Модели элементов электромеханических систем

Модели элементов
электромеханических систем
Математическая модель сложной ЭМС
состоит
из
моделей
отдельных
элементов
системы,
которые
в
зависимости от выполняемых функций
и
схемного
решения
описывают
дифференциальными уравнениями и
системами
дифференциальных
уравнений разного порядка.
Поэтому условно можно рассматривать
модели элементов ЭМС в зависимости
от
порядка
дифференциального
уравнения или системы уравнений.
Модели, описываемые
дифференциальными уравнениями
первого порядка
Моделями, описываемыми ДУ 1-го
порядка, например, могут являться RLи RC-цепи, используемые в качестве
фильтров низких и высоких частот.
Рассмотрим описание процессов в RL и
RC цепях при подключении их к
источнику
напряжения
постоянного
тока.
Схема коммутации RL-цепи
Процессы, протекающие в цепи при
замыкании ключа, описываются
дифференциальным уравнением 1
порядка, составленным по второму
закону Кирхгофа:
di
E 1(t )  i (t )  R  L .
dt
Схема коммутации RС-цепи
Дифференциальное
уравнение,
описывающее процессы в данной цепи
после
замыкания
ключа,
имеет
следующий вид:
E 1(t )  iC (t )  R  U C (t ).
Учитывая, что
dU C (t )
iC  C
dt
это уравнение можно записать
dU C (t )
E (t ) 1(t )  RC 
 U C (t ).
dt
Как видно, переменными состояния в
RL- и RC-цепях являются ток через
катушку индуктивности и напряжение на
конденсаторе соответственно.
Решение дифференциальных
уравнений
Анализ
процессов
в
моделях,
описываемых
дифференциальными
уравнениями
первого
порядка,
осуществляют обычно решая
эти
уравнения классическим способом.
Решение
этих
уравнений
имеет
следующий вид:
Для RL – цепи.
i(t )  iч (t )  iо (t ),
где iч - частное решение неоднородного
дифференциального уравнения;
io(t) – общее решение однородного
уравнения.
Для RC - цепи
U C (t )  U Cчаст  U Co (t )
где
UCчастчастное
решение
неоднородного
дифференциального
уравнения;
UCoобщее
решение
однородного
уравнения.
Частные решения
Для нахождения частных решений
неоднородных ДУ подставим в
исходные уравнения значение
Тогда получим:
t = ∞
E=iч·R или iч=E/R - для цепи RL
UCчаст= E - для цепи RC
.
Решение однородных уравнений
di0
L
 R  i0  0
dt
dU Co (t )
RC 
 U Co (t )  0.
dt
имеют следующий вид:
 t
io (t )  N i  e ,
 t
U Co (t )  N u  e .
Общее решение неоднородных
уравнений
E
i t
i (t )   N i  e ;
R
u t
U C (t )  E  N u  e .
Определение постоянных
интегрирования
при t=0 i(0)=0; UC(0)=0, тогда можно
записать следующие уравнения:
E
0
 Ni ;
R
0  E  Nu .
и
определить
постоянные
интегрирования, а именно:
E
Ni   ;
R
N u   E.
Определение корней
характеристических уравнений
Для RL – цепи характеристическое
уравнение имеет вид:
R  L  0;
R
 
,
L
а для RС - цепи
RC    1  0;
1

.
RC
В итоге временные зависимости тока в
RL – цепи и напряжения в RC - цепи при
коммутации их на источник постоянного
напряжения можно представить в виде:
E E
i (t )    e
R R
R
 t
L
U C (t )  E  E  e
;
1

t
RC
.
Изменения тока в RL- цепи
Изменение напряжения в RC цепи
Модели, описываемые
дифференциальными уравнениями
второго порядка
В качестве моделей, описываемых ДУ
2-го порядка, можно рассмотреть
нагруженные RLC-фильтры низких и
высоких частот, а также двигатель
постоянного
тока
независимого
возбуждения, являющегося основным
исполнительным
элементом
ЭМС
постоянного тока.
Фильтр низких частот
Ненагруженный RLC-фильтр представляет
собой
последовательно
соединенные
резистор,
катушку
индуктивности
и
конденсатор.
В зависимости от того, с какого элемента
(индуктивности или емкости) будет
сниматься
напряжение
в
качестве
выходного, фильтр может пропускать
высокие или низкие частоты.
Схема коммутации фильтра
низких частот (ФНЧ)
Вывод уравнений
Составим по второму закону Кирхгофа
дифференциальное
уравнение,
описывающее динамику процессов в
ФНЧ 2-го порядка:
diL (t )
E 1(t )  U C (t )  L 
 iL (t )  R.
dt
Дифференциальное уравнение для цепи
по первому закону Кирхгофа
iC (t )  iL (t )  i (t ).
Учитывая, что
dU C (t )
E 1(t )  U C (t )
iC (t )  C
, i (t ) 
,
dt
R
данная СДУ запишется в виде:
diL (t )

E

1(
t
)

U
(
t
)

L


i
(
t
)

R
C
L

dt
 dU (t )
U
(
t
)
E

1(
t
)
C
C
C
 iL (t ) 

dt
R
R

Приведение системы уравнений
Запишем СДУ в нормальной форме Коши:
 diL (t ) 1


E

1(
t
)

i
(
t
)

R

U
(
t
)


L
C
 dt
L




dU
(
t
)
U
(
t
)
1
E

1(
t
)
C
C
C
  iL (t ) 



dt
C 
R
R 
В матричном виде:
1 
 R
 E 


d  iL (t )   L
L   iL (t )   L 

 1(t ).

U (t )    1

1  U C (t )   E 
dt  C  

 C

 R C 
R

C



  
Здесь
 R
 L
A
 1
 C

1 


L

1 


R  C 
-матрица
коэффициентов
переменными состояния;
перед
 E 
 L 

B
 E 
 R C 
  
- вектор свободных членов СДУ;
 iL (t ) 
x(t )  

U C (t ) 
- вектор переменных состояния.
Двигатель постоянного тока
независимого возбуждения
Одним
из
основных
электромеханических
преобразователей
энергии
в
регулируемом электрическом приводе
является двигатель постоянного тока
независимого возбуждения (ДПТ НВ).
Рассмотрим схему подключения ДПТ НВ
к источнику постоянного напряжения U.
Схема двигателя
Схема замещения
Для двигателя с магнитоэлектрическом
возбуждением схема замещения
якорной цепи имеет следующий вид:
При
составлении
математической
модели ДПТ НВ примем следующие
допущения.
Считаем, что реакция якоря полностью
скомпенсирована (в реальном ДПТ
всегда есть компенсационная обмотка
либо добавочные полюса), поток
возбуждения постоянен, а активное
сопротивление
якорной
цепи
не
изменяется во время работы двигателя.
Уравнения электрического
равновесия
Запишем дифференциальное уравнение
электрического равновесия якорной
цепи двигателя
di (t )
U 1(t )  Rдв  i (t )  Lдв 
 Eдв (t ),
dt
где
Rдв– суммарное активное сопротивление
последовательно включенных обмотки якоря
и добавочных полюсов в горячем состоянии
(при t = 750C );
Lдв – суммарная индуктивность якорной цепи;
Eдв (t) – противо-ЭДС двигателя;
U ⋅1(t) – напряжение, приложенное к якорной
цепи;
i(t) – ток в цепи обмотки якоря.
Уравнение механического
равновесия
Уравнение механического равновесия
двигателя имеет вид:
dω(t )
M (t )  M C 1(t )  J дв 
,
dt
где M(t)-электромагнитный момент ДПТ НВ;
MC ⋅1(t) – момент сопротивления нагрузки;
Jдв – суммарный момент инерции, приведенный
к валу двигателя;
ω(t) – скорость двигателя.
Учитывая, что
Eдв (t )  c  ω(t ) и M (t )  c  i (t )
c - коэффициент ЭДС и момента ДПТ
НВ),
запишем
систему
дифференциальных уравнений:
di (t )

U

1(
t
)

R

i
(
t
)

L


E
(
t
)
дв
дв
дв

dt

d
ω(
t
)

M (t )  M C 1(t )  J дв 

dt
Приведем
систему
уравнений
нормальной форме Коши:
к
1
 di (t )

U

1(
t
)

R

i
(
t
)

c

ω(
t
)


дв


 dt
Lдв


dω(t )
1


  c  i (t )  M C 1(t ) 

dt
J дв
Запишем СДУ в матричном виде:
 Rдв
c
 U
 
 L

L   i (t )   Lдв
d  i(t )   дв






 ω(t )   M C
dt ω(t )   c
0 


 J дв

 J дв
Здесь
 Rдв
c
 
 L
L
дв

A
 c

0 

 J дв



 1(t )



матрица
коэффициентов
переменными состояния;
 U 
 L

дв


B
 MC 


 J дв 
- вектор свободных членов СДУ;
 i (t ) 
x(t )  

ω(t ) 
- вектор переменных состояния
перед
Из полученной математической модели
ДПТ НВ видно, что переменными
состояния в нем являются скорость
вала и ток в якорной цепи.
Эти переменные состояния
соответственно связаны с массой вала
и индуктивностью обмотки якоря, то
есть с механической и электрической
инерционностями двигателя.
Модель широтно-импульсного
преобразователя
Для регулирования скорости электроприводов
постоянного тока очень часто используются
широтно-импульсные
преобразователи
(ШИП).
К
основным
достоинствам
данного
преобразователя
относятся
хорошие
динамические
свойства
и
линейность
регулировочных
характеристик.
Принципиальная схема реверсивного ШИП
имеет следующий вид:
Принципиальная схема
Для приближенного анализа динамики
ШИП дискретную модель
преобразователя можно заменить на
непрерывную модель – апериодическое
звено 1-го порядка.
В этом случае динамическое состояние
ШИП можно описать ДУ 1-го порядка:
dU d (t )
T 
 U d (t )  k U y (t ),
dt
где
U (t) – входное напряжение управления ШИП;
Ud (t) – выходное напряжение ШИП;
TПР – постоянная времени ШИП;
k ПР – коэффициент передачи ШИП.
Данное ДУ записано в стандартном для теории
автоматического управления виде, то есть в
левой части записаны функция выходной координаты и ее производная, а в правой части
– все остальные слагаемые.
При этом коэффициент перед выходной
координатой равен единице. В таком
случае коэффициент перед первой
производной выходной координаты T ПР
имеет размерность времени и является
постоянной времени ШИП, а число
перед входной координатой k ПР
представляет
собой
коэффициент
передачи ШИП.
Постоянная времени
Постоянную времени ШИП можно
определить как половину периода
частоты коммутации силовых ключей
ШИП:
T
1

,
2  f ком
где
f ком
- частота коммутации силовых ключей
преобразователя.
Коэффициент
передачи
ШИП
можно
рассчитать как отношение
предельного
выходного
напряжения
к
предельному
входному:
k
c 1,5  ω

,
U yмакс
где
U У.МАКС – максимальное напряжение
управления на входе ШИП;
ω H – номинальная скорость ДПТ НВ;
c – коэффициент ЭДС и момента ДПТ
НВ.
Математические модели
регуляторов замкнутых ЭМС
В современных системах управления, в
частности и в ЭМС, получили широкое
распространение регуляторы, выполненные
на операционных усилителях. В зависимости
от математического закона, по которому
ведёт себя выходное напряжение регулятора
при подаче на вход прямоугольного импульса,
регуляторы
подразделяют
на
пропорциональные,
интегральные
и
дифференциальные. В ЭМС применяются
следующие
виды
регуляторов:
пропорциональный,
пропорциональноинтегральный,
пропорциональноинтегрально-дифференциальный.
Математическая модели
П-регулятора.
Схема пропорционального регулятора (Прегулятора),
суммирующего
и
усиливающего два входных напряжения
UВХ1 и UВХ2, имеет следующий вид:
Уравнение П-регулятора.
Выходное
напряжение
определим как
П
-
регулятора
R3
R3
U вых (t )  U вх1 (t ) 
 U вх2 (t ) 
.
R1
R2
где kрег=R3/R1- коэффициент передачи
П – регулятора.
Применив к этому уравнению прямое
преобразование
Лапласа
с
нулевыми
начальными условиями получим
U вых ( p)  (U вх1 ( p)  U вх2 ( p))  kрег
Передаточная функция W(р)
П-регулятора как элемента ЭМС
определяется
как
отношение
изображения выходного напряжения
UВЫХ (р) к изображению входного
U вых ( p)
R3
Wрег ( p ) 
 kрег 
.
U вх1 ( p )  U вх2 ( p )
R1
При включении регулятора в ЭМС первое
входное напряжение соответствует
напряжению задания UВХ1(р) = UЗАД(р), а
второе входное напряжение соответствует
напряжению отрицательной обратной связи
UВХ1(р) = -UОС(р). Выходное напряжение
регулятора является входным напряжением
управления UВЫХ(р) = UУ(р) для широтноимпульсного модулятора (ШИМ),
управляющего ШИП.
П-регулятор как элемент ЭМС
Как
элемент
электромеханической
системы структурную схему
П – регулятора можно представить в
виде:
При
одинаковых
сопротивлениях
R1=R2=R3 выходное напряжение
регулятора равно сумме входных
напряжений.
Математическая модель ПИрегулятора
Схема пропорционально-интегрального
регулятора
(ПИ-регулятора),
суммирующего и усиливающего два
входных напряжения UВХ1 и UВХ2,
имеет следующий вид
Дифференциальное уравнение
ПИ-регулятора
Представим дифференциальное
уравнение, описывающее динамику ПИрегулятора, как
d
R3
R3  U вх1 (t )  U вх2 (t )
U вых (t )  (U вх1 (t )   U вх2 (t )  )  
.

dt 
R1
R2 
R1 C1
В случае равенства R1=R2 получим
d
R3
 U вх1 (t )  U вх2 (t )
U
(
t
)


(
U
(
t
)

U
(
t
))

вых
вх1
вх2

dt 
R1
R1 C1
Введём для ПИ-регулятора коэффициент
передачи kРЕГ = R3 / R1 и постоянную
времени TРЕГ = C1 · R1. В этом случае
дифференциальное уравнение,
описывающее динамику ПИ-регулятора,
будет выглядеть как
U вх1 (t )  U вх2 (t )
d
U вых (t )  kрег  (U вх1 (t )  U вх2 (t ))  
dt
Tрег
Применив
прямое
преобразование
Лапласа с нулевыми начальными
условиями,
получим
алгебраическое
уравнение для изображений
U вх1 ( p)  U вх2 ( p)
p  U вых ( p)  kрег  (U вх1 ( p)  U вх2 ( p))  
Tрег
на основании которого можно получить
передаточную функцию ПИ-регулятора
U вых ( p)
1
R3
1
Wрег ( p) 
 kрег 
 
.
U вх1 ( p)  U вх2 ( p)
T  p R1 C1 R1 p
Передаточная функция ПИ-регулятора
состоит из пропорциональной kРЕГ и
интегральной (TРЕГ · р)-1 частей.
Обобщенный электромеханический
преобразователь
Основным
элементом
любой
электромеханической
системы
является
электромеханический
преобразователь
энергии (электрическая машина).
Принцип
работы
любой
электрической
машины связан с двумя законами и
правилами левой и правой руки.
Это закон электромагнитной индукции и закон
Ампера.
Поэтому при разработке математических
моделей
электромеханических
преобразователей
пользуются
так
называемым
обобщенным
электромеханическим
преобразователем
энергии.
Математическое описание процессов в таком
преобразователе
позволяет
при
определенных
допущениях
получить
математическую
модель
любой
электрической машины, работающей как в
двигательном, так и в генераторном режимах.
Основные допущения
Обобщенный электромеханический
преобразователь является упрощенной
идеализированной моделью реальной
электрической машины. Описание
процессов, в котором осуществляют при
следующих основных допущениях:
• реальная нелинейная характеристика
намагничивания машины заменяется
линейной;
• магнитодвижущие силы обмоток
синусоидальны;
• магнитная цепь ее ненасыщенна и потери
мощности в ней отсутствуют;
• параметры обмоток статора и ротора
сосредоточены.
Такие допущения позволяют разработать
схемы замещения любой электрической
машины и соответственно их структурные
модели как элементов электромеханических
систем.
Обобщенный
электромеханический
преобразователя
(ОЭМП)
это
идеализированная
двухфазная
двухполюсная электрическая машина.
Где приняты следующие обозначения:
Usu,Usv,Uru,Urv
напряжения,
подводимые к обмоткам статора и
ротора,
расположенным
на
ортогональных осях
(u, v, 0),
вращающихся
в
пространстве
с
частотой k;
esu, esv, eru, erv  ЭДС вращения,
наводимые в обмотках статора и ротора
реальной машины.
Схема обобщенного
электромеханического
преобразователя
Математическое описание ОЭМП
Для упрощения математического описания
всех электрических машин удивительно
удачным и изящным оказался метод
пространственного вектора, суть которого
состоит в том, что мгновенные значения
переменных состояния (напряжения, токи,
потокосцепления) можно математически
преобразовать так, чтобы они были бы
представлены одним пространственным
вектором.
Пространственный вектор
Пространственный вектор позволил:
Снизить число уравнений равновесия
напряжений,
описывающих
электромагнитные
процессы
в
электрических машинах до четырех;
Записать эти уравнения в единой системе
координат,
вращающейся
с
произвольной скоростью ωk
Все
коэффициенты
в
уравнениях
представить постоянными величинами,
имеющими четкий физический смысл и
их можно определить по паспортным
данным
двигателя,
либо
экспериментально.
Электромагнитный момент в уравнении
равновесия
моментов
представить
векторным
произведением
пары
векторов.
Основой математического описания
процессов в ОЭМП являются уравнения
Крона,
состоящие
из
уравнений
электрического
равновесия
напряжений, уравнения механического
равновесия движения и уравнения
электромагнитного момента.
Уравнения равновесия
напряжений
Дифференциальные
уравнения
равновесия для напряжений обмоток
статора и ротора в векторной форме в
общем случае записываются в виде
d s
U s  is  R1 
 j  k  s ;
dt
d r
U r  ir  R2 
 j  k     r ,
dt
U , U , i , i , ,
где
s
r s r
s
r
- обобщенные (результирующие) вектора
напряжений, токов, потокосцеплений статора
и ротора;
R1 , R2 - активные сопротивления статора
и ротора;
к - угловая скорость вращения
координатных осей;
- угловая скорость вращения ротора
обобщенной электрической машины.


Уравнения механического
равновесия
Уравнение движения ротора или уравнение
движения подвижного элемента ЭМС имеют
следующий вид:
d
JΣ 
 M  Mc
dt
где, J Σ  J д  J n - суммарный момент инерции,
который складывается из момента инерции
двигателя и приведенного момента инерции
нагрузки на валу двигателя
MC  момент статической нагрузки на
валу двигателя;

электромагнитный
момент
электромеханического преобразователя.
Электромагнитный вращающий момент
преобразователя
определяется
скоростью изменения электромагнитной
энергии при изменении угла поворота
ротора и рассчитывается как частная
производная
M
M 
Wэ

Математическая модель ОЭМП
В общем виде уравнения, описывающие
переходные процессы в ОЭМП, в
системе координат, вращающейся с
произвольной скоростью , имеют вид:
d
U s  Rs is   s  jk  s ;
dt
d
0  Rr ir   r  j (k   ) r
dt
3
M  pn Jm( s  is );
2
d
J   M  M c
dt