Уравнения и неравенства с параметрами Линейные уравнения Уравнение вида Ах=В, где А, В – выражения, зависящие от параметров, а х- неизвестное, называется линейным уравнением с параметрами. Решить уравнение с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество всех корней заданного уравнения. Линейное уравнение исследуется по следующей схеме: 1. Если А=0, то имеем уравнение 0·х=В. Тогда, если, кроме того, В≠0, то уравнение не имеет решений, а если В=0, то уравнение имеет вид 0 ·х=0 и удовлетворяется при любом х, т. е. решением уравнения будет множество всех действительных чисел. 2. Если А≠0, то уравнение имеет единственное решение х=В/А. Замечание. Если линейное уравнение или уравнение, сводящееся в линейному, не представлено в виде Ах=В, то сначала нужно привести его к стандартному виду и только после этого проводить исследование. Если для каких – нибудь значений параметров уравнение не имеет смысла, то для этих значений параметров оно не имеет решений. Кроме этого, уравнение может не иметь решений и при других значениях параметров. Пример1. Для всех значений параметра k решить уравнение k 4 x 2k 1 Уравнение уже записано в стандартном виде, поэтому проведем его исследование по указанной выше схеме. 1. Если k+4=0, т. е. k= -4, то уравнение имеет вид 0 ·х= -7. Это равенство ни при каком х не выполняется, поэтому уравнение не имеет решений: хЄǾ. 2. Если k+4≠0, т. е. k≠-4, то обе части уравнения можно делить на k+4. Тогда х 2k 1. k 4 Ответ : если k 4, то х ; если k 4, то х 2k 1. k 4 Пример2. Для всех значений параметра а решить уравнение 3 а 1 4 x 3а 4 0 Запишем уравнение в стандартном виде 3 а 1 x 3а 4 0 4 Схема исследования. 1) 3 а 1 0 а 4 . Тогда уравнение имеет вид 0 х 0. 3 4 Это равенство верно при любом х. Следовательно, решением уравнения будет все множество действительных чисел : х R. 2) 3 а 1 0 а 4 . Тогда х 4 3а 4. 3 3 4 а 1 4 Ответ : если а 4 , то х R 3 если а 4 , то х 4. 3 Пример3. Для всех значений параметра p решить уравнение p2 1 x p3 1. 1)p2 1 0 p 1. При p 1 уравнение имеет вид 0 х 2. Следовательно, х . При p 1 уравнение имеет вид 0 х 0. Следовательно, х R. 2 p 1 p 1 p 3 2 p 1 p 1 p 2 2)p 1 0 p 1. Тогда х . p 1 p 1 p 1 p2 1 Ответ : если p 1, то х ; если p 1, то х R; 2 p 1 p если p 1, то х . p 1 Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение а 1 2а имеет положительные решения. х а а 2 Если а 2, то х . Если а 2, то уравнение равносильно системе 2а х а а 1 а 2 , 2ах 3а2 а 2, х а 0 х а. 1)Если а 0,то имеем 0 х 2 х . 2 а 2 3 а 2)Если а 0 и а 2 ,то х . 2а Найдем значения параметра а, при которых х а. Имеем : 3а2 а 2 а а2 а 20, а 1, 2а а 2. а 0 Таким образом, если а 10 ; ;2,то исходноеуравнение не имеет решения; 2 а 2 3 а если а 10 ; ;2,то оно имеет единственное решение х . 2а Это решение будет положительным, если параметр а удовлетворяет неравенству 2 3 а 1 а 3а2 а 2 0 3 0. 2а 2а Решим полученное неравенство методом интервалов : -2/3 0 1 а Из найденного множества значений параметра а надо еще исключить а=2, при котором уравнение не имеет смысла. Остальные значения параметра а, при которых уравнение не имеет решения множеству (-2/3;0)Ụ(1;+∞) не принадлежит. 2 Ответ : при а ;0 1;2 2; . 3 Пример 5. При каких значениях параметров а и b уравнение 2ab x a b 1 не имеет решений. В данном случае необходимо и достаточно, чтобы 2a b 0, b 2a, b 2a, a b 1 0 a 2b 1 0 a 1 или,что равносильно, a b / 2, a b / 2, b / 2 1 b 2. Ответ : при a 1, b 2a или a b / 2, b 2 Уравнения и неравенства с параметрами Квадратные уравнения Уравнение вида Ах2 +Вх+С=0, где А, В,С – выражения, зависящие от параметров, а хнеизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами. В множестве действительных чисел это уравнение исследуется по следующей схеме. 1. Если А=0, то имеем линейное уравнение Вх+С=0. 2. Если А≠0 и дискриминант уравнения D=В 2 -4АС<0, то уравнение не имеет действительных решений. 3. Если, А≠0 и D=0, то уравнение имеет единственное решение х=-В/2А или, как ещё говорят, совпадающие корни х1= х2 =-В/2А. 4. Если А≠0 и D>0, то уравнение имеет два различных корня х В D 12 , 2A Пример 6. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение a 1 x 2 2 2а 1 х 4а 3 0 а)имеет два различныхкорня;б )не имеет корней; в)имеет один корень. Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а 1 0 а 1. Рассмотрим дискриминант уравнения 2 D 4 2a 1 4 a 1 4a 3 4 5a 4 Согласно схеме исследования, имеем : 4 D 0, 4 5a 4 0, a , а) 5 a 1 a 1 a 1 4 D 0, a , 4 б) 5 a ; a 1 5 a 1 4 D 0, a , 4 в) 5 a . a 1 5 a 1 Ответ : если a 4 и а 1,то уравнение имеет два различных корня; 5 если a 4 ,то оно не имеет корней; 5 если a 4 ,то оно имеет один корень. 5 Пример 7. При каких значениях параметра а уравнение a 6 x2 2ах 1 0 имеет единственное решение. По условию задачи уравнение необязательно является квадратным, поэтому надо рассмотреть два случая. 1)а 6 0 а 6. При этом получаем линейное уравнение 12х 1 0, которое имеет единственное решение. Это решение по условию задачи необязательно находить. 2)а 6. В этом случае уравнение является квадратным и имеет единственное решение, если дискриминант D 4a2 4(a 6) 4(a2 a 6) равен нулю, т.е. а2 а 6 0 а 3, а 2 1 2 Ответ : приа 6;2;3 Пример 8. При каких значениях параметра а уравнение a2 а 2 x2 (а 1)х 1 0 не имеет решений. Снова надо рассмотреть два случая. 1)а2 а 2 0 а 2, а 1 . 1 2 При а 2 получаем линейное уравнение 3х 1 0, которое имеет решение. При а 1 уравнение имеет вид 0 х 2 0 х 1 0, поэтому не имеет решений. 2)а2 а 2 0 а 2, а 1. В данном случае уравнение 1 2 является квадратным и оно не имеет решений , если дискриминант D (a 1)2 4(a2 а 2) 3a2 6a 9 3 а 3 а 1 отрицателен, т. е. D 0 3 а 3 а 1 0 а 3 а 1 0 а ;1 3; . Теперь с учетом первого случая получаем Ответ : при а ;1 3; . Пример 9. При каких значениях параметров а и b уравнение a2 а 6 x 2 (а b 4)х a2 4a 3 0 имеет не менее трех различных решений. Если квадратное или линейное уравнение имеет более двух различных решений, то оно обязательно имеет бесконечное множество решений, совпадающее с R. Это возможно тогда и только тогда, когда уравнение имеет вид 0 х2 0 х 0 0,т.е. а2 а 6 0 a 2,a 3 2 1 a 3 a b 4 0 b a 4 2 a 1,a 3 b 1 4 а 4а 3 0 3 Ответ : при а 3, b 1. Пример 10. Для всех значений параметра а решить уравнение а 1 x2 2ах a 2 0 1)а 1 0 а 1. Уравнение имеет вид 2х 3 0 х 3 2 2)а 1. Найдем дискриминант уравнения D 4а2 4а 1а 2 4а 8. В зависимости от значения D возможны случаи. D 0 4a 80 a 2, а) a 2. Уравнение не имеет решений , т.е. х . a 1 a 1 a 1 D 0 4a 8 0 б) a 2. Тогда х а 2 2. а 1 21 a 1 a 1 D 0 4a 8 0 a 2, в) Уравнение имеет два различных корня х 2а 4а 8 а 2а . 12 , 2(а 1) а 1 a 1 a 1 a 1 Ответ : если а 1, то х 2; 3 если а 2, то х 2; если а 2, то х ; если а 2 и а 1, то х1,2 а 2а . а 1 Уравнения и неравенства с параметрами Квадратные уравнения. Теорема Виета. При решении многих задач, связанных с квадратными уравнениями, содержащими параметры, используются следующие теоремы. Теорема Виета. Если х х корни квадратного уравнения Ах 2 Вх С 0, А 0,то 1, 2 В х х , 1 2 А С. х х А 1 2 Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена Ах 2 Вх С были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий : D B2 4AC 0, x x C 0 1 2 A При этом оба корня будут положительными, если x x В 0, 1 2 A и оба отрицательны, если x x В 0. 1 2 A При решении многих задач, связанных с квадратными уравнениями, содержащими параметры, используются следующие теоремы. Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена Ах 2 Вх С были действительны и оба неотрицателы или оба неположительны, необходимо и достаточно выполнение следующих условий : D B2 4AC 0, x x C 0 1 2 A При этом оба корня будут неотрицательны, если x x В 0, 1 2 A и оба корня будут неположительны, если x x В 0. 1 2 A Теорема 3. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена Ах 2 Вх С были действительны и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнение условия : x x C 0 1 2 A При этом условие D B2 4AC 0 выполняется автоматически. Пример 11. При каких значениях параметра а уравнение x 2 2(а 1)х a2 0 имеет действительные корни сумма квадратов которых равна 4. По условию уравнение должно иметь действительные корни,т.е. D 0, и х 2 х 2 4, где х , х корни уравнения. 1 2 1 2 Значит, D 0 2 D 4 а 1 4а2 8а 4, 2 2 х1 х2 4 2 х 2 х 2 (х х )2 2х х 4 а 1 2а2 2а2 8а 4 1 2 1 2 12 так как по теореме Виета х х 2 а 1 х х а2 1 2 12 1 a 1 8а 40 2 a 2 2 а 4 2а 8а 4 4 2а2 8а 0 а 0 отсюда а 0. Ответ : при а 0 Пример 12. При каких значениях параметра m уравнение x 2 mх 20m 0 имеет действительные корни отличающиеся друг от друга на 9. По условию D 0 и х х 9 или х 2 х 9,т.е. х1 х2 9 х1 х2 81 1 2 1 2 х1 х2 4 х1х2 81 Так как D m2 80m, а по формулам Виета х1 х2 m, х1х2 20m, то имеем m2 80m 0 m2 80m 81 m 81 m 1 1 2 m2 80m 81 Ответ : при m 811 ; . Уравнения и неравенства с параметрами Квадратные неравенства. Неравенства видов Ах2 +Вх+С>0 (≥0), Ах2 +Вх+С<0 (≤0) где А, В,С – выражения, зависящие от параметров, A≠0? а х- неизвестное, называются квадратным неравенствами с параметрами. Неравенство Ах2 +Вх+С>0 исследуется по следующей схеме. 1. Если А=0, то имеем линейное неравенство Вх+С>0. 2. Если А≠0 и дискриминант D>0, то разлагая квадратный трехчлен на множители, получим неравенство А(х-х1)(х-х2)>0, где х1,х2-корни уравнения Ах2 +Вх+С=0. 3. Если, А≠0 и D=0, то имеем неравенство А(х-х1)2>0. 4. Если А≠0 и D<0, то при A>0решением будет все множество действительных чисел R; при А<0 неравенство решений не имеет. Остальные неравенства исследуются аналогично Часто при решении квадратных неравенств используются следующие свойства квадратного трехчлена Ах2 +Вх+С: 1. Если A>0 и D<0, то Ах2 +Вх+С>0 при всех х; 2. Если A<0 и D<0, то Ах2 +Вх+С<0 при всех х. При решении многих задач, связанных с квадратичной функцией f(x)= Ах2 +Вх+С, А≠0, в частности, при решении квадратных неравенств удобно использовать схематическое изображение графика функции y=f(x)параболы, которая в зависимости от коэффициента А и дискриминанта D имеет следующие расположения относительно оси абсцисс. A>0 D<0 A>0 D=0 A>0 D>0 x1 xв A<0 D<0 A<0 D=0 xв A<0 D>0 x1 x2 x2 Пример 13. Для всех значений параметра p неравенство x2 2(p 1)х p2 0. Найдем дискриминант D 4(p 1)2 4p2 8p 4 4 2p 1. Возможны случаи. 1)D 0,то есть 2p 1 0 p 1. Так как коэффициент при х 2, равный 1, 2 положителен,то неравенство выполняется при всех х,т. е. х R. 2)D 0 2p 1 0 p 1. 2 2 При этом неравенство имеет вид х 2 х 1 0 x 1 0 x ; 1 1; . 4 2 2 2 3)D 0 2p 1 0 p 1.Тогда квадратный трехчлен, расположенный в левой части 2 неравенства, имеет корни х p 1 2p 1, х p 1 2p 1, 1 2 причем х x . Разлагая этот трехчлен на множители, имеем : 1 2 х х х х 0, откуда методом интервалов находим : 1 2 x1 х ; х1 х2 ; x2 Заметим, что случаи 2 и 3 можно объединить. Ответ: если p 1 ,то x R; 2 если p 1 ,то х ; p 1 2 p 1 2 p 1 2 p 1; .