оператор плотности – просто свертка
уравнения
(3)

l
 функции Грина и правой части (источник)
E (t ) [ mnl lm (t )   nl (t ) mlm ],
l
которая в свою очередь есть произведение поля импульса E(t) на член [] зависящий от
других элементов матрицы плотности.
Фурье-преобразование сверткиof (3) есть произведение Фурье-преобразований:


nm ( )  Gnm ( ) FT  E (t )[ mnl lm (t )  nl (t ) mlm ] .

l

12
Решение Уравнения: Теория возмущений
В общем случае уравнение (3) не имеет аналитического решения. Разложить элементы
матрицы плотности в ряд Тейлора по амплитуде возбуждающего поля E(t):
 (t )   (0) (t )   (1) (t )   (2) (t )   (3) (t )  ...,
где ρ(j) пропорциональна j+1 степени электрического поля. Используя (3), находим


( j 1)
( j)
nm
(t )  Gnm (t )   E (t ) [ mnl lm
  nl( j ) mlm ]  .

l

(4)
ρ(j+1) порядка j+1 определяется элементами ρ(j) порядка j.
(4) даёт последовательность уравнений, позволяющих посчитать итерационно
матричные элементы вплоть до любого порядка разложения по электрическому полю.
Начальные условия (обычно)
 00(0) (0) ≈1, остальные ij(0) (0)≈0.
Вывод: Метод теории возмущений позволяет найти элементы матрицы
плотности в виде последовательности произведений и сверток.
13
Третий порядок: Два уровня, Эксперимент
Для регистрации
отклика высшего
порядка используется
два или более луча
(импульса).
Дополнительный
параметр- задержка
между двумя
импульсами.
eg(3) (t )eik
4 r

 2meg m ge meg Geg (t )  E (t ) Gee (t )   E (t ){[Geg (t )  Gge (t )]  E (t )} 

Возбуждающее электрическое поле является суммой членов:
E (r , t )   E1 (t )e  i (Lt k1 r )  E1* (t )e  i (Lt k1 r )  E2* (t )e  i (Lt k2 r ) E2 (t )e  i (Lt k2 r )  / 2
с различными пространственными распределениями, поэтому наведенная поляризация может
меть различные вариации пространственного распределения.
Различные пространственные распределения связаны с соответствующими членами. Их
можно выделить регистрируя сигналы распространяющиеся в соответствующих
направлениях.
14
Pump-Probe: Дифференциальное поглощение
Первый вклад – “differential absorption”. Pump импульс создаёт населенность
возбужденного уровня, из-за чего изменяется пропускание (и спектр) пробного импульса.
 (t , k2  k1  k1 ) 
(3)
eg

meg
2


(2)
Geg (t )  E2 (t , k2 )[  gg
(t , k1  k1 )  ee(2) (t , k1  k1 )]


 Geg (t )   E2 (t , k2 ) Gee (t )  E1* (t , k1 )[Geg (t )  E1 (t , k1 )]  E1 (t , k1 )[Geg* (t )  E1* (t , k1 )] 


Это традиционная интерпретация
изменения pump-probe спектра, при
которой когерентность лазерного
излучения не играет роли.
E2(t-200)
population~exp(-t/T1)
Amplitudes
Сигнал возникает только при
положительной задержке, т.е. когда
Probe зондирует образец после Pump.
Просветление в спектре пропускания
пропорционально населенности
возбужденного состояния и спадает
экспоненциально со временем жизни
Т1 .
1.0
gg-ee= -2ee
Probe Pulse

0.5
Gge(t) E2(t)ee, T2=200
Product
E2(t-)ee
T2 =100
0.0
-200
0
200
400
Time ("fs")
600
800
15
Квантовые биения или Интерференция поляризаций
Атомная система характеризуется двумя близколежащими оптическими переходами.
Интерференция поляризаций – когерентная
суперпозиция откликов от независимых
переходов (невзаимодействующих
двухуровневых систем)..
Квантовые биения в трехуровневой системе.
Осциллирует волновая функция, что проявляется
в детектируемом сигнале.
Четырехволновое смешение со спектральным
разрешением может использоваться для отличия
между этими двумя типами осцилляций.
This can be realized in the following model systems:
II ρ
44
ω1
ρ11
ρ01
μ01
ω0
ρ00
ω4
ω
ρ11 2
ω1
ρ01
μ01
ρ43
μ43
ω3
V ρ
22
ρ33
ω0
ρ02
μ01
ρ00
II) Две независимые двухуровневые
системы с близколежащими
частотами переходов.
V) Трехуровневая система с двумя
близколежащими переходами
между общим основным уровнем
и двумя возбужденными
состояниями.
16
Quantum Beats vs. Polarization Interference
II
ω1
ρ11
ρ01
μ01
ω0
ρ00
ω4
ρ44
Их комплексные энергии
Ωij=ωij-iγij
ρ43
μ43
ω3
0-1, 3-4 и 0-2 – дипольно-разрешенные переходы с
дипольными моментами m10, m43, и m20.
ρ33
Оптические Блоховские Уравнения имеют вид
(без релаксации в равновесное состояние ρii=0
время жизни T1),
V ρ
22
ω
ρ11 2
ω1
ρ01
μ01
ω0
ρ02
μ01
ρ00
i ( 10  i10 10 )  m10  11  00  E
i ( 10  i10 10 )  [ m10  11  00   m02  21 ]E
i (  43  i43  43 )  m43   44  33  E
i (  20  i20  20 )  [ m20   22  00   m01 21 ]E
i ( 21  i2121 )  (m20 01  20 m01 ) E
i 11  m10 ( 10  10* ) E
i 11  m10 ( 10  10* ) E
*
i 44  m43 ( 43  43
)E
00  11  1
i 22  m20 ( 10  10* ) E
33  44  1
00  11  22  1
17
Quantum Beats : Решение
i ( 10  i10 10 )  [ m10  11  00   m02  21 ]E
i (  20  i 20  20 )  [ m20   22  00   m01 21 ]E
i 11  m10 ( 10  10* ) E
00  11   22  1
*
i  22  m20 (  20   20
)E
i (  21  i 21 21 )  ( m20 01   20 m01 ) E
Предположим, что в начальный момент уровень
з
а
н
я
т
а
,
в
о
з
б
у
ж
д
е
н
н
ы
е
п
у
с
т
ы
е
т
0
р
е
х
у
р
о
в
н
е
в
о
й
с
и
с
т
е
м
ы
(
V
п
)
о
л
н
о
с
к
и
т
ь
ю
:
00(t = 0) = 1, и 11(t = 0) = 02(t = 0) = 0.
Также предполагаем, что вначале когерентность в системе отсутсвует:
10(t = 0) = 20(t = 0) = 21(t = 0) = 0.
(1)
Амплитуды переходов первого порядка 10
(201)
a
у
р
а
в
н
е
н
и
й
п
,
о
д
с
т
а
в
л
я
я
в
п
р
а
в
у
ю
ч
а
с
т
ь
н
а
ч
а
л
ь
n
в
d
н
ы
е
з
н
а
ы
ч
ч
е
и
н
с
и
л
я
я
ю
т
с
я
и
р
а
в
н
е
н
и
й
п
,
о
л
у
ч
и
м
м
а
т
р
и
ч
н
ы
е
э
л
е
м
е
н
т
ы
в
т
о
р
о
г
о
п
о
р
( 2)
( 2)
11
(t ), 11
(t ), (002) (t )
я
,
д
к
д
в
у
х
в
е
р
х
н
и
х
.
Подставляя полученные значения и электрическое поле E(t) в следу
у
з
ю
щ
и
е
д
в
е
с
т
р
о
ч
а
(212 ) (t )
и
Затем подставляем эти элементы и электрическое поле E(t) в верхние два уравнения,
п
о
л
у
ч
а
е
м
з
н
а
ч
е
н
и
я
д
л
я
м
а
т
р
и
ч
н
ы
х
э
л
е
м
е
н
т
о
в
т
р
е
т
ь
е
г
о
п
о
р
я
д
к
а
.
( 3)
10
(203)
и
.
18
Quantum Beats : Решение
Окончательное выражение для поляризации 3-го порядка есть сумма произведений:
P(3) (t )  m01(013) (t )  m02(023) (t )
В случае δ-образного лазерного импульса имеем:
E(t)=δ(t)exp[-i(ωLt-k1r)]+ δ(t-τ)exp{-i[ωL(t- τ)-k1r]}
получаем
P (3) (t , )  ei (2 k2  k1 )r iN ( )(t   ) 


2 i20
2
2 i20
e  i10 (t  ) m102 [2m102 ei10  m20
e
]  e  i20 (t  ) m20
[2m20
e
 m102 ei10 ]
*
*
*
*
(t)- ступенчатая функция Хевисайда. Следовательно, эволюция поляризации в реальном
времени t - два экспоненциальных спада с параметрами . Её спектр:
2
2 i10 
2 i10 
m10
[2m10
e
 m 220ei 20  ] m 220 [2m 220ei 20   m10
e ]
( 3)
P (,   0) 

10  
 20  
*
*
*
*
J.Erland, I.Balslev “Theory of quantum beat and polarization interference in four-wave mixing”, Phys. Rev. A 48, 1765 (1993)
19
Quantum Beats: Решение для δ(t)
Зависимость сигнала ~|P (3)(t,τ)|2 четырех-волнового смешивания от реального времени t и
положительной задержки τ между Pump и Probe δ-импульсами:
20
Polarization Interference: Решение
Наведенную поляризацию для II системы можно вычислить используя 6 левых уравнения и
использованную выше итерацию. Поляризация третьего порядка:
4  i 43 ( t  ) i 43
PPI(3) (t , )  i( )(t   )[ N10 m104 e  i10 (t  )ei10  N 43 m43
e
e ]
*
*
4  i20 ( t  2 )   12t
 i ( ) (t   )  N10 m104 e  i10 ( t  2 )e 10t  N 43 m43
e
e  .
Сигнал четырех-волнового
смешивания для несвязанных
Систем (Интерференция
Поляризаций) представлена на
левом рисунке.
Дополнительные осцилляции
возникают из-за перекрёстных
членов, которые изменяют фазу
при (t-2).
21
Quantum Beats vs. Polarization Interference
Преобразования Фурье полученных выше поляризаций P(3)(t,) дают спектры сигнала ЧВС @ >0:
m102 [2m102 ei   m202 ei  ] m202 [2m202 ei   m102 ei  ]
(3)
PQB ( ,  0) 

10  
20  
*
10
*
20
*
20
*
10
Положив в правой части m02=0, получек вклад от одной двухуровневой системы. Две независимые
двухуровневые системы будут иметь поляризацию третьего порядка:
PPI(3) ( , ) 
QB
*

4 i10
01
4 i*43
43
2m e
2m e

10  
43  
PI
22
Двухуровневые системы: Неоднородное уширение
Неоднородное уширение может возникать при сдвиге резонансной частоты окружением,
кристаллическим полем, флуктуациями ширины (интерфейса) квантовых ям и т.д.
Как правило, характерная «неоднородная полуширина» Γ много больше или сравнима с
однородной полушириной γij. Обычно достаточно трудно отличить качественно и тем более
количественно два разных механизма неоднородного и однородного уширения.
Если неоднородное уширение имеет Гауссово распределение g(ω10)
2
c

1
1  10  10  
g (10 ) 
exp   



 2
 
 2 
с полушириной Γ, надо P(3)(t,τ) и P(3)(ω,τ) проинтегрировать по частотам этого распределения.
Тогда зависимость поляризации третьего порядка Pinh(t,τ)от реального времени t будет:
2
2



t

2



(3)
(3)
(3)
c
Pinh (t , )   g (21 )Phom (t , , 10 )d 10  Phom (t , , 10 ) exp  

2


23
Неоднородное уширение: Фотонное эхо
(3)
Pinh
(t , )  i ( ) (t   ) m104 e
1.0
2
2



t

2



  10t
e exp  

2


Inhomogeneous broadening ~2 meV
delay  =0
Dephasing rate  =66 meV
=0
FWM Intensity
При неоднородно-уширенных
переходах возникает
«фотонное эхо», когда в
реальном времени t
поляризация третьего порядка
достигает максимума с
задержкой 2 и имеет не
экспоненциальную, а Гауссову
зависимость от t с
полушириной 2/Γ.
C
 i10
( t  2 )
 ~ 1 meV
=1 ps
0.5
=2 ps
=3 ps
=4 ps
0.0
-1
0
1
2
3
4
5
6
Real Time, t (ps)
7
8
24
9
10
Неоднородное уширение: Спектральная эволюция
Преобразование Фурье даёт зависимость спектра от задержек
τ между импульсами
2
P ( ,  )  iN m
(3)
inh
4
10
2 i 2  210
e
e

c
 10
i 10 


2
2
 1   10
  10c  
erfc  
   i



2

 
Для больших задержек  >>1/  интенсивность ЧВС IFWM()exp(-4/T2).
-функция обрезает Гауссиан для
времен t< предшествующих Probe
импульсу. function clips the Gaussian in
the real time for t<. Для задержек менее
1/ отклик содержит спектр частот шире
чем  из-за –функции (которая в
реальном эксперименте нарастает за
время лазерного импульса).
P(3)inh зависит от задержки  через exp(2) и erfc(/2).
Когдаn 1, erfc1, поэтому сигнал
ЧВС ~|P(3)inh|2, спадает экспоненциально,
но  exp(-4).
25
Неоднородное уширени: Кинетика и спектр
1
-4
homogeneous
broadening
inhomogeneous
broadening
ho
m
0.1
og
og
om
inh
e
0.01
-4
e
-2
en
eo
us
Voigt
2
br
oa
us
eo
en
de
nin
g
bro
2
2
Gauss exp[-(h-hres ) /2 ]
g
in
en
2
erfc (-laser)
2
Lorentz /[(h-hres ) + ]
ad
FWM Intensity (rel. units)
2
erfc (-)e
1E-3
0
5
10
15
20
Delay Time ("ps")
Начальный рост  лазерный импульс;
Рост прималых задержках – из-за
неоднородного уширения Γ;
Экспоненциальный спад при больших
задержках τ с темпом 4γ.
-4
-2
0
2
4
h - hres ("meV ")
Спектр ЧВС при малых
задержках τ – Voigt function
При больших задержках τ Гауссиан
26
Excitation-Induced Dephasing (EID): Однородное
Another possible mechanism for FWM or pump-probe signal is Excitation Induced Dephasing (EID)
[M.Wegener, H.Wang], if dephasing of polarization is dependent on exciton or carrier density n(x):
 j ( x )   j 0   j n( x )
Real time dependence of third order polarization in case both PSF and EID for homogeneously broadened
transition is
PSF  EID
4 2 * i  2 k2  k1  r L t  i L   t    i L  
Phom
(t , )  iN m E2 E1 e
e
e




  t       1  e  t   / T1 e  t   e 

 (t   )( )e   t   e   N T1 
   t      1  e  t / T1  e  t e 2


  



EID leads to two terms in square brackets, proportional to σ, one for positive and one for negative delay τ.
Polarizations, produced by EID, are not prompt, they are zero at t = 0 and reach maximum at certain time t
≠ 0.
(3, EID )
hom
P
( , )  2 N m  ( )e
4
10
EID
I hom
( , )   ( )e2
( i10   10 )


1
e  / T1

     i
10    i ( 10  1/ T1 ) 
 10
10
(1  e / T1 )(  10 ) 2  2e / T1 [(  10 ) 2   (  1/ T1 )]
[(  10 ) 2   2 ][(  10 )2  (  1/ T1 ) 2 ]
27
Excitation-Induced Dephasing (EID): Неоднородное1
Third order polarization, including contributions from EID, in the case of inhomogeneously broadened
two-level system is, [Wang]:
   2
EID
inh
P
* i  2 k2  k1  r L t  i L c  t  2 
1
(t , )  iN m E E e
4
2
2
e



  t   / T1
e
  t      1  e



2
 t  2
2
e
 t
N T1e

   t     1  e
2

 t / T1
e
2
e

 t  2
2
e
 t



EID terms have “Gaussian” multipliers, which do not result in “rephasing” of third order polarizations
and corresponding FWM signals.
Fourier transformation of this relationship gives us spectrum of third order polarization:
2


i











 i  c        e 
c
e
i c     1

EID
 erfc 
Pinh ( , )  Ae
exp 

2



2
2
2




iN m 2 * i  2 k2  k1 r i c   2L 
  
E2 E1  e
e
e
2 e
2
4
 2 2

2
 
e e
i c     e 2
2 2
 i c        e 
erfc 

2



28
PSF
-1
10
D0e
exp(-  /2-)
2 2
e
2
-2
10
Vo
igt
-2
EID
-2
-1
10
10
b
a
-3
10
Vo
ig
t
|Polazization| (arb. units)
Excitation-Induced Dephasing (EID): Неоднородное 2
-1
lay10
Ti
De 0
lay 1
1.560
T im
1.564
1.558
2
1.562
e
e
( V)
y
1.560
g
1.556
r
(
e
)
V
n
p
e
(
E
s) hoton
ton Energy
"Gaussian"
m20
e
1.558
(p Pho
s)
P
DD=D:/Vadim03/Erice03/Figures/Fig5.opj(Graph3)
29
EID, Неоднородное, Отрицательные задержки
Third order polarization decays as Gaussian with maximum, shifted to max = - /2, which is usually
rather small.
2 4
EID
Spectral evolution of the third order polarization at negative delays : Pinh
* i  2 k2  k1  r 
1
E E e
2
2
( )e
2 i c L 
    / 2 2
i c       e 2
2
e
e
e
2 2
( , )  
iN m 

2 e
 i c        e 
erfc 

2



Spectral shape of FWM signal at positive and negative
delays are identical and is completely independent on delay
.
gy, 
/
0.0
-0.4
x
0.5
Decay rates at positive and negative delays are different
due to doubled decay rate of exponential decays. But
overall decay at negative delays is also Gaussian with
“quadratic decay rate”  and maximum at positive delay
max =+2/2.
 (3)(
1.0
-0.2
-0.2
Dela
0.0
0.2
0.2
0.4
y 
(rel.
0.6
u n it
s)
0.4
E ner
0.0
)
1.5
30
Pump-Probe: Отрицательные задержки


 ( ,  0)  Im  ie[  i ( x  )  x ]t dt  
 

 cos[( x   ) ]  ( x   ) sin[( x   ) ]
e  x | | x
( x   ) 2   x2
(3)
pb
Дифференциальное пропускание -δαpb при
отрицательных задержках спадает с
коэффициентом γx. Поляризация, созданная
Probe-импульсом (который первым возбуждает
образец при τ < 0) спадает с γx за время |τ| до
встречи с Pump-импульсом.
Когерентные осцилляции δαpb возникают из-за
рассеяния Pump-импульса в направлении Probeлуча k2 на решетке, созданной обоими
импульсами.
0
y
Dela
Период осцилляций обратно пропорционален |τ|
и превращается в (неосциллирующее)
просветление при |τ|  0.
t
Pho

y
g
r
ne
0
E
n
31
o