Учителю в помощь. Методика решений зададаний с параметрами

Разработка заданий и
методических рекомендаций для
решения задач с параметрами при
подготовке к ЕГЭ по математике.
Выполнена учителем
математики
Сосиной Г.И.
Оглавление:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Введение
Занятие №1
Занятие №2
Занятие №3
Заключение
Источники
3
4-20
21-29
30-42
43
44
Введение:


Задания ЕГЭ по математике C-5-это задания с параметрами. Однако
эта тема не входит в программу школьного курса за исключением
классов с углублённым изучением математики. Существует мнение,
что решение задачи с параметрами не выходит за пределы программы
школьного курса математики. Имеется в виду, что если ученик или
абитуриент владеет школьной программой, то он может
самостоятельно, без специальной подготовки справится с задачей с
параметрами. На самом деле решить задачу с параметрами может
учащийся, который прошел специальную целенаправленную
подготовку. Поэтому в школьной математике этим задачам должно
уделяться внимание.
В классах с углублённым изучением математики параметрам
уделяется достаточно внимания, начиная с решения линейных
уравнений. При изучении каждой темы «углублёнки» можно найти
время для решения задач с параметрами. Чего нельзя сказать об
общеобразовательных классах и классах с гуманитарным уклоном.
Поэтому я предлагаю учителям, работающим в
неспециализированных выпускных классах перед итоговым
повторением уделить несколько часов решению задач с параметрами
Занятие №1 (2 часа)


Главное, что должен усвоить школьник это то,
что параметр – это число, хоть и неизвестное, но
фиксированное, имеющее двойственную природу.
После этих вступительных слов можно спросить у
школьников встречались ли они с параметрами.
Это линейная функция y=kx+b, где x и y –
переменные, k и b – параметры; квадратное
уравнение ax2+bx+c=0, где x - переменная a, b, c,
- параметры.
Задачи надо начинать решать с очень простых,
постепенно усложняя их.
Пример №1. Сравнить –а и 5а
Решение:
1) если а <0, то –а>0, 5a<0, значит –
а>5a
2) если а=0, то –а=0, 5а=0, значит –
а=5а
3) если а>0, то –а<0, 5a>0, значит –
а<5a.

Ответ: если a<0, то –а>5a
если а=0, то–а=5а
если а>0, то–а<5a.

Пример №2. Решить уравнение ах=2

Решение:
1) если а=0, то 0х=2, решений нет
2
2) если а≠0, то х=
a

Ответ: если а=0, то решений
нет ,если а≠0, то х= 2
a
Пример №3 Решить уравнение
(а2-9)х=а+3
Решение:
1) если а=3, то 0х=6,
решений нет
2) если а=-3, то 0х=0, х  R
a3
3) если а≠±3, то а2-9≠0, x  2

a 9
1
x
a 3
Ответ: если а=3, то
решений нет
если а=-3, то x  R

если а≠±3, то x 
1
a 3
Пример №4 Решить неравенство:
ах<7
Решение:
7
1) если a>0, то x 

a
7
a
3) если а=0, то 0  x  7
 xR
2) если а<0, то x 

7
Ответ: если а>0, то х<
a
7
x

если а<0, то
a
если а=0, то x  R
Пример №5 Решить уравнение

Решение:
xa
0
x3

xa
0
x3
 x  a  0,
 x  a,


x  3  0
 x  3.
Ответ: если а=-3, то решений нет
если а≠-3, то х=а.
Пример №6 Решить уравнение
(a  1) x  2 x  1  a  0
2
Решение:
1) если а=-1, то -2х+1+1=0; х=1

1 a
2) если а≠-1,то х=1 или x 
a 1

Ответ: если а=-1, то х=1
1 a
если а≠-1,то х=1 или x 
a 1
Пример №7 Решить уравнение
x  b ( x  4)  0

Решение:
x  b  0
x  b
 x  b, b


x  b ( x  4)  0   x  4  0,   x  4,  
 x  4, b  4.
 x  b  0
 x  b



Ответ: если b<-4, то x=-4 или x=b
если b=-4, то x=-4
если b>-4, то x=b.
Пример №8 Решить уравнение
x 2  1  a ( x  1)  0

Решение:
a( x  1)  0,
 a( x  1)  0,
 x  1  0,

2



 2

 x  1,
x  1  a ( x  1)  0
 x  1  0
a( x  1)  0
 x  1.

2
1) если а≠0, то х=1
2) если а=0, то x  R значит х=1 или х=-1

Ответ: если а≠0, то х=1
если а=0, то х=±1
Пример №9 Решить неравенство
(1  b2 ) x 2  2bx  1  0.
Решение:
1
1) a) если b=1, то 2 x  1  0; x  
2
1
2.
2) если b≠±1, то неравенство квадратное
б) если b=-1, то  2 x  1  0; x 
D
 b 2  (1  b 2 )  2b 2  1
4
1

b



D
2
2
 0  2b  1  0  
,
4
b  1

2
a)
1  b 2  0  b  (1;1)
D
1
1
 0  b  (;
)(
; )
4
2
2
2

   b  2b 2  1 

b

2
b

1
x    ;
;

2
2


1

b
1

b



 

1

b

D
2
0  
4
b  1

2
xR
D
1 1
 0  b  (
; ) xR
4
2 2
1  b  0  b  (;1)  (1; )
б)
1
1
D
учитывая, что при
b  (;
)  ( ; )  0,
2
2
то
4
  b  2b 2  1  b  2b 2  1 
x
;

2
2
1 b
1 b


Ответ: если b=1, то
если b=-1, то
если
2
 1 
x   ;  
 2 
1

x    ; 
2

b  (;1)  (1; то
)
  b  2b 2  1  b  2b 2  1 
x
;

2
2
1

b
1

b


если
1
1
b  (1; )  ( ;1) то
2
2
2

   b  2b 2  1 

b

2
b

1
x    ;
;

2
2


1

b
1

b



 

если
 1 1 
b  
;
то x  R

2 2

Рассмотренные выше задачи требовалось просто решить. В
следующих задачах будет поставлено какое-то более
«узкое», конкретное условие.
Пример №10 При каких а уравнение
имеет единственное решение?
2
ax  x  3  0

Решение:
1) если а=0, то х=3
2) если а≠0, то уравнение квадратное и оно имеет
единственное решение при D=0
D=1-12a
1
D  0  1  12a  0  a 
12

1
Ответ: при а=0 или а = 12
Пример №11 При каких а уравнение
имеет единственное решение?
(a  2) x  (4  2a) x  3  0
2
Решение:
1) если а=2, то решений нет
2) если а≠2, то уравнение имеет единственное решение при
D=0

D
 (2  a) 2  (a  2)3  a 2  7a  10
4
a  5
D
2
 0  a  7a  10  0  
4
a  2

Ответ: при а=5
Задачи для самостоятельного
домашнего решения задаются с
ответами для самоконтроля
1)
При каких а уравнение имеет решения,
найти их
a  3 5  3a
ax  3

 2
x 1 x  2 x  x  2
14  a
(x 
3a  2
при a  (;6)  (6; 2 )  ( 2 ; 18 )  (18 ; ))
3
3 7
7
2) Решить уравнение:
a)
xa
x  4x  3
2
0
(при а=1 или а=3 решений нет; при а≠1 и а≠3 х=а)
б)
x2
0
xa
(при а =-2 решений нет; при а≠-2 х=2)
3) При каких а уравнение имеет ровно три корня
x 3  x  a ( x 3  x)
(при a  (1;1) )
Занятие №2 (2 часа)
 Урок
начинается с разбора
домашнего задания. Затем учитель
предлагает решить более общую
задачу.
Пример №12 Выяснить, при каких
значениях параметра а уравнение
5(4  a) x 2  10 x  a  0 имеет:
1) два различных корня;
2) не более одного корня;
3) два корня различных знаков;
4) два положительных корня.
Решение:
1) уравнение имеет два различных корня тогда и только
тогда, когда оно квадратное и D>0.

4  a  0,
a  4,
4  a  0,
a  4,




 a  (1;4)  (4;5)
D

 2

25  5a (4  a)  0
a  (1;5)
a  4 a  5  0
 4  0
x
2
3
2) а) если а=4, то
б)
a  4,
a  4,
a  4,
 2

 a  (;1]  [5; )

D  0
a  (;1]  [5; )
a  4a  5  0
2
3) уравнение ax  bx  c  0 имеет два корня различных
c
 0 значит
знаков тогда и только тогда, когда
a
a
 0  a  (0;4)
5(4  a)
4) уравнение ax  bx  c  0 имеет два положительных
корня тогда и только тогда, когда
2
 D  0,
4  a  0,

c
  0,
a
b
 0
a
4  a  0,
 2
a  [1;5],
a  4a  5  0,
a  4,
 a


 a  [1;0)

0
,


 5(4  a)
a  (;0)  (4; ),
  10
a  4
0

 5(4  a)
Самостоятельная работа.
Вариант I

1. Для всякого а решить уравнение
x 2  (2a  1) x  2a  0
Решение: Т.к. сумма коэффициентов равна 0, то х=1 или
х=2а
Ответ: 1; 2а.
 2. При каких b уравнение имеет единственный корень?
Для каждого b найти этот корень.
3 x 2  bx  12  0
Решение: Квадратное уравнение имеет единственный
корень тогда и только тогда, когда D=0
D  b 2  144
b  12,
D  0  b  144  0  
b  12
2
1) если b=12, то x 
 12
; x  2
6
2) если b=-12, то x 
12
;x  2
6
Ответ: при b=12 x=-2
при b=-12 x=2.

3. Для каждого значения параметра решить неравенство:
( x 2  4)( x  b)  0.
Решение:
( x 2  4)( x  b)  0  ( x  2)( x  2)( x  b)  0
Решим неравенство методом интервалов, рассмотрев
функцию f(x)= ( x  2)( x  2)( x  b, )
непрерывную на R, имеющую нули 2, -2, b
Рассмотрим три случая:
1)
b  2
x  [b;2]  [2; )
2) -2<b<2
x  [2; b]  [2; )
3)
b2
x  [2;2]  [b; )
Ответ: если
если -2<b<2, то
если b  2 то
b  то
2
x  [b;2]  [2; )
x  [2; b]  [2; )
x  [2;2]  [b; )
Вариант II
Задания аналогичны заданиям варианта I.
 1. x 2  (3a  1) x  3a  0
Ответ: -1; 3а.
2. 5 x 2  bx  20  0
Ответ: при b=20 x=-2
при b=-20 x=2.

2
(
x
 1)( x  a)  0
 3.
Ответ: если a  1, то
если -1<a<1, то
если a  1, то
x  (; a]  [1;1]
x  (;1]  [a;1]
x  (; ;1]  [1; a]
Занятие №3 (2 часа)

Теперь можно приступать к решению
задач ЕГЭ с параметрами.
Пример№1.Найти все значения параметра p,
при которых уравнение 7  4 cos x  p(1  tg 2 x)
имеет хотя бы один корень.

Решение:
2

cos
x  0,

2
7  4 cos x  p (1  tg x)  
7 cos 2 x  4 cos3 x  p.
cos 2 x  0,
a  0,


cos x  a,
 1  a  1,
7a 2  4a 3  p;7 a 2  4a 3  p.


3
7a 2  4aопределённую
,
на
Рассмотрим функцию f(a)=
1;0)U(0;1] и найдём её область значений.
f(-1)=11; f(1)=3; при a  0 f (a )  0
2
f ’(a)= 14a  12a ;
[-
a  0,
 14a  12a 2  0  2a (7  6a )  0  
f ’(a)=0
a  7
6

7
 D ( f ) то экстремумов у функции нет,
Т.к. 0  D ( f );
6
следовательно E(f)=(0;11].
2
3
Чтобы уравнение 7a  4a  p, а значит и данное уравнение
имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно,
чтобы p  (0;11].
Ответ:
(0;11]
Пример №2. Найти все значения а, при которых
область определения функции
y  (( a ) 2 x 10  ( x 2 x ) 2 a 3  x 5  x log x a  (a 2 )log2 16 ) 0,5
содержит ровно одно двузначное натуральное число.

Решение:
( a ) 2 x 10  ( x 2 x ) 2 a 3  x 5  x log x a  (a 2 )log2 16  0,

 x  0,
 x  1.

D(y):
Решим первое неравенство системы:
( a ) 2 x 10  ( x 2 x ) 2 a 3  x 5 x logx a  (a 2 ) log2 16  0
a a  x a  x a  a  0;
x
5
5
3
5
x
8
a 5 (a x  a 3 )  x 5 (a x  a 3 )  0;
(a x  a 3 )( a 5  x 5 )  0;
a x  a 3  0,
 5
5

a

x
 0;

 x
3

a

a
 0,

a 5  x 5  0;

x

a

 5

a
 x
a

5


a

 a3 ,
 x5 ;
 a3 ,
 x5 ;
 a x  a 3 ,

a  x;
 x
3

a

a
,

a  x.
1) если 0<a<1, то
 x  3,

a  x;
 x  3,

a  x;
 x  a,
 x  3;

x  (0; a)  (3; ).
Решение не удовлетворяет условию задачи.
2) если а>1, то
 x  3,

a  x;
 x  3,

a  x;
3  x  a,
a  x  3;

x  (3; a ).
Чтобы решение удовлетворяло условию задачи, необходимо
и достаточно, чтобы a  (10;11].

Ответ: (10;11]
Пример №3. Найти все значения параметра а, при
каждом из которых множество решений неравенства
4a 2
a  8a 
 x( x  2a  4)
x
2
содержит какой-нибудь отрезок длиной 2,но не
содержит никакого отрезка длиной 3
Решение:

4a 2
a  8a 
 x( x  2a  4) 
x
2
4a 2
ax 2  8ax  4a 2  x 3  2a 2 x 2  4 x 2
2
2
 a  8a 
 x  2a x  4 x  0 
0
x
x
a 2 ( x  4)  2ax( x  4)  x 2 ( x  4)
( x  4)( x  a) 2

0
 0.
x
x
2
Решим неравенство методом интервалов,
рассмотрев
2
функцию f ( x)  ( x  4)( x  a) непрерывную на R\{0},
x
имеющую нули 4, а:
1) если
a0
x  (0;4-)решение содержит отрезок длиной 3, что не
удовлетворяет условию задачи.
2) если 0<a<4
x  (0; a)  (a;4)
Чтобы решение удовлетворяло условию задачи, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись условия:
a  1,

a  2;
a  2,

a  3;
т.е. a  [1;2)  (2;3]
3) если a  4
x  (0;4) - аналогично случаю 1)

Ответ: [1;2)  (2;3]
Пример №4. Найти все значения параметра p, при
которых уравнение
(2 p  3) x  ( p  3) x  1  0
2
имеет хотя бы один корень, и число различных корней
этого уравнения равно числу различных корней
уравнения
2x  1

21  p

1)
1
x3 3
Решение:
2x  1

21  p
1
x3 3
Пусть x  3 =t, t  0 тогда
2 x  1  2t 2  7
2t 2  7
1

;
21  p t  3
2t 3  6t 2  7t  21  21  p;
 2t 3  6t 2  7t  p.
Рассмотрим функцию f (t )  2t 3  6t 2  7t :
D(f)=[0; ),
f(t)=0  t (2t 2  6t  7)  0  t =0. 
E(f)=(- ;0] 
f’(t)=  6t 2  12t  7  f’(t)<0  f 
f (t )  2t 3  6t 2  7иt y=p могут
Значит графики функций
иметь только одну общую точку, т.е. уравнение
 2t  6t  7t  pа значит и уравнение
3
2
может иметь ровно один корень при
2x  1

21  p
p  0.
1
x3 3
2) Узнаем при каких p уравнение (2 p  3) x 2  ( p  3) x  1  0
имеет ровно один корень:
3
2
p


а) если 2p+3=0 (
), то x    p   3-удовлетворяет
2
2
3
условию.
2
б) если 2 p  3  0, то уравнение (2 p  3) x  ( p  3) x  1  0
имеет единственный корень при D=0.
D  ( p  3)2  4(2 p  3)  p 2  2 p  3.
D=0
 p  1,
 p  2p 3  0  
 p  3.
2
Итак, уравнение (2 p  3) x 2  ( p  3) x  1  0 имеет ровно
один корень при
 3

p   ;1;3.
 2

Но уравнению 2 x  1 
21  p
3
т.е. при p  
2
1
x3 3
удовлетворяют только p  0,
2x  1

21  p
1
x3 3
и p=-1 уравнения
и
(2 p  3) x 2  ( p  3) x  1  0 имеют равное число корней, а
именно, по одному.

Ответ: 3 ; -1
2
Заключение


Разработаны конспекты для трех занятий, которые
помогут учителю на уроках научить выпускников решать
несложные задания с параметрами, постепенно переходя к
заданиям ЕГЭ C5.
Не является секретом ,что существуют «ножницы» между
требованиями школьной программы к выпускникам и
требованиями, которые предъявляет к своему
поступающему вуз. Задания, рассмотренные в работе,
играют огромную роль в формировании логического
мышления и математической культуры у школьников.
Используемые источники:




1. Гронштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. - Задачи
с параметрами – «Илекса», «Гимназия» - МоскваХарьков,1999год.
2. Шахмейстер А.Х. – Задачи с параметрами, 1-е
издание СПб: «ЧеРо-на-Неве»,2004год.
3. Ященко И.В., Семенова А.Л. – Материалы ЕГЭ,
издательство «Экзамен» Москва,2011год.
4. Интернет сайты:
www.dvoek-net.ru
www.ege-trener.ru