Решение полного квадратного уравнения

Открытый урок
по алгебре
8 класс
Решение полного квадратного
уравнения.
ax  bx  c  0
2
2
D0
b 

- дискриминант
x 
 0
4ac квадратного
2a 
 уравнения
b
x
0
2a
- корней нет
b
x
- один корень
2a
D0
- два корня
Db 
2
D0
x1,2
b  D

2a
Проверка домашней работы
4
1) 5 х  18 х  16  0 х1  1 ; х2  2
5
2
1
2) 8 х  х  75  0 х1  3 ; х2  3
8
3
2
3) 4 х  7 х  3  0 х1   ; х2  1
4
2
х1  7; х2  8
4) х  х  56  0
1 5
1 5
2
; х2 
5) х  х  1  0 х1 
2
2
2
4
х1  1 ; х2  2
В
5
1
х1  3 ; х2  3
И
8
3
х1   ; х2  1
Е
4
Т
х1  7; х2  8
1 5
1 5
х1 
; х2 
2
2
и н в е т
3 1 2 -1 8
Замените целые корни
уравнений на
соответствующие буквы и
отгадайте фамилию
ученого, французского
математика.
Франсуа́ Вие́т
(1540 — 13 февраля 1603)
французский математик,
основоположник
символической алгебры.
По образованию и
основной профессии —
юрист.
Тема урока:
«ТЕОРЕМА
ВИЕТА»
Решить приведённое квадратное
уравнение, найти сумму и
произведение корней, записать ответы
в таблице
Уравнение
х2 – 2х – 3 = 0
Х2 + 5х – 6 = 0
х2– х – 12 = 0
х2+ 7х + 12 = 0
Корни
х1 и х2
х 1+ х 2
х1 · х2
Решить приведённое квадратное
уравнение, найти сумму и
произведение корней, записать ответы
в таблице
Уравнение
х2 – 2х – 3 = 0
Х2 + 5х – 6 = 0
х2– х – 12 = 0
х2+ 7х + 12 = 0
Корни
х1 и х2
х 1+ х 2
-1; 3
1; -6
-3; 4
-3; -4
2
-5
1
-7
-b
х1 · х2
c
-3
-6
-12
12
Теорема Виета.
Если числа х1 и х2
являются корнями уравнения
х2+рх+q=0
то справедливы формулы
x1  x2  q
x1  x2   p
т.е.сумма корней приведённого квадратного
уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а
произведение корней равно свободному
члену.
D>0
Найти D
D
Найти корни х1
и х2;
Найти сумму
х1 и х2;
Найти
произведение
х1и х2.
D=0
D>0
p  4q
Найти D
D
Найти корни х1
и х2;
Найти сумму
х1 и х2;
Найти
произведение
х1и х2.
D=0
2
 p  p 2  4q
x1,2 
2
 р D  p D
2
 p
( р 
D )(  p  D )
4
р2  D
p 2  p 2  4q


4
4
q
p 2  4q
0
х1, 2
р

2
р р

2
2
 р
2
p
q
4
Таблица знаков корней
c
Знаки корней
+
+
+
-
-
+
-
-
Оба корня
положительны
Большее по модулю
число положительно
Оба корня
отрицательны
Большее по модулю
число отрицательно
-b
Найдём корни уравнений.
№29.6 (а,б); № 29.8(а,б)
№
п/п
Уравнение
х2 + bx + c = 0
1 х2 + 3x + 2 = 0
2 х2 – 15x +14 =
b
c
x1+x2 x1∙x2
0
x2
2
-3
2
-1
-2
- 15 14
15
14
1
14
20
-4
3
0
3 х2 +9x +20 = 0
9 20 -9
4 х2 -15x +36 =
x1
-15 36
15
36
3
-5
12
Теорема, обратная
теореме Виета.
p, q, x1 , x2
Если числа
таковы, что
x1  x2   p, x1  x2  q
то x1 и x2 - корни уравнения
x  px  q  0
2
1. Пусть х1 и х2 - корни квадратного уравнения (х1 < х2). Решите
уравнение (1-10), запишите корни уравнения в указанном порядке (при
решении там, где это удобно, пользуйтесь теоремой, обратной теореме
Виета).
1) х2-25=0,
(х1,х2)
2) х2-3х=0,
(х1,х2)
3) х2-5х+6=0,
(х2,х1)
4) х2-12х+35=0, (х2,х1)
5) х2-6х=0,
(х2,х1)
6) х2-2х-35=0,
(х2,х1)
7) х2-х-6=0,
(х2,х1)
8) х2+3х=0,
(х2,х1)
9) х2+10х+25=0, (х1,х2)
10) х2+10х=0.
(х1,х2)
После решения уравнений, полученные точки нанесите на координатную
плоскость, и последовательно соедините все точки.
Задание исследовательского характера
1.
В уравнении х2+pх-35=0 один из
корней равен 7. Найдите другой корень
и коэффициент p.
2.
Один из корней уравнения х2-13х+q=0
равен 12,5. Найдите другой корень
уравнения и коэффициент q.
3.
Не решая уравнение х2-2х-8=0,
применяя теорему Виета, вычислите
сумму квадратов его корней.
I
II
х  рх  35  0
х1  7
х  13х  q  0
х1  12,5
х1  х2   р
х1  х2  13
х1  х2  35
х1  х2  q
7  х2  35
12,5  x2  13
х2  5
х2  0,5
 р  7  (5)  2
р  2
Ответ :  5;2
q  12,5  0,5  6,25
q  6,25
Ответ : 0,5;6,25
2
2
III
х1  х2  х12  2  х1  х2  х22  2  х1  х2 
2
2
 ( х1  х2 )  2 х1 х2
2
х  2х  8  0
2
х1  х2  2
х1  х2  8
2 2  2  (8)  20
Ответ : 20
Подведение итогов
Ответьте на вопросы:
• Какие уравнения мы сегодня
рассматривали?
• Чему равна сумма корней квадратного
уравнения?
• Чему равно произведение корней
квадратного уравнения?
Продолжите фразы:
• Сегодня на уроке я узнал...
• Сегодня на уроке я научился...
• Сегодня на уроке я познакомился...
Домашнее задание
П.29 1-я часть
№29.6(в,г),-29.8(в,г)