Лекция 10. Курс: “Проектирование систем: Структурный подход” Каф.”Коммуникационные сети и системы”, Факультет радиотехники и кибернетики Московский физико-технический институт (университет) Марк Ш. ЛЕВИН Институт проблем передачи информации, РАН Email: [email protected] / [email protected] ПЛАН: 1.Многокритериальное принятие решений: *функция полезности, * метод парных сравнений, *метод уровней несравнимости (эквивалентности),, *метод порогов несравнимости (ELECTRE), *метод аналитических иерархий (AHP) и др. 2.Интегрирование результатов, полученных на основе нескольких методов (или систем критериев) Сент. 24, 2004 Примеры функции полезности (свертки) Альтернативы A=(A1, … , Ai , … , An) и критерии C=(C1, … , Cj , … , Ck), Ai вектор оценок zi = ( zi1 , …, zij , … zik ) , j вес для критерия j Арифметическая Fa = kj=1 Геометрическая Fg = j zj / zjb kj=1 Квадратичная Fq = kj=1 j (zj / zjb) j (zj / zjb)2 Гармоническая Fh = 1 / ( kj=1 j (zj / zjb) ) Степенная Общий случай Fp = kj=1 j (zj / zjb)k Fo = kj=1 j (zj / zjb) где является дифференцируемой функцией, zjb является базовой оценкой Иллюстративный численный пример для многокритериального ранжирования Математика Спорт C1 C2 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 10 8 9 6 7 9 10 8 9 9 8 7 6 7 Fa Fq 18 / 1 17 / 2 18 / 1 14 / 5 14 / 5 15 / 4 16 / 3 1, 3 Fa 2 7 Подход Парето 164 / 1 145 / 2 162 / 1 100 / 4 98 / 4 117 / 3 149 / 2 1, 3 Fq 2, 7 6 6 4, 5 4, 5 1 2 1 3 3 3 1 Подход Парето 1, 3, 7 2 4, 5, 6 Подход Парето для предыдущего примеры C2 A3 лучше A2 A3 лучше A5 A1 лучше A4 A7 лучше A5 A2 лучше A4 A2 лучше A6 A3 лучше A6 A3 лучше A4 A1 лучше A5 A7 лучше A6 A2 лучше A5 A2 A3 A7 10 A6 A5 A1 A4 5 0 5 C1 10 Метод уровней «эквивалентности» (несравнимости): Исходные альтернативы Идеальное Решение C2 A3 A10 A1 Ao A6 A7 A4 A11 A15 A12 A14 A8 A2 A5 A9 A13 A16 0 C1 Метод уровней «эквивалентности» (несравнимости): Парные сравнения Идеальное Решение C2 A3 A10 A1 A6 A7 Ao A2 A4 A11 A15 A16 0 A12 A14 A8 Парные сравнения: 1.Доминирование 2.Несравнимость A5 A9 A13 C1 Метод уровней “эквивалентности” (несравнимости): уровни несравнимости C2 Идеальное Решение Ao 0 C1 Метод уровней “эквивалентности” (несравнимости): расширение уровней несравнимости C2 Идеальное Решение Ao 0 C1 Метод уровней “эквивалентности” (несравнимости): оценивание новых альтернатив C2 Идеальное Решение Ao 0 C1 Иллюстрация для арифметической функции полезности: уровни несравнимости C2 Идеальное Решение Ao 0 C1 Иллюстрация для квази-квадратичной функции полезности: уровни несравнимости C2 Идеальное Решение Ao 0 C1 Иллюстративный промер для “сложной” ситуации уровней несравнимости C2 Идеальное Решение Ao 0 C1 Метод порогов несравнимости (метод ELECTRE), B. Roy Альтернативы A=(A1, … , Ai , … , An) и критерии C=(C1, … , Cj , … , Ck), Ai вектор оценок zi = ( zi1 , …, zij , … zik ) , j вес для критерия j пары Au, Av A вычислить: Коэффициент “согласия” uv = ( 1 / kj=1 j ) (j X (u, v))j Коэффициент “несогласия” uv = 0 если | Y (u, v) | = 0 иначе maxj (( j | zuj – zvj | ) / ( dj kj=1 j )) X (uv) = { j | zuj zvj }, Y (uv) = { j | zuj < zvj }, dj размер шкалы ПРАВИЛО: Au лучше Av если ( uv p ) & ( uv q ) где p, q - пороги (например, p = 0.9 и q = 0.2 ) Иллюстративный численный пример для многокритериального ранжирования C1 0.1 C2 0.1 C3 0.15 C4 0.4 C5 0.25 критерии {j} веса j u = 1, v = 3 A1 A2 A3 A4 A5 10 1 0 10 7 8 9 9 2 7 8 7 10 14 5 10 5 6 3 8 4 3 1 2 3 dj 11 8 10 8 4 A1 ? A3 X(1,3) = { 1,4,5 } Y(1,3) = { 2,3 } 13 = ( 1 / 1 ) (0.1 + 0.4 + 0.25) =0.75 13 = max { ( 0.1 (9-8) / 8) , (0.15 ( 10 – 8) / 10 ) = max { 0.125 , 0.03} = 0.125 Версия результата 1: p = 0.7 q = 0.3 A1 лучше A3 Версия результата 2: p = 0.8 q = 0.2 несравнимы Метод аналитических иерархий AHP (T.L. Saaty) J* (= 1b1+ 2b2) Результирующий уровень ПРОЦЕСС СНИЗУ-ВВЕРХ B1 (= 1c1+ 2 c2) C1 B2 (= 3c3+ 4 c4+ 5c5) Уровень интеграции C2 C3 C4 C5 Базовый уровень Прикладной пример для жизненного цикла Проектные параметры продукта Параметры удобства тестирования Удобство для производства Удобство для Удобство для транспортирования marketing Удобство для техобслуживания Интегрирование(агрегирование) результатов Предыдущий пример: 1, 3 Fa 2 1, 3 Fq 7 2, 7 6 6 4, 5 4, 5 Интуитивная интеграция: 1, 3 2,7 4, 5, 6 Подход Парето 1, 3, 7 2 4, 5, 6 Подходы к интеграции (агрегированию) 1.Правила типа «голосования» 2.Правила типа «голосования» & удаление “маргинальных результатов” 3.Многокритериальные методы, рассмотренные выше 4.Функции принадлежности (как в размытых множествах) Подход интегрирования: Пример использования ELECTRE (М.Ш. ЛЕВИН, DSS COMBI) q (1,1) (0,1) Сетка порогов (0,0.4) СХЕМА РЕШЕНИЯ: 1.Метод ELECTRE (для каждой пары порогов) 2.Ранжирование (получение уровней) 3.Агрегирование результатов (0,0.1) (0,0) (0.6,0) (0.9,0) (1,0) p