Некоторые приемы решения задания С6 ЕГЭ (2011)

Некоторые приемы
решения задания С6
ЕГЭ-2011
Задача С6 – относительно
сложная, поскольку требует
нестандартных путей решения.
Однако для ее решения не
нужны никакие специальные
знания, выходящие за рамки
стандарта школьного
математического образования.
Методы решения некоторых
нелинейных неопределённых
уравнений:
I. Метод разложения на множители;
II. Метод оценки;
III. Выделение целой части.
Задания для
самостоятельного
решения
I. Метод разложения на множители.
1) Найти целочисленные решения уравнения:
3х2 – 8ху – 16у2 = 19
Разложим на множители с помощью группировки либо с помощью
решения квадратного уравнения:
(3x + 4y)(x - 4y) = 19
Разложим число 19 на целочисленные множители:
1*19; 19*1; -1*(-19); -19*(-1)
Составим системы уравнений и решим их:
3х + 4у=1
3х + 4у=19
х - 4у=19
х - 4у=1
3х + 4у= -1
х - 4у= -19
3х + 4у= -19
х - 4у= -1
В итоге получаем две пары решений, которые и запишем в ответ:
(5;1) и (-5;-1).
2) Найдите два натуральных числа, разность квадратов
которых равна 45.
Составим уравнение: х2 - у2 = 45.
Разложим на множители: (х – у)(х + у) = 45.
Разложим на множители число 45, получаем:
1*45; 3*15; 5*9.
Составим системы уравнений и решим их:
х – у = 1
х – у = 3
х – у = 5
х + у = 45
х + у = 15
х + у = 9
Получим три пары чисел, которые и запишем в ответ:
(22; 23), (9;6) и (7;2).
3) Решите уравнение в целых числах:
х2 - 3ху + 2у2 = 3.
Разложим на множители: (х – у)(х – 2у) = 3.
Разложим число 3 на целочисленные множители:
1*3; 3*1; -1*(-3); -3*(-1).
Составим системы уравнений и решим их:
х – у = 1
х – у = 3
х – 2у = 3
х – 2у = 1
х – у = -1
х – у = -3
х – 2у = -3
х – 2у = -1
Получим четыре пары решений, которые и запишем в ответ:
(-1; -2), (5; 2), (1; 2) и (-5; -2).
II. Метод оценки
1) Решите в целых числах уравнение: х2 – 2ху + 2у2 = 4
Выделим полный квадрат: (х - у)2 + у2 = 4.
Оценим, получается, что -2 ≤ у ≤ 2, т.е. у = ±2, ±1, 0.
При у = -2 получаем: (х + 2)2 + 4 = 4 => х = -2.
При у = 2 получаем: (х – 2)2 + 4 = 4 => х = 2.
При у = ±1 получаем: (х ± 1)2 + 1 = 4, (х ± 1)2 = 3 –
целочисленных решений нет.
При у = 0 получаем: х2 = 4 => х = ±2.
Получаем четыре пары чисел, которые и запишем в ответ:
(-2; -2), (2; 2), (2; 0) и (-2; 0).
2) Решить в натуральных числах: (11х + 6у – 8)(6х + 8у – 1) = 100.
Оценим: (11х + 6у – 8) ≥ 9 и (6х + 8у – 1) ≥ 13.
9*13 > 100 => уравнение (11х + 6у – 8)(6х + 8у – 1) = 100
натуральных корней не имеет.
Ответ: корней нет.
3) Решить в натуральных числах: (3х + 5у – 7)(5х + 4у + 11) = 20.
Оценим: (3х + 5у - 7) ≥ 1 и (5х + 4у + 11) ≥ 20 => единственный
возможный вариант:
3х + 5у – 7 = 1
5х + 4у + 11 = 20.
Решая систему, получим: х = 1 и у = 1.
Ответ: (1; 1).
III. Выделение целой части
1) Найти целочисленные решения уравнения: 2х2у2 + у2 = 14х2 + 25.
Выразим
у2:
14 х 2  25
18
у 

7

2х 2  1
2х 2  1
2
18
должна принимать целочисленные значения,
2х 2  1
(2х2 + 1) ≥ 0, поэтому знаменатель дроби может быть равен: 1, 2, 3,
Дробь
6, 9, 18.
При (2х2 + 1) = 1, х = 0. При (2х2 + 1)=2, (2х2 + 1)=6, (2х2 + 1)=18,
х – не целое. При (2х2 + 1) = 3, х = ±1. При (2х2 + 1) =9, х = ±2.
а) х = 0, у = ±5;
б) х = ± 1, у – не целое;
в) х = 2, у = ±3;
г) х = -2, у – не целое.
Ответ: (0; 5), (0; -5), (2; 3) и (2; -3).
2) Решить в целых числах уравнение: 2х2у2 + у2 - 6х2 –
10 = 0.
2х2у2 + у2 = 6х2 + 10. Выразим у2:
2
2
6
x

10
6
x
37
7
у2 =

 3
2
2
2x  1
2x  1
2x 2  1
(2х2 + 1) может быть равно: 1, 7.
При (2х2 + 1) = 1, х = 0
При (2х2 + 1) = 7, х – не целое
При х = 0, у – не целое
Ответ: корней нет.
Задания для самост оят ельного решения:
1) х2 – ху – 2у2 = 1;
2) х2 – 3ху + 2у2 = 3;
3) 5х2 + 8ху – 4у2 = 17;
4) х2 + 2ху + у2 = 4;
5) (51 – 4х – 7у)(31х + 2у – 6) = 68;
6) (13х + 3у -2)(2х – 8у – 13) = 11;
7) х2 = у2 + 2у + 8;
8) 2х2+х2у2-3у2=7;
9) 3х2+4х2у2-8у2-12=0;
10) 12х2-4х2у2+7у2=9;
11) 8х2+х2у2-3у2=32;
12) -24х2+3х2у2+4у2=48;
13) 3х2+7х2у2=21у2+27;
14) 7х – 3ху + 6у – 5 = 0.
Ответы к
заданиям
Диофантовы
уравнения
первой степени
Общий вид диофантовых уравнений
первой степени с двумя
неизвестными:
ax+by+c=0,
где a и b – целые числа, отличные
от нуля, а с – любое целое число.
Решениями этого уравнения будут
служить целые числа.
Нетрудно показать, что если мы знаем одно конкретное
решение уравнения ax+by=c (1), то сможем найти и все
решения этого уравнения.
Допустим, что пара чисел (х0, у0) является решением данного
уравнения, т.е. ax0+by0+c=0 (2).
В уравнении ax+by=c неизвестные х и у – это произвольные
решения уравнения, а пара (х, у) охватывает всё множество
пар-решений. Нам необходимо выразить х и у через
коэффициенты a, b, c и значения x0 и y0, а также некоторый
параметр, изменяя который мы получим все решения
уравнения.
Вычтем из равенства (1) равенство (2), получим: ax+by+c-ax0-ay0c=0,a(x-x0)+b(y-y0), y-y0= a( x0  õ) . Так как a и b взаимно просты, то
b
множитель (х0-х) должен делиться на b, т.е. х=х0-bt. Отсюда
имеем: у=у0+at. Для х и у мы получили формулы: x=x0-bt (3),
y=y0+at (4), где
t – произвольное число. Остается проверить, что формулы (3) и (4)
действительно удовлетворяют равенству (1). Для этого заменим в
уравнении (1) неизвестные полученными формулами: ax+by+c=
= a(x0-bt)+b(y0+at)+c= ax0-abt+by0+abt+c= ax0+by0+c=0.
Следовательно, любые решения, найденные по формулам (3) и (4)
удовлетворяют уравнению (1).
Чтобы найти все решения уравнения ax+by+c=0, необходимо найти
какое-либо одно его решение. Зачастую такое решение можно найти
простым подбором. Если найти такое решение затруднительно, то
можно использовать такой приём: дробь
a
b
разлагаем в цепную. Затем
отбрасываем последнее звено полученной цепной дроби и
преобразовываем полученную подходящую дробь в обыкновенную
l
d
.
Эту дробь вычитаем из первоначальной ( a - l ), приводим все члены к
b
d
общему знаменателю, при этом умножение a на d и b на l только
обозначаем и получаем равенство: ad-bl=±1. Умножая все члены этого
равенства на ±с и, сравнивая полученное тождество с первоначальным
уравнением, находим одно из решений уравнения.
Цепные дроби.
Рассмотрим разложение обыкновенной дроби в цепную на некотором
примере. Разложим дробь 131 в цепную. Для этого произведём
583
последовательные деления:
1
131
=0+ 583
583
131
=0+
1
a1
;
a1= 583 =4+ 59 =4+
131
131
a2= 131 =2+ 13 =2+
59
59
a3= 59 =4+
13
7
a5= 7 =1+ 1 .
6
6
1
a3
7
=4+ 1
13
a4
a4= 13 =1+ 6 =1+
7
1
a2
1
a5
;
;
;
;
В результате получим:
131
583
=
1
0
1
4
1
2
1
4
1
1
1
1
6
Кратко эту цепную дробь можно записать так: [0; 4, 2, 4, 1, 1, 6].
При краткой записи цепной дроби на первом месте стоит целое
число (в данном случае это 0). Целое число отделено от остальных
точкой с запятой. Остальные числа - промежуточные частные от
последовательных делений.
Если мы оборвём цепную дробь на каком-то звене и отбросим все
остальные звенья, то получим новую дробь, которая называется
подходящей дробью к числу, из которого она образована. Таких
подходящих дробей можно образовать столько, сколько звеньев в
цепной дроби.
Если обозначить n-ю подходящую дробь через
Pn
Qn
, то числитель и
знаменатель этой дроби можно находить по рекуррентным формулам (при
n≥2):
Pn=Pn-1an+Pn-2;
Qn=Qn-1an+Qn-2.
Значения подходящих дробей удобно записывать в таблице (здесь для дроби
131
):
583
an
Pn
Qn
0
0
1
4
1
4
2
2
9
4
9
40
1
11
49
1
20
89
6
131
583
В первой строке этой таблицы записываются элементы данной дроби,
начиная с a0 – целого числа. Во второй строке даны числители подходящих
дробей, а в третьей строке – знаменатели подходящих дробей.
Решим уравнение 87x+32y+5=0.
Найти решение такого уравнения подбором достаточно сложно, поэтому
87
дробь
32 превратим в цепную:
87
 2
32
1
1
.
1
1
2
1
1
1
1
4
87
Или в краткой записи:
=[2; 1, 2, 1, 1, 4]. Составим таблицу
32
подходящих дробей:
Pn
Qn
2
2
1
1
3
1
2
8
3
1
11
4
1
19
7
4
87
32
Отбросим последний элемент этой цепной дроби и получим
19
подходящую дробь ( 7 ).Вычтем полученную дробь из первоначальной:
1
87 19
32 - 7 = 32 * 7 . Откуда имеем 87∙7-32∙19=1. Умножим все члены
полученного равенства на (-5):
87(-35)+32(95)+5=0.
Сравнивая полученное тождество с первоначально данным уравнением,
найдём x0=-35, y0=95. Все значения для x и y найдем по формулам:
x=-35-32t, y=95+87t.
Задания для самост оят ельного решения:
1)3х+2у=7;
2)3у=2х+8;
3)17х+34у=153;
4)х+12у=7;
5)19х+23у=874;
6)17х+31у=527;
7)12х-3у=21;
8)13х-26у-13=0.
Ответы к
заданиям
От вет ы к заданиям:
1)
2)
3)
4)
(1; 0), (-1;0);
(-1; -2), (1; 2), (-5; -2), (5; 2);
(3; -1), (3; 7), (-3; 1), (-3; -7),
любые пары решений, удовлетворяющие
равенству х+у=2 или равенству х+у= -2.
5) (2; 6);
6) корней нет;
7) (-4; 2), (4; 2), (-4; -4), (4; -4);
8) корней нет;
9) (2;0), (-2;0);
10) корней нет;
11) (-2;0), (2; 0);
12) (2; 3), (2; -3), (-2; 3), (-2; -3);
13) (-3;0), (3;0);
14) (-7; 2).
От вет ы к заданиям (диофант овы уравнения):
1) х=1-2t, y=2+3t;
2) x=2-3t, y=4-2t;
3) x=5-2t, y=2+t;
4) x= -5-12t, y=1+t;
5) x=23-23t, y=19+19t;
6) x= -31t, y= 17+17t;
7) x=2+t, y=1+4t;
8) x=5+2t, y=2+t.