Языки, операции над языками Лекция 2

Лекция 2
Языки, операции над
языками
Определение 2.1
• Языком в алфавите  называется произвольное
множество цепочек в .
• Как следует из определения языка, язык в алфавите
 является подмножеством (может быть,
собственным) множества * всех цепочек в данном
алфавите. Поскольку пустое множество является
подмножеством любого множества, то и L =  есть
язык в алфавите . Множество {}, содержащее
только пустую цепочку, также является языком.
Заметим, что  и {} – два различных языка: первый
язык (множество цепочек) пуст, а второй содержит
единственную цепочку .
• Если необходимо подчеркнуть, что язык есть язык в
алфавите , то будем записывать L().
• Пример 2.1. Рассмотрим язык L1 ={ai | i  0},
содержащий пустую цепочку и все цепочки,
составленные из символа а. Очевидно, что L1={a}*.
• Соглашение: В тех случаях, когда это не может
привести к путанице, будем обозначать множество из
одного символа самим этим элементом, т.е. a* = {a}*.
Определение 2.2
• Если язык L таков, что никакая цепочка в L не
является собственным префиксом (суффиксом)
никакой другой цепочки в L, то говорят, что L
обладает префиксным (суффиксным) свойством.
• Пример 2.2. Язык a* не обладает префиксным
свойством, а язык {ai bi | i 0} обладает.
Задание 2
• Привести примеры языков в
1.алфавите
 = {a, d, b, c, m}
2.  = {a, d, b, f, k}
3.  = {a, d, c, s, f}
4.  = {a, b, c, n, m}
5.  = {d, b, c, m, k}
6.  = {b, c, s, k, l}
7.  = {b, c, n, m, k}
8.  = {c, k, f, n, l}
9.  = {f, h, k, g, l}
10.  = {a, b, c, f, i}
11.  = {a, b, c, j, i}
12.  = {a, b, c, k, l}
13.  = {a, d, c, j, i}
14.  = {a, d, c, k, i}
15.  = {a, d, b, j, i}
16.  = {a, d, b, k, f}
17.  = {a, b, c, k, m}
18.  = {a, c, k, j, i}
19.  = {a, c, n, m, f}
20.  = {a, c, h, g, k}
21.  = {a, c, n, r, k}
22.  = {a, j, i, k, n}
23.  = {a, j, i, k, n}
24.  = {b, d, i, j, n}
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
25.  = {c, g, k, j, i}
26.  = {d, f, j, i, l}
27.  = {d, g, s, r, k}
28.  = {d, j, r, s, m}
29.  = {c, f, s, j, k}
30.  = {c, f, g, s, n}
31.  = {s, f, n, a, r}
32.  = {f, t, w, i, a}
33.  = {e, t, u, q, l}
34.  = {a, g, k, l, i}
35.  = {q, f, p, t, i}
36.  = {z, c, b, j, i}
37.  = {e, a, q, k, f}
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
38.  = {w, g, k, e, m}
39.  = {q, c, l, r, i}
40.  = {u, o, p, m, f}
41.  = {a, c, s, f, k}
42.  = {a, f, h, r, j}
43.  = {f, t, w, k, n}
44.  = {a, e, t, k, m}
45.  = {y, d, i, r, n}
46.  = {c, s, k, f, i}
47.  = {r, p, a, i, l}
48.  = {w, v, d, r, k}
49.  = {d, j, r, c, n}
50.  = {z, s, e, j, k}
• Рассмотрим теперь, какие операции могут
выполняться над языками.
• Поскольку язык – это множество, то и операции
объединения, пересечения, нахождения разности и
дополнения применимы и к языкам. Операцию
конкатенации можно применять к языкам так же, как к
цепочкам.
Определение 2.3
• Пусть L1 – язык в алфавите 1, L2 – язык в алфавите
2. Тогда язык L1L2 в алфавите 12, называется
конкатенацией (а также сцеплением или
произведением) языков L1 и L2, L1L2 = {xy | x L1 & y
L2}.
Определение 2.4
• . Итерация языка L, обозначаемая через L*,
определяется так:
• 1. L0 = {}
• 2. Ln =LLn-1
• 3. L*= Ln .
Определение 2.5
• Пусть 1 и 2 – алфавиты. Гомоморфизмом
называются любое отображение h : 1  2*.
Область определения гомоморфизма h можно
расширить до 1*, полагая h()= и h(xa)=h(x)h(a) для
всех x  1* и a  1.
• Применяя гомоморфизм к языку L, мы получаем
другой язык h(L), который представляет множество
цепочек {h()|L} в алфавите 2.
•
Пример 2.3. Допустим , что хотим заменить
каждое вхождение в цепочку символа 0 на символ а,
и каждое вхождение символа 1 на bb. Тогда можно
определить гомоморфизм h так, что h(0)=a и
h(1)=bb. Если L={0n1n|n1}, то h(L)={anb2n|n1}.
• Хотя гомоморфизмы не всегда взаимно однозначны,
часто бывает полезно говорить об их обращениях
(как отношениях).
Определение 2.6
• Если h: 1  2* - гомоморфизмы, то отношение h-1:
2*  21* (где 21* – множество всех возможных
подмножеств множества 1*) определенное ниже,
называется обращением гомоморфизма. Если y 
2*, то h-1(y)- это множество цепочек в алфавите 1,
которые отображаются гомоморфизмом h в цепочку
y, т.е. h-1(y) = {x | h(x) = y}. Если L – язык в 2, то h1(L)
язык в 1, состоящий из тех цепочек, которые h
отображает в цепочки из L. Формально h-1(L)={x |
h(x)L}.
• Пример 2.4. Пусть h- гомоморфизм, для которого
h(0)=a и h(1)=a.
• Тогда h-1(a)={0,1} и h-1(a*)={0,1}*.
• Пример 2.5. В качестве второго примера возьмем
такой гомоморфизм h, что h(0)=a и h(1)= . Тогда h1()=1* и h-1(a)=1*01*. Здесь 1*01* обозначает язык
{1i01j | i,j0}.
Определение 2.7
• Подстановка языков L1, L2,…, Ln в язык L вместо
символов a1, a2,…, an есть операция,
сопоставляющая языку L в словаре  = {a1, a2,…, an}
и языкам L1, L2,…,Ln в словарях 1, 2,…, n
соответственно язык S(L; a1, a2,…, anL1, L2,…,Ln ) в
словаре 1 2 … n, где S(L; a1, a2,…, an  L1,
L2,…,Ln ) = {wi1wi2…wikai1ai2…aikL,
wi1Li1,wi2Li2,…wikLik }  L', где L' = {}, если
пустая цепочка принадлежит языку L, и L' =, если
пустая цепочка не принадлежит языку L.
• Пример 2.5. Рассмотрим язык L =
{<идентификатор> <знак типа сложение>
<идентификатор>} в словаре V =
{<идентификатор>, <знак типа сложение>} и языки
L1={a, b}, L2 ={+,-} в словарях V1={a, b}, V2 ={+,-}.
Результатом подстановки будет язык S(L;
<идентификатор>, <знак типа сложение>L1, L2 )
= {a+a, a+ b, b+ a, b+b, a-a, a-b, b-a, b-b}.
Задание 3
• Описать язык, являющийся результатом применения
указанного гомоморфизма h к заданному языку L.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1. L={anb2nan | n1}, h(a)=1 и h(bb)=2
2. L={0n1n2n | n1}, h(0)=b, h(1)=a, h(2)=cc
3. L={2n12n0n | n1}, h(0)=b, h(11)=c, h(2)=bb
4. L={anbncn | n1}, h(a)=11, h(b)=2, h(c)=3
5. L={3n2n1n2n | n1}, h(1)=aa, h(2)=c, h(3) = bb
6. L={4n12n2n | n1}, h(11)=a, h(4)=c, h(2) = b
7. L={1n32n1n2n | n1}, h(1)=aa, h(2)=c, h(3) = b
8. L={anb2ncn | n1}, h(a)=22, h(b)=1, h(c) = 33
9. L={anb2nc2n | n1}, h(a)=3, h(bb)=4, h(c) = 1
10. L={1n2n12n | n1}, h(1)=aa, h(2)=bb
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
11. L={2n12n2n12n | n1}, h(2)=aa, h(1)=b
12. L={a2nbna2nbn | n1}, h(aa)=1, h(b)=22
13. L={anbnc2nan | n1}, h(a)=11, h(b)=2, h(cc) = 3
14. L={1n2n1n32n | n1}, h(1)=aa, h(2)=c, h(33) = b
15. L={22n12n22n3n | n1}, h(22)=a, h(1)=b, h(3) =cc
16. L={anc2nb2nan | n1}, h(a)=3, h(bb)=2, h(c) = 1
17. L={cnb2ncnan | n1}, h(a)=11, h(bb)=2, h(c) = 3
18. L={b2ncnancn | n1}, h(a)=22, h(b)=1, h(c) = 3
19. L={c2nb2nancn | n1}, h(a)=1, h(bb)=2, h(cc) = 3
20. L={a2nbnc2na2n | n1}, h(aa)=1, h(b)=22, h(c) = 3
21. L={22n1n32n1n | n1}, h(1)=cc, h(22)=b, h(3) = a
22. L={3n22n12n3n | n1}, h(11)=a, h(2)=b, h(3) = cc
23. L={anbnc2nan | n1}, h(a)=11, h(b)=2, h(c) = 3
24. L={2n32n1n2n| n1}, h(1)=aa, h(2)=b, h(3) = c
25. L={cna2nb2ncn | n1}, h(aa)=1, h(b)=2, h(c) = 33
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
26. L={a2nb2na2ncn | n1}, h(a)=1, h(bb)=2, h(c) = 33
27. L={1n22n1n3n | n1}, h(1)=bb, h(22)=a, h(3) = cc
28. L={anbnanc2n | n1}, h(a)=1, h(b)=222, h(cc) = 3
29. L={2n32n1n2n| n1}, h(1)=ccc, h(2)=b, h(33) = a
30. L={32n22n32n1n | n1}, h(1)=cc, h(22)=b, h(3) = a
31. L={4n152n26n172n | n1}, h(2)=aa, h(1)=b, h(4)=cc,
h(5)=n, h(6)=r, h(7)=w
32. L={1n42n5n62n7n | n1}, h(2)=aa, h(1)=b, h(4)=cc,
h(5)=n, h(6)=r, h(7)=w
33. L={agnbfnc2nan | n1}, h(a)=11, h(b)=2, h(cc) = 3,
h(gg) = 4, h(f) = 5
34. L={11n223n122n332n | n1}, h(1)=aa, h(2)=c, h(33)
=b
35. L={2112n1232n2212n321n | n1}, h(22)=a, h(1)=b,
h(3) =cc
36. L={abncab2nba2nan | n1}, h(a)=3, h(bb)=2, h(c) = 1
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
37. L={cacnbca2ncanacn | n1}, h(a)=11, h(bb)=2, h(c) = 3
38. L={bca2ncaanabbncn | n1}, h(a)=22, h(b)=1, h(c) = 3
39. L={abc2nbac2nacncbn | n1}, h(a)=1, h(bb)=2, h(cc) = 3
40. L={ac2nbcanca2nab2n | n1}, h(aa)=1, h(b)=22, h(c) = 3
41. L={2122n13n3122n1n | n1}, h(1)=cc, h(22)=b, h(3) = a
42. L={31n2312n1232n31n | n1}, h(11)=a, h(2)=b, h(3) = cc
43. L={abcnbcnca2nabn | n1}, h(a)=11, h(b)=2, h(c) = 3
44. L={213n3212n12n23n| n1}, h(1)=aa, h(2)=b, h(3) = c
45. L={cabnac2nba2ncbn | n1}, h(aa)=1, h(b)=2, h(c) = 33
46. L={aba2nbc2nac2ncan | n1}, h(a)=1, h(bb)=2, h(c) = 33
47. L={12n212n13n3n | n1}, h(1)=bb, h(22)=a, h(3) = cc
48. L={bcanbcnacncab2n | n1}, h(a)=1, h(b)=222, h(cc) = 3
49. L={21n322n132n213n| n1}, h(1)=ccc, h(2)=b, h(33) = a
50. L={312n232n312n1n | n1}, h(1)=cc, h(22)=b, h(3) = a
• Задать язык - значит указать множество цепочек,
принадлежащих языку. Существует несколько
способов задания языков.
• 1. Явное задание языка. В данном случае
перечисляется все множество цепочек языка. Данный
способ задания языка часто используется в
диалоговых системах при задании языка, при
помощи которого производится диалог пользователя
с программой.
• 2. Задание языка регулярным выражением.
• 3. Задание языка при помощи порождающей
грамматики.
• 4. Задание языка при помощи распознавателя.
• Далее будут подробно рассмотрены способы
задания языков при помощи регулярных выражений,
при помощи порождающей грамматики, при помощи
распознавателя.