19-22

Физические основы
естествознания
Василий Семёнович Бескин
Лекции 19-22
Гравитация и астрофизика
Ньютоновский предел
Из курса средней
школы мы знаем,
что
Скалярный потенциал
• Ускорение не зависит от массы
• Закон движения выглядит одинаково
• Справа налево и слева направо
• Теория Всемирного тяготения скалярна
Безусловно, правильная теория
• Предсказание существования планет
• Правильно описывает движение
спутников
• etc.
Что не так?
• Теория Всемирного тяготения не
Лоренц-инвариантна.
Преобразования Лоренца
Преобразования Лоренца
Преобразования Лоренца
Преобразования Лоренца
Лоренц-инвариантность
Два важнейших момента
• Удобство инвариантов
• Интегральная запись законов сохранения
Промежуточный результат
•
Правильная теория должна удовлетворять
некоторому набору фундаментальных свойств
(аксиом).
• Общая теория относительности на самом деле не
является единственно возможной теорией гравитации
(обобщая - теорией поля).
Возникает вопрос, можно ли определить вид теории
(т.е. вид уравнений, описывающих ее основные
законы), исходя лишь из общих принципов, т.е.
полностью отвлекаясь от наблюдений.
Повороты плоскости
Повороты плоскости
Повороты плоскости
Преобразования Лоренца
• Сохраняется интервал
• Два последовательных преобразования
Лоренца есть тоже преобразование
Лоренца (т.е. математический закон
выглядит также).
Кинетическая энергия
А можно ли:
Кинетическая энергия
А можно ли:
?
Кинетическая энергия
А можно ли:
Кинетическая энергия
А можно ли:
Пример – квадратная решетка
Пример – квадратная решетка
Важные выводы
• Общие принципы (симметрия, лоренц-инвариантность)
могут помочь ограничить теорию, но в общем случае не
определяют ее до конца.
• При расширении в теорию приходится вводить
размерные константы (масса M, скорость c), величины
которых могут быть определены только из наблюдений.
• В предельном случае (в рассмотренном выше примере при нерелятивистских скоростях v << c) теория должна
сводиться к известной.
• Одно из возможных обобщений – переход от скаляров
(чисел) к тензорам (таблицам).
Появляются тензоры
• Квадратичные формы
кинетическая энергия
метрика
• Линейные зависимости
Закон Гука
Закон Ома
Закон Ома
• Однородная среда
• Холловский ток
Инварианты матриц
• ''квадрат'' симметричной матрицы
• сумма диагональных элементов - т.н.
''след'' (по-немецки ''шпур'' Spur)
Задача № n+1
Показать, что квадрат матрицы не зависит от угла j
Метрика
Метрика
• Декартовы
• Цилиндрические
• Сферические
Метрика
• Произвольные
Метрика
• Пример – косая линейка
А как же с инвариантами?
Для ортогональных координат
(т.е. для диагональных матриц)
Инвариантные операторы
Для ортогональных координат
уравнение Масквелла
Инвариантные операторы
Для ортогональных координат
уравнение Масквелла
Метрика пространства-времени
Материя
Тензор энергии-импульса
Для записи законов
сохранения энергии
и импульса для одной
частицы необходимо
четыре величины
Материя
Тензор энергии-импульса
Для записи законов
сохранения энергии
и импульса для среды
необходимо
десять величин
Материя
Тензор энергии-импульса
Закон сохранения энергии:
Изменение энергии ( – плотность энергии)
в объеме связана с
потоком энергии
через границу этого
объема.
Материя
Закон сохранения энергии:
Изменение энергии ( –
в объеме связана с
потоком энергии
(
через границу этого
объема.
)
)
Материя
Тензор энергии-импульса
Закон сохранения импульса:
Изменение импульса
в объеме связана с
потоком импульса
через границу этого
объема.
Материя
Закон сохранения импульса:
Изменение импульса
(
в объеме связана с
потоком импульса
через границу этого
объема.
)
Материя
Тензор энергии-импульса
Материя
Тензор энергии-импульса
Ключевое соотношение
релятивистской динамики
Материя
Тензор энергии-импульса (ct, x, y, z)
Материя
Тензор энергии-импульса
ПРИМЕР: релятивистские частицы,
движущиеся вдоль оси x
Материя
Тензор энергии-импульса
ПРИМЕР: релятивистские частицы,
движущиеся со скоростью v
Материя
Тензор энергии-импульса
ЕЩЕ ПРИМЕРЫ:
• Холодная среда в покое
• Излучение
• Горячий газ
Материя
Тензор энергии-импульса (ct, x, y, z)
• Лоренц-инвариантность
Эйнштейн
• Гравитация есть проявление кривизны
пространства
• Кривизна определяется материей
• Уравнения должны выглядеть одинаково
во всех системах координат
Кривизна
И.К.Ф.Гаусс (1777-1855)
Гауссова кривизна
Кривизна
Что более
искривлено?
Кривизна
Определение
кривизны
Кривизна
Определение
кривизны
Можно ли определить кривизну
поверхности, не выходя за ее пределы?
Кривизна
НА ПЛОСКОСТИ
• Сумма углов в треугольнике равна p и не
зависит от размера треугольника.
• Отношение длины окружности к радиусу равно
2p и не зависит от размера окружности.
В ПРОИЗВОЛЬНОМ СЛУЧАЕ ЭТО НЕ ТАК
Кривизна
Геодезические
Чтобы измерять углы и длины, нужно обобщить
понятие отрезка.
Кривые, вдоль которых расстояние наименьшее.
Могут быть определены, только если введена метрика.
Кривизна
Сумма углов
Кривизна
Сумма углов
Это возможно лишь имея метрику:
Кривизна
Отношение длина окружности – радиус
ПЛОСКОСТЬ
Кривизна
Отношение длина окружности – радиус
СФЕРА
Кривизна
Отношение длина окружности – радиус
СФЕРА
Кривизна
Три важных замечания
• Кривизна k определяется второй производной.
• Физический результат не должен зависеть от выбора
системы координат.
• Мы свободны в выборе двух величин в метрическом
тензоре.
Кривизна
Гауссова кривизна (ОТВЕТ НЕ ЗАВИСИТ ОТ
ВЫБОРА КООРДИНАТ)
Кривизна
Гауссова кривизна
ПЛОСКОСТЬ
Кривизна
Гауссова кривизна
СФЕРА
Эйнштейн
• Гравитация есть проявление кривизны
пространства
• Кривизна определяется материей
<K>=<T>
• Уравнения должны выглядеть одинаково
во всех системах координат
Уравнение Эйнштейна
Наводящие соображения
• Теория Ньютона – предельный случай.
• По какому параметру?
малы скорости
мал гравитационный потенциал
Уравнение Эйнштейна
Наводящие соображения
По какому параметру?
малы скорости
мал гравитационный потенциал
П.С.Лаплас
(1749-1827)
Дж.Мичел
(1724-1793)
Уравнение Эйнштейна
Наводящие соображения
• Теория Ньютона – предельный случай.
• Скалярная, векторная или тензорная?
Уравнение Эйнштейна
Наводящие соображения
• Теория Ньютона – предельный случай.
• Скалярная, векторная или тензорная теория?
Не скалярная: для света
= 0.
Не векторная – одноименные заряды притягиваются.
ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ
ДОЛЖНА БЫТЬ ТЕНЗОРНОЙ
Уравнение Эйнштейна
Наводящие соображения
• Тензорная теория – значит, метрический тензор.
Уравнение Эйнштейна
Принцип Ферма
у
x1
x2
x
Уравнение Эйнштейна
Принцип наименьшего действия
П.Ферма (1601-1665) П.Л.Мопертюи́ (1698-1759)
Л.Эйлер (1707-1783)
Уравнение Эйнштейна
Д.Гильберт
(1862-1943)
Принцип экстремального
действия
Уравнение Эйнштейна
Принцип экстремального действия
2
Ж.Л.Лагранж
(1736-1813 )
Функция Лагранжа
Уравнение Эйнштейна
Наводящие соображения
• Гравитация есть кривизна.
Уравнение Эйнштейна
Наводящие соображения
• Гравитация есть кривизна. А где инвариантность?
трехмерный мир
четырехмерный мир
Уравнение Эйнштейна
Наводящие соображения
• Гравитация есть кривизна.
ГРАВИТАЦИЯ СВЯЗАНА С КРИВИЗНОЙ
ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО МИРА
Кривизна
Теория поля
Э.Мах
(1838-1916)
Г.Ми
(1868-1957)
М.Абрагам
(1875-1922)
Г.Норстрем
(1881-1923)
Уравнение Эйнштейна
Наводящие соображения
• Принцип эквивалентности
Экспериментальная основа – равенство
инерционной и гравитационной масс (10-12)
Уравнение Эйнштейна
Наводящие соображения
• Принцип эквивалентности
Гравитацию нельзя ввести как поле
(исчезает в свободно падающей системе
координат)
РАВНОПРАВИЕ ИНЕРЦИОННЫХ И НЕИНЕРЦИОННЫХ
КООРДИНАТ
Уравнение Эйнштейна
Наводящие соображения
<K>=<T>
• Предельный переход
a
Уравнение Эйнштейна
Наводящие соображения
<K>=<T>
• Предельный переход
НЕУДАЧА
Уравнение Эйнштейна
Наводящие соображения
<K>=<T>
• При ковариантном дифференцировании
константа
есть
НЕУДАЧА
Кривизна
Дифференциальная геометрия
Г.Ф.Риман Н.И.Лобачевский
(1826-1866)
(1792-1856)
Э.Б.Кристоффель
(1829-1900)
Г.Риччи
(1853-1925)
Уравнение Эйнштейна
М.Гросман
В дифференциальной
геометрии есть и другие
тензоры.
ЯЗЫКОМ ОТО ДОЛЖНА БЫТЬ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Уравнение Эйнштейна
М.Гросман
Тензор Римана <<R >>
Уравнение Эйнштейна
Тензор Римана
Двумерие – 1 параметр
Трехмерие – 3 параметра
Четырехмерие – 14 параметров
Тензор Риччи
<R > = Sp <<R >>
Скалярная кривизна
Уравнение Эйнштейна
Тензор Римана
Уравнение Эйнштейна
Уравнение Эйнштейна
Уравнение Эйнштейна
Уравнение Эйнштейна
Предельный переход
Уравнение Эйнштейна
Д.Гильберт
(1862-1943)
А.Эйнштейн
(1879-1955)
1915
29.06 -07.07 – Эйнштейн в Геттингене
4.11 (11.11) – Эйнштейн “К ОТО”
18.11 – Эйнштейн (перигелий)
20.11 – Доклад Гильберта (Действие)
25.11 (2.12) – Эйнштейн “Уравнения..”
26.11 Эйнштейн (письмо Цангеру)
06.12 Гильберт (корректура)
10.12 Эйнштейн (письмо Гильберту)
Уравнение Эйнштейна
Д.Гильберт
(1862-1943)
Действие для
гравитационного поля
S = S m + Sg
Уравнение Эйнштейна
Несколько простых вопросов
• Сколько уравнений, сколько неизвестных?
• Что описывает это уравнение?
• Есть ли свобода?
Уравнение Эйнштейна
Сколько уравнений, сколько неизвестных?
10 уравнений на 10 неизвестных
?
Уравнение Эйнштейна
Сколько уравнений, сколько неизвестных?
10 уравнений на 10 неизвестных
?
НЕВЕРНО!
Свобода в выборе координат – четыре лишних.
Уравнение Эйнштейна
Что описывает это уравнение?
И ЭВОЛЮЦИЮ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ,
И ДИНАМИКУ МАТЕРИИ
Уравнение Эйнштейна
Есть ли свобода?
+
ЕСТЬ!
Бескрайние возможности
КОСМОЛОГИЯ
Однородная изотропная Вселенная
Метрика Фридмана-Робертсона-Уокера
Бескрайние возможности
КОСМОЛОГИЯ
Уравнения Фридмана
А.А.Фридман
(1888-1922)
Бескрайние возможности
КОСМОЛОГИЯ
Уравнения Фридмана
А.Эйнштейн
Бескрайние возможности
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
Бескрайние возможности
ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Метрика Шварцшильда
К.Шварцшильд
(1873-1916)
М. Шварцшильд
(1912-1997)
Проверки ОТО
2
Проверки ОТО
•
•
•
•
•
•
•
Гравитационное красное смещение
Движение перигелия
Отклонение света
Задержка Шапиро
Эффекты ОТО в двойных системах
Линзирование
Микролинзирование
Проверки ОТО
Гравитационное красное смещение
Р.Паунд, Дж.Ребка
(Принстон, 1960)
Проверки ОТО
Гравитационное красное смещение
Проверки ОТО
Движение перигелия
Проверки ОТО
Отклонение света
И.Г.Зольднер
(1776-1833)
Проверки ОТО
Отклонение света
А.С.Эддингтон
(1884-1944)
1918
Проверки ОТО
Задержка Шапиро
Проверки ОТО
Эффекты ОТО в двойных системах
ДВИЖЕНИЕ ПЕРИАСТРА
КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ
Проверки ОТО
Эффекты ОТО в двойных системах
ЗАДЕРЖКА ШАПИРО
ИЗЛУЧЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН
Проверки ОТО
Эффекты ОТО в двойных системах
ИЗЛУЧЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН
Р. Халс
Дж.Тейлор
Проверки ОТО
Эффекты
ОТО в
двойных
системах
Проверки ОТО
Линзирование
О.Д.Хвольсон
(1852-1944)
Проверки ОТО
Линзирование
Проверки ОТО
Линзирование
Проверки ОТО
Линзирование
Проверки ОТО
Микролинзирование
А.В.Бялко
Б.Пачиньский
(1940-2007)
Проверки ОТО
Микролинзирование