9. Поверхности. Взаимное пересечение поверхностей
реклама
УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ - УПИ НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ АВТОРЫ Понетаева Наталия Христофоровна Нестерова Тамара Владимировна Морозова Наталья Николаевна Кириллова Татьяна Ивановна Лекции 6 -7- 8- 9: Поверхности. Взаимное пересечение поверхностей • • • • • • • • СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТОРСОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ. МЕТОД СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ • ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ. МЕТОД СЕКУЩИХ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР ПОВЕРХНОСТИ ПОВЕРХНОСТЬ МНОЖЕСТВО ПОЛОЖЕНИЙ ЛИНИИ, ПЕРЕМЕЩАЮЩЕЙСЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ПО ОПРЕДЕЛЕННОМУ ЗАКОНУ ЛИНИЯ, ПЕРЕМЕЩАЮЩАЯСЯ В ПРОСТРАНСТВЕ, НАЗЫВАЕТСЯ ОБРАЗУЮЩЕЙ ЛИНИЯ, ПО КОТОРОЙ ПРОИСХОДИТ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ, НАЗЫВАЕТСЯ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ Образующая Направляющая СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ – X2 + Y2 + Z2 =1 2. ГРАФИЧЕСКИЙ: а. очерк б. каркас в. определитель ОЧЕРК ПОВЕРХНОСТИ ОЧЕРК ПОВЕРХНОСТИ СЛЕД НА ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОГИБАЮЩЕЙ ЗАДАННУЮ ПОВЕРХНОСТЬ Поверхность П1 Огибающая цилиндрическая поверхность Очерк поверхности КАРКАС ПОВЕРХНОСТИ • ТОЧЕЧНЫЙ КАРКАСмножество точек принадлежащих поверхности. В этом случае поверхность аппроксимируется поверхностью многогранника. ЛИНЕЙЧАТЫЙ КАРКАС Каркас множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит одна линия каркаса ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ СОВОКУПНОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЬ И ЗАКОНОМЕРНОСТЬ ОПИСЫВАЮЩАЯ ИХ ДВИЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ k Ф(L,k)(A) L КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОВЕРХНОСТИ Линейчатые Развертываемые Нелинейчатые Неразвертываемые Поверхности с плоскостью параллелизма С постоянной образующей С переменной образующей П Гранные Торсовые Винтовые поверхности Тор Сфера Гиперболоид Параболоид Циклические Каналовые Гранные поверхности Призма - образуется при движении прямолинейной образующей по ломаной направляющей. L – образующая, m – направляющая Призма прямая, если образующие перпендикулярны основанию. Призма правильная , если в основании правильный многоугольник. L2 m1 Гранные поверхности Пирамида – образуется при движении прямолинейной образующей по ломаной направляющей. L – образующая, m - направляющая Все образующие имеют общую точку, которая называется – вершина пирамиды. Пирамида прямая, если высота перпендикулярна основанию. Пирамида правильная, если в основании правильный многоугольник L2 m2 m1 L1 ПРОСТЕЙШИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ I2 m2 m - ОБРАЗУЮЩАЯ ПОВЕРХНОСТИ I - ОСЬ ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ Все точки движутся по окружностям которые называются ПАРАЛЛЕЛИ ПОВЕРХНОСТИ Самая маленькая параллель ГОРЛО ПОВЕРХНОСТИ Самая большая параллель - I1 m1 ЭКВАТОР ПОВЕРХНОСТИ Очерк поверхности на фронтальной плоскости - ГЛАВНЫЙ МЕРИДИАН m ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ i2 L2 1. 2. i – ось вращения L – прямолинейная образующая Определитель поверхности цилиндра вращения Ф(L,i)(A) i1 L1 ПОВЕРХНОСТЬ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ i2 S L2 i1 L1 1. i – ось вращения 2. L – прямолинейная образующая 3. S – вершина конической поверхности Определитель поверхности Ф (L, I, S)(A) ПОВЕРХНОСТЬ CФЕРЫ m2 i2 э2 э1 m1 i1 I – ось вращения m – криволинейная образующая (окружность) Определитель поверхности Ф(m, i) (A) Очерковые линии сферы называются экватор э главный меридиан m 1. 2. Нелинейчатые поверхности Сфера ТОРОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ОТКРЫТЫЙ ТОР m2 R i2 r R+r 1. 2. m1 R i1 R-r i – ось вращения m – образующая (окружность) Определитель поверхности Ф(m, i) (A) r<R Тор открытый ТОРОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ЗАКРЫТЫЙ ТОР i2 m2 r R R 1. i – ось вращения m1 R+r i1 2. m – образующая (окружность) Определитель поверхности Ф(m, i) (A) r=R Тор закрытый ТОРОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ САМОПЕРЕСЕКАЮЩИЙСЯ ТОР (тор - бочка) i2 r m2 R m1 R i1 1. i – ось вращения 2. m – образующая (окружность) Определитель поверхности Ф(m, i) (A) r>R Тор самопересекающийся СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Сечение поверхности – линия пересечения поверхности и плоскости. СЕЧЕНИЕ ГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТИ • Сечение гранной поверхности – многоугольник, который строится по точкам пересечения секущей плоскости и ребер многогранника 32 Ξ 42 12 Ξ 22 11 21 31 41 СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ВРАЩЕНИЯ 1. abi – окружность aп2 12 i2 2. b^ i – эллипс 22 3. g ll i - прямоугольник L2 bп2 i1 L1 gп1 11 21 СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ВРАЩЕНИЯ сечение цилиндра 22 52 42 эллипс 12 32 521 bп2 41 31 21 51 4 11 211 411 311 1 412 312 22 3 121 bп21 2 5 1 41 31 21 СЕЧЕНИЯ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ gп2 aп2 L2 i2 1. abi – окружность S2 bп2 i1 L1 2. b^ i – эллипс 3. g – треугольник g проходит через вершину S СЕЧЕНИЯ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ 4. m – гипербола m ll I 5.h – парабола h ll L i2 hп2 S L2 mп 1 i1 L1 СЕЧЕНИЯ СФЕРЫ Сечение сферы плоскостью – окружность, которая может проецироваться как: прямая линия окружность эллипс СЕЧЕНИЯ СФЕРЫ 12 gп2 52 bп2 42 22 32 αп2 31 41 51 11 21 311 4 1 511 1 СЕЧЕНИЕ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ эллипс Rк Rк 22 αп2 1122 22 42 3232 3311 41 1 112 2121 31111 3 411 121 22 321 421 221 42 12 32 31 41 11 3 21 311 4 1 2 411 31 41 Торсовые поверхности Цилиндрическая поверхность m – направляющая m2 криволинейная l2 L – образующая прямолинейная Образующие параллельны X l1 m1 Торсовые поверхности Коническая поверхность S2 m2 m – направляющая криволинейная L – образующая l2 прямолинейная X S – вершина поверхности l1 m1 S1 Торсовая поверхность m – направляющая m2 криволинейная l2 прямолинейная X l1 m1 L – образующая L касается m Поверхности c плоскостью параллелизма Цилиндроид m – направляющая п2 l2 криволинейная n – направляющая m2 криволинейная - плоскость n2 параллелизма X L – образующая m1 прямолинейная Образующие параллельны n1 l1 п1 плоскости Поверхности c плоскостью параллелизма Коноид L2 m – направляющая n2 m2 п2 криволинейная n – направляющая прямолинейная X L – образующая прямолинейная m1 n1 L1 п1 Поверхности c плоскостью параллелизма Косая плоскость (гиперболический параболоид) m2 n2 L2 X n1 m1 L1 ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Прямой и наклонный геликоид – Частный случай поверхности коноида (прямолинейная образующая, две направляющие – прямая линия и кривая линия) Криволинейной направляющей является винтовая линия, цилиндрическая или коническая Прямолинейная направляющая – ось винтовой линии Прямой геликоид Наклонный геликоид ВЗАМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ • Линия пересечения поверхностей совокупность точек одновременно принадлежащих двум пересекающимся поверхностям • Характер линии пересечения зависит от вида поверхностей - Линия пересечения многогранников ломаная линия - Линия пересечения многогранника и поверхности вращения - сочетание плоских кривых линий (парабола, гипербола, эллипс и т.д.) - Линия пересечение двух поверхностей второго порядка пространственная кривая линия Алгоритм решения задач 1. Анализ заданных поверхностей - Определить заданные поверхности - Определить наличие проецирующей поверхности (цилиндр и призма) На плоскости проекций, к которой проецирующая поверхность перпендикулярна, проекция линии пересечения совпадает с очерком проецирующей поверхности 2. Определить характерные линии пересечения точки - точки пересечения очерков поверхностей - высшие и низшие, правые и левые точки поверхностей - наиболее удаленные и приближенные к плоскостям проекций точки - точки принадлежащие очерковым линиям поверхностей ВЫБОР СПОСОБА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ: - вспомогательные секущие плоскости - вспомогательные секущие концентрические сферы - вспомогательные секущие эксцентрические сферы Способ вспомогательных секущих плоскостей 1. Провести вспомогательную секущую плоскость частного положения. В сечении поверхностей должны получаться простые геометрические фигуры – окружности, треугольники, прямоугольники. Построить сечения заданных поверхностей вспомогательной секущей плоскостью. 3. Определить точки пересечения построенных сечений. Это искомые точки линии пересечения поверхностей. Повторение пунктов 1, 2, 3 – n раз 2. . 4. Соединить линией, полученные точки пересечения. 5. Определить видимость линии пересечения и очерковых линий заданных поверхностей. Задача. Построить линию пересечения заданных поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей 32 42 72 12 52 62 22 02 Rc 21 11 01 31 п1 41 61 71 bп1 Rc 51 п1 Построить линию пересечения заданных поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей 30 Задача. Цилиндр является фронтально проецирующей поверхностью, так как все его образующие фронтально проецирующие прямые. Линия пересечения заданных поверхностей на фронтальной плоскости совпадает с очерком цилиндра 12 Характерные точки - точки пересечения очерков точки 1 и 2 22 11 21 12 Характерные точки - низшие точки очерка цилиндра 9 и 10 12 12 22 11 22 11 21 22 92Ξ102 91 12 22 11 21 11 21 101 21 12 • Характерные точки - крайняя левая точка очерка цилиндра π2 52Ξ62 12 22 11 21 22 92Ξ102 91 12 22 11 21 11 21 101 R5 R3 bп2 Промежуточные точки -3и4 Промежуточные точки R7 -7и8 72 Ξ 82 81 71 п2 СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР • ОСНОВНОЙ ПРИНЦИП СФЕРА С ПОВЕРХНОСТЯМИ ВРАЩЕНИЯ, ОСИ КОТОРЫХ ПРОХОДЯТ ЧЕРЕЗ ЦЕНТР СФЕРЫ, ПЕРЕСЕКАЕТСЯ ПО ОКРУЖНОСТЯМ, ПЛОСКОСТИ КОТОРЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ ОСИ ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ УСЛОВИЯ НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СПОСОБА КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР 1. ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 2. ОСИ ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ 3. ПОВЕРХНОСТИ ИМЕЮТ ОБЩУЮ ПЛОСКОСТЬ СИММЕТРИИ Построить линию пересечения поверхностей Минимальная сфера вписана в большую поверхность R min 12 R min 32 А2 22 12 R min 32 А2 42 22 12 R min 32 А2 42 52 22 12 R min 32 А2 42 52 22 ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ • ЦИЛИНДРЫ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ОСЯМИ пересекаются 12 22 по образующим (2 прямые линии) 21 11 • КОНУСЫ С ОБЩЕЙ ВЕРШИНОЙ пересекаются по двум образующим (2 прямые линии) ЕСЛИ ДВЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПО ОДНОЙ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ, ТО ЕСТЬ И ВТОРАЯ ПЛОСКАЯ КРИВАЯ ПО КОТОРОЙ ОНИ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ • ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ИМЕЮЩИЕ ДВЕ ТОЧКИ КАСАНИЯ, ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПО ДВУМ КРИВЫМ 2 ПОРЯДКА, ПЛОСКОСТИ КОТОРЫХ ПРОХОДЯТ ЧЕРЕЗ ПРЯМУЮ, СОЕДИНЯЮЩУЮ ТОЧКИ КАСАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Цилиндр – диаметр 30 мм, длина 70 мм 35 Конус - касается цилиндра, высота конуса 65 12 22 О2 13Ξ23 • ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОПИСАННЫЕ ИЛИ ВПИСАННЫЕ В ДРУГУЮ ПОВЕРХНОСТЬ 2 ПОРЯДКА, ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПО ДВУМ КРИВЫМ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ПЛОСКОСТИ КОТОРЫХ ПРОХОДЯТ ЧЕРЕЗ ПРЯМУЮ, СОЕДИНЯЮЩУЮ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЛИНИЙ КАСАНИЯ Сфера диаметром 40 мм Цилиндр диаметром 40мм Длина 80 мм Конус диаметром 80мм Высота 70 мм 32 40 12 С2 О2 42 22 Построить линию пересечения поверхностей 12 22 В2 С2 O100 O100 А2 О2
