2.4. Получение моделей систем на основе уравнений Гамильтона

Раздел 2 Получение моделей систем на основе
уравнения Ньютона
модель механической системы может быть представлена с
помощью уравнения (второго закона Ньютона):
mi
d 2ri
dt 2
Fi  Fi (r , r, t )
 Fi , i  1, 2, , N ,
ri
i
x  точки,
x
где
– радиус-вектор
-й материальной
проведённый из начала выбранной
, , , ,.
системы координат;
mi – её масса;
– результирующая всех сил, приложенных к -й точке. Величины
i
считаются заданными
F
1.
x,   x  a
2. x  x .
,
y  y  b
y  y ,
,
z  z  c
,
z  z ,
t  t
t , t  h ,
3. x  xcos   ysin  , y   xsin   ycos , z  z , t  t ,
4. x  x  v x t ,
y  y  v y t , z  z  v z t ,
t  t ,
2.2 Получение моделей систем на основе
уравнений Лагранжа
(формализм Лагранжа)
mx  F ( x)  cx
движение
F
c
(2.1)
m
x
Где: F(x) – сила со стороны пружины
с коэффициентом жёсткости (в общем случае );
m – масса тела.
1 2 1
2 1 2 2
T  mv  m(l)  ml q
2
2
2
 l
h

m
П  mgh  mg(l  l cos)  mgl(1  cosq)
1 2

L  T  П  ml lq  g  gcosq 
2

2 
ml q  ml gsinq  0
Принцип Гамильтона
t
tк
ck
S   Lq , q  dt


c0
q1
t0
q2
0
Математически принцип Гамильтона выражается через
вариацию функционала : S  0
tк
tк
tк
t0
t0
t0
  (T  П )dt    L dt   L dt  0
Протекающий ток задаётся выражением:
Lк
Cк
i  q0 n s v
i
где q 0 – величина элементарного заряда,
– величина объёмной концентрации зарядов-носителей тока
n
1
T  T (q )  Lк q 2
2
П  П (q) 
1 2
q
2Cк
2.3 Модели сил механических систем
2.3.1. Систематизация обобщённых сил
Кинетическая энергия:
потенциальная сила:
2.3.2. Модели сил трения
1 n n
1 n
T   aij qi q j   aij qi q j
2 i 1 j 1
2 i , j 1
P(q)  grad П
M тр
M тр
0
x
M тр
x
0
0
x
M тр  kx  c1sign x  c2 ( x ) 2 sign x
M тр
M тр
0
M тр
0
M тр
0
x
0
 M тр
c
M тр
0
M тр
c
0
x
0
 M тр
0
x
 M 0тр
2.4. Получение моделей систем на основе уравнений
Гамильтона (формализм Гамильтона)
Кинетическая энергия для стационарной системы:
Tq
Tq 
1  Tq

Tq   q1
 q 2
   q n
2  q1
q 2
q n 
Систему уравнений (2.26) и (2.27) называют уравнениями Гамильтона
T p
dpi

 Qi
dt
qi
dqi T p

, i  1, 2, , n
dt
pi
(2.26)
(2.27)
Для консервативной системы гамильтониан Н не зависит от времени:
n  H dp
dH
i  H dqi 
  
dt i 1 pi dt qi dt 
т.е.
 dH

 0  H  const

 dt

2.5. Принцип динамического сжатия-расширения
фазового пространства
Поведение любой динамической (не только механической) системы подчиняется принципу сжатиярасширения фазового пространства.
 p i q i 
  0

qi 
i 1 pi
n
 
2n v
2n F  v 
k 

 k 0
k 1 vk
k 1 vk
Данное соотношение означает, что дивергенция векторного поля скоростей равна
нулю, т. е.
div Fv   0
дивергенция
F(v)
векторного поля в точке
v  v1 v2  v N т
Fi ( v)
i 1 vi
N
div F( v)  


Изменение фазового объёма в системе

а – консервативной

б – диссипативной
Дивергенция вектора фазовой скорости системы связана со следом
матрицы Якоби (Jacoby):
J
Fv  Fi v 

,
v
v j
i, j  1, N
,тогда
div v  div F( v)  Tr J
Динамические системы с изменяющимся во времени запасом энергии относятся
к неконсервативным.
Системы, в которых энергия уменьшается во времени из-за трения или
рассеяния, называются диссипативными.
Системы, энергия которых может нарастать во времени, принято называть
системами с отрицательной диссипацией.
Признак (критерий) диссипативных систем:
div v  0
Q2
x
S
V
x
Q1
Q2
Резервуар цилиндрической формы (а) и его нагрузочная характеристика (б)

Q2
Q2
Q2
x
x
S
r
x
b
Q1
r
Q1
Камера флотационной
машины со сливом через
порог
Q1
Резервуары конической (а) и сферической (б) форм
u
b1

1

S
1

2

y
F 2 g
Структурная схема моделирования регулируемых
процессов в резервуаре цилиндрической формы
u1
1

3

u2
Рис.2.14 Диаграмма распространения эпидемического
заболевания
2
u1

u2
1

Рис.2-15 Гидравлическая модель–
аналогия
2


3

u1



1
u2






2



3


Рис. 2-16 Структурная схема моделирования процесса
распространения эпидемического заболевания






x

y

k11
k12

x
k 22

y





k 21

Рис. 2.20. Структуры модели «хищник-жертва»:
а – нелинейная; б – линеаризованная
Характеристический полином линеаризованной системы
D( s)  s 2  (k11  k 22 ) s  k11k 22  k12 k 21
причём
k11  k 22    y р  x р  
k11k 22  k12 k 21  x р  y р  
y
6
5
4
3
2
Рис. 2.21. Фазовый портрет модели «хищник-жертва»
1
0
0
1
2
3
4
5
6 x