Учимся решать задачи на «ДВИЖЕНИЕ»

Учимся решать задачи
на «ДВИЖЕНИЕ»
Работу выполнил преподаватель математики
Рунгинской средней общеобразовательной школы
Буинского муниципального района
Лукьянова Т.Н.
Учимся решать задачи на
«движение»
Человек родился, чтобы думать. Способность мыслить
отличает его от животных, в этом состоит его
человеческое достоинство.
Блез Паскаль.
•
Блез Паскаль родился 19 июня 1623
года в Клермоне.Он был
единственным сыном у своих
родителей – Этьена Паскаля и
Антуанетты Бегон, имевших кроме
него еще двух дочерей. В 1626 году
Этьен Паскаль потерял свою жену и с
тех пор полностью посвятил себя
воспитанию своего сына. Поскольку
сын с юных лет привлекал к себе
внимание живостью ума, а отец был
одним из лучших математиков того
времени. Отец решил не отдавать
Блеза в школу, а учить его самому. В
16 лет Блез Паскаль написал свое
первое сочинение – «Трактат о
конических сечениях». Достижения
Паскаля в различных областях : одна
из первых вычислительных машин,
закон Паскаля в гидростатике,
треугольник Паскаля, книга
«Мысли».Умер Б. Паскаль в неполные
39 лет. Именем Паскаля названа
единица давления в системе СИ.
Основные параметры
• Пройденный путь S ( км; м )
• Скорость v ( км/ч; м/с )
• Время
t ( час; мин; с )
•
•
•
•
Основные формулы
S = V t
V = S/t
t = S/V
Движение: план и реальность.
•
•
•
•
•
•
•
•
Запланированные параметры движения ( S,V,t ) сопоставляются c
реальными.
ЗАПОМНИ !
При решении задач на движение переводи все данные в одни и те
же единицы измерения.
1 час = 60 мин.
1 мин = 1/60 часа
10 мин = 1/6 часа
Для решения необходимо выразить через переменную расстояние,
время и скорость на каждом из запланированных и реальных
участков пути с момента отклонения плана. После этого нужно
найти в условии задачи еще не использованный факт и с его
помощью составить уравнение.
Задача 1 Велосипедист должен был проехат ь весь пут ь с
определенной скорост ью. за 2 ч.Но он ехал со скорост ью,
превышающей намеченную на 3 км/ч, и поэт ому на весь пут ь
зат рат ил 5/3ч. Найдит е длину пут и.
•
•
•
• Решение. 2 способ: решение
Решение. 1способ.
задачи в виде таблицы.
По плану: обозначим скорость
через Х км/ч, по условию
задачи известно затраченное
время 2ч.Тогда расстояние
равно 2Х км.
В реальност и: скорость ( Х+3 )
км/ч, время 5/3 ч., значит,
расстояние равно 5/3 (Х + 3)
км. Так как в реальности
V
t
S
пройдено то расстояние,
(км/ч)
( час )
(км)
которое и было запланировано, получаем уравнение
2х = 5/3 (х+3), откуда х=15
По плану
Х
2
2Х
Тогда длина пути равна
2*15=30(км).
Ответ: 30 км.
В
реальности
Х+3
5/3
5/3(х+3)
Задача 2. Автобус прошел 5/6 пути со скоростью 50 км
/ ч, а затем задержался на 3 мин. Чтобы прибыть в
конечный путь вовремя, оставшуюся часть пути он шел
со скоростью 60 км / ч.Найдите путь, пройденный
автобусом.
•
•
•
•
•
•
Решение. Отклонение от плана началось с момента
остановки. Обозначим за Х ч – время, за которое автобус
должен был пройти оставшуюся 1/6 часть пути. Тогда
запланированное расстояние равно 50Х км.
В реальности 1/20 ч автобус стоял, а оставшуюся часть пути
прошел за ( Х- 1/20 ) ч, то есть реально пройденный путь
равен 60 ( Х- 1/20 ) км.
По условию задачи запланированное расстояние совпадает с
реально пройденным, следовательно, получаем уравнение :
60 ( Х- 1/20 ) = 50Х, откуда Х = 0,3
Таким образом, 1/6 часть пути равна 50*0,3=15 ( км). Тогда
весь путь равен 15*6=90 (км).
Ответ: 90 км.
Совместное движение
•
В Задачах на совместное движение участники не всегда
одновременно начинают движение и не всегда его одновременно
заканчивают.
• Запомни!
•
•
•
•
Если два тела одновременно начинают двигаться навстречу друг
другу со скоростями V1 и V2 а начальное расстояние между ними
равноS, то время, через которое они встретятся, равно
S / V1+V2
Если одно тело догоняет другое, то время, через которое тело
догонит второе, равно
S / V1-V2,
где V1 и V2 – скорости тел, V1>V2, S- начальное расстояние
между телами.
Задача 3. Из пункта А вышел товарный поезд. Спустя 3ч
вслед за ним в том же направлении вышел пассажирский
поезд, скорость которого на 30 км/ч больше скорости
товарного. Через 15 ч после своего выхода пассажирский поезд
оказался впереди товарного на 300 км. Определить скорость
товарного поезда.
•
•
•
•
•
•
Решение. Пусть скорость
товарного поезда Х км/ч,
тогда скорость пассажирского
поезда (Х+30) км/ч.
В условии задачи сказано, что
товарный поезд был в
пути18ч, поэтому он проделал
путь 18Х км. Пассажирский
поезд За 15 ч прошел
15(Х+30) км.
По условию задачи
пассажирский поезд оказался
впереди товарного на 300км,
то получаем уравнение:
15(Х+30) – 18Х = 300
Решив это уравнение имеем:
Х=50
Ответ: 50км.
2 способ. Решение задачи
оформлено в виде таблицы.
V
км/ч
Товарный
поезд
Пассажирский
поезд
Х
Х+30
t
ч
18
15
S
км
18Х
15(Х+30)
Задачи, решаемые с
применением закона сложения
скоростей.
•
В ряде задач на движение учитываются скорости ветра при
движении самолетов, скорость течения при движении по реке.
• Собственная скорость
– скорость самолета, корабля, лодки,
создаваемые двигателями, т.е. скорость движения при отсутствии
ветра или в стоячей воде.
•
•
•
•
•
Запомни !
Как правило, если собственная скорость и скорость ветра
(или течения) не даны, то именно их обозначают
переменными.
Если тело с собственной скоростью Х движется по реке,
скорость которой равна У, то скорость движения тела по
течению считают равной (Х+У), против течения – равной
(Х-У).
Если в задачах говорится о движении плота, то полагают,
что он движется со скоростью течения.
Задача 4. Самолет пролетит по направлению ветра за 5,5 ч
такое же расстояние, какое в обратном направлении за 6 ч при
условии, что ни скорость, ни направление ветра не меняются.
Найдите расстояние, которое пролетит самолет туда и обратно,
если собственная скорость самолета равна 690 км/ч.
•
•
•
•
•
•
•
•
Решение. В данной задаче основные скорости – собственная скорость
самолета, равная 690 км/ч, и скорость ветра, которая не
дана.Обозначим скорость ветра через Х км/ч.
Тогда при движении по направлению ветра самолет со скоростью
(690+Х) км/ч за 5,5 ч пролетит 5,5(690+Х) км, а при движении
против направления ветра самолет со скоростью (690-Х) км/ч за 6 ч
пролетит 6(690-Х) км.
По условию задачи известно, что самолет туда и обратно пролетит
одно и то же расстояние, составим уравнение:
5,5(690 + Х) = 6(690 – Х)
Решая уравнение, находим, что скорость ветра равна 30 км/ч.
Вычисляем расстояние: 6(690-30) = 3960(км).
Туда и обратно самолет пролетит 3960*2 = 7920(км)
Ответ: 7920 км.
Задача 4.
Катер, собственная скорость которого 15 км/ч,
прошел 60 км по реке от одной пристани до другой и вернулся
обратно. За это же время спасательный круг, упавший за борт с
катера, проплывет 25 км. Найдите время движения катера
вверх по реке.
• Решение.
•
•
•
•
•
•
•
Обозначим скорость течения реки через Х км/ч. Тогда скорость
движения катера по реке – ( 15+Х ) км/ч, а против течения – (15+Х) км/ч.
Время, затраченное на путь по реке – 60 / (15+Х) ч, а на путь против течения
реки катер со скоростью (15-Х) км/ч затратил 60 / (15-Х) ч.
Спасательный круг проплыл 25 км по течению реки за 25/Х ч.Учитывая, что
по условию задачи на путь туда и обратно катер затратил такое же время, за
какое спасательный проплыл 25 км.
Составляем уравнение:
60/ ( 15+Х) + 60/ ( 15 –Х) = 25/Х
Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 5 и получим
уравнение: 12/ (15+Х) + 12/ (15-Х) = 5/Х
Так как по условию задачи 0< Х<15, то есть знаменатели всех дробей в
уравнении отличны от нуля, умножим обе части уравнения на (15+Х)(15-Х)Х
и получим уравнение, равносильное данному:
(12(15-Х) + 12(15+Х))Х = 5(15+Х)(15-Х), после раскрытия
скобок и приведения подобных слагаемых получим уравнение: Х ² +72Х-225
=0, корнями которого являются 3 и -75, значит скорость течения 3 км/ч.
Далее узнаем время движения вверх по реке: 60 : (15-3) = 5(ч)
Ответ: 5ч.
Задания для самост оят ельной
работ ы
• Задание 1.
Из Москвы в Киев вышел поезд со скоростью 80
км/ч.Спустя 24 мин из Киева в Москву отправился поезд со
скоростью 70 км/ч.Через сколько часов после выхода из Москвы
произойдет встреча, если расстояние между городами 872 км?
• Задание 2.
Из пункта А вниз по течению реки движется лодка с
собственной скоростью 17 км/ч. Ей навстречу из пункта В движется
катер с собственной скоростью 26 км/ч. Лодка до встречи шла 2ч,
катер – 1,5 ч. Какое расстояние проплывет плот за 3ч, если
расстояние между пунктами А и В равно 74 км?
• Задание 3.
Друзья отправились на пикник на лодке, а вечером
вернулись обратно. Они проплыли в общей сложности 48 км,
затратив на это 2ч 48 мин.При этом на каждые 3 км против течения
им приходилось тратить столько же времени, сколько на 4 км по
течению. Найдите собственную скорость лодки.
• СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!