Лекция. Квантовая механика.

Курс общей физики
Лектор: к. т. н., доцент Поздеева
Эльвира Вадимовна
Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г.
Лекция
Тема: КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
Содержание лекции:
1. Гипотеза де Бройля. Корпускулярноволновой дуализм
2. Волновая функция
3. Уравнение Шредингера
4. Соотношение неопределенностей
Гейнзенберга
продолжение на следующем слайде…
5. Граничные условия. Потенциальные
ямы конечной глубины
6. Частица в потенциальном ящике
7. Атом водорода
8. Орбитальный момент импульса и
проекция момент импульса
8.1. Нормировка волновых функций
8.2. Среднее значение
9. Испускание фотонов
9.1. Энергетический спектр атома
водорода
продолжение на следующем слайде…
10. Вынужденное излучение
11. Лазер
12. Боровская модель атома
1. Гипотеза де Бройля. Корпускулярноволновой дуализм
В 1924 г. Луи де Бройль предположил, что не
только для фотонов, но и вообще для всех частиц,
справедливо соотношение
h
p

и E = h.
Согласно де Бройля пучок частиц любого сорта
будет
создавать
на
двойной
щели
интерференционную картину, характерную для
опыта Юнга с двумя щелями.
Три года спустя эксперимент подтвердил гипотезу
де Бройля в опытах по дифракции электронов на
кристаллах. Казалось невозможным представить,
что электроны в одно и то же время являются
частицами и волнами.
Парадокс можно устранить, предположив, что
отдельный фотон после прохождения через щели А
и В способен расщепляться и интерферировать с
самим собой.
Однако парадокс усиливается, если заменить пучок
фотонов на пучок электронов.
В природе
не наблюдалось половины или части
электрона, электрон всегда обнаруживается целиком.
В этом сущность атомизма.
С точки зрения атомизма отдельный электрон может
пройти лишь через одну из двух щелей,
рис. 1.
Распределение электронов на экране должно быть
суммой распределений для каждой из щелей.
Однако, вместо этого мы видим стандартную
интерференционную картину для двух щелей,
изображенную на рис. 2.
Рис. 1. Распределение интенсивности электронов согласно
классической физике
Рис. 2. Распределение интенсивности электронов согласно
квантовой теории
Пусть в точке Р1 на рис.2 находится счетчик
Гейгера, регистрирующий ежесекундно 100
электронов, когда открыта любая из щелей А или В.
Когда открыты обе щели одновременно, счетчик
перестает регистрировать электроны.
Это значит, что точка Р1 попадает
интерференционный минимум (r2 – r1 = /2).
в
2. Волновая функция
Математический формализм, с помощью которого
устраняется парадокс, ставит в соответствие каждой
частице амплитуду вероятности (x,y,z,t).
Вероятность обнаружить частицу в момент
времени t в любой точке х, у, z пропорциональна
|(х,у,z,t)|2, т.е. интенсивности.
Функция  обладает свойствами классических волн,
и поэтому ее называют волновой функцией.
Если событие может произойти несколькими
взаимно исключающими способами (как, скажем,
при прохождении частицы через одну из щелей А
или В), то амплитуда вероятности этого события
представляет собой сумму амплитуд вероятностей
каждого из способов:
 = 1 + 2 (принцип суперпозиции).
В рассмотренном выше примере (рис.) 1
описывает волну, проходящую через щель А, а 2 –
через щель В.
На экране обе волновые функции перекрываются
и дают классическую интерференционную картину
от двух щелей.
Причем n-й максимум определяется выражением
sinn = n/d.
Этот формализм составляет основу квантовой
механики.
Вероятность обнаружить частицу в некоторый
момент времени
в элементарном объеме dV,
окружающем точку M, равна:
Вероятностный
смысл
волновой
функции
накладывает ограничения на волновые функции в
задачах квантовой механики.
Они включают в себя:
1. Условие конечности волновой функции.
Волновая
функция
не
может
принимать
бесконечных значений.
2. Условие однозначности волновой функции.
Волновая функция должна быть однозначной
функцией координат и времени, так как плотность
вероятности
обнаружения
частицы
определяться в каждой задаче однозначно.
должна
3. Условие непрерывности волновой функции.
В любой момент времени волновая функция
должна
быть
непрерывной
функцией
пространственных координат.
Кроме того, непрерывными должны быть частные
производные волновой функции d/dx, d/dy,
d/dz.
4.Условия нормировки
Это означает, что пребывание частицы где- либо в
пространстве есть достоверное событие и его
вероятность должна быть равна единице.
3. Уравнение Шредингера
Для описания поведения микро частиц,
обладающих корпускулярными и волновыми
свойствами, не пригодны уравнения классической
физики (уравнения Нъютона).
Волновая функция (х), описывающая состояние
микро частицы, находится из решения
дифференциального уравнения, сформулированного
Шредингером в 1926 г.
Временное уравнение Шредингера, позволяющее
определить в любой момент времени волновую
функцию  для частицы массы m0, движущейся в
потенциальном поле U(x,y,z,t), имеет вид
Здесь i=  1 ;
 (набла) - оператор Лапласа, в декартовой системе
координат имеет вид
В
задачах
квантовой
механики
дифференциальное
уравнение
в
частных
производных
решается с учетом начальных и
граничных условий на волновую функцию.
Начальное условие задает значение волновой
функции в момент времени t = 0.
Граничные условия формулируются на границах
областей, где потенциальная функция U терпит
разрывы первого или второго рода.
Уравнение Шредингера тесно связано с гипотезой
де Бройля и вытекающим из неё корпускулярноволновым дуализмом материи.
Вычислим волновую функцию свободной частицы,
с кинетической энергий
E = p2/2m,
которая движится в отсутствие силовых полей
(U = 0, F = 0) в направлении оси x.
Решением
Шредингера
соответствующего
уравнения
является волновая функция
соответствующая плоской волне де Бройля.
Временное уравнение Шредингера позволяет:
-найти
(x,y,z,t) как функцию координат и
времени;
-определить плотность вероятности нахождения
частицы в любой точке пространства в любой
момент времени:
-описать
квантовое
состояние
движущейся в силовом поле.
частицы,
В квантовой механике существует класс задач,
для которых силовая функция U(x,y,z,) не зависит
от времени и она имеет смысл потенциальной
энергии частицы.
В стационарных полях квантовая система может
находиться в состояниях с определенным
значением энергии E.
Эти
состояния
состояниями.
называются
стационарными
Поскольку U(x,y,z) в уравнении Шредингера не
зависит явно от времени, то функцию (x,y,z,t)
следует искать в виде произведения двух функций
(x,y,z,t) = (x,y,z) (t),
(x,y,z)  зависит только от координат;
(t)  только от времени.
Подставляя
(x,y,z)(t) во временное
уравнение Шредингера и разделив обе части
уравнения на (x,y,z)(t), получаем
Здесь
 оператор полной энергии частицы (оператор
Гамильтона).
В полученном уравнении левая часть зависит
только от времени, а правая  только от координат.
Такое равенство возможно лишь в случае, если
левая и правая части уравнения равны постоянной
величине, обозначим ее буквой Е, получаем два
уравнения
Константа Е представляет полную энергию
квантовомеханической системы.
Перепишем 1- ое уравнение с учетом вида
оператора Ĥ
Полученное уравнение называется уравнением
Шредингера для стационарных состояний.
4. Соотношение неопределенностей
Гейнзенберга
Соотношение или принцип неопределенностей
Гейзенберга
утверждает,
что невозможно
одновременно
точно
определить
значения
координаты и импульса частицы:
xp  / 2,
где х и рх – неопределённости значений
координаты х и компоненты рх импульса р
Двойственная
природа
микрочастиц
накладывает ограничения на точность определения
физических величин.
Ограничения никак не связаны с точностью
измерений,
достижимой
в
конкретном
эксперименте, а имеют принципиальное значение.
Соотношения
неопределенностей
–
фундаментальные
соотношения
квантовой
механики, устанавливающие предел точности
одновременного определения
переменных,
характеризующих квантовую систему.
5. Граничные условия. Потенциальные
ямы конечной глубины
Если
частица
заключена
в
глубокой
потенциальной яме, то вероятность найти ее вне
ямы обращается в нуль.
Граничное условие состоит в том, что
вероятность найти частицу при больших
значениях |х| обращается в нуль.
Этому граничному условию удовлетворяют
лишь определенные значения En
Значения En называются собственными
значениями
Соответствующие волновые функции –
собственными функциями.
6. Частица в потенциальном ящике
Рассмотрим частицу в одномерном ящике с
абсолютно отражающими стенками, расстояние
между которыми равно L (рис. 8).
Потенциальная энергия частицы вне и внутри
потенциального ящика имеет следующее значения:
U=0
(0< x < L )
U=∞ (x <, x > L )
Задача о движении частицы в одномерном ящике с
бесконечно высокими стенками сводится к
решению уравнения Шредингера:
d  2m
 2 (U 0  E )
2
dx
2
Рис. 8. Частица отражается от левой стенки ящика, имеющего
длину L
Решением этого уравнения при U= 0
( x)  A sin kx
где
k  2mE /
2
Функция (x) должна обращаться в нуль и на
границе при х = L, как и при х = 0.
Подставляя в (х) вместо х величину L, получаем
0  sin(kL)  (kL)
Это справедливо при
kL = n,
где n – целое число. Разрешены только дискретные
значения волнового числа kn: kn  n / L
Это означает, что в ящике укладывается целое
число полуволн и совпадает с условием
возникновения стоячей волны на струне:
L = n(/2).
На рис. 9 изображены волновые функции
n(х) = A sin(n/L)x для n = 1, 2, 3, 4.
Значения импульса:
pn  kn
или
pn  n( / L)
Значения кинетической энергии
p
2 
En 
n
2
2m
2mL
2
n
2
2
Рис. 9. Первые четыре стоячие волны,
соответствующие частице в ящике;
на нижнем рисунке – плотность
вероятности для частицы в состоянии с
n=4
Наинизшая возможная энергия отвечает n = 1,
соответствующая волновая функция - половину
синусоиды. Эта энергия основного состояния.
В квантовой механике частица в ящике не может
иметь энергию меньше Е1 ( в ящике не должна
быть
нулевой функцией), в классической же
физике частица может иметь нулевую энергию.
Чтобы получить представление о масштабе этих
энергий, рассмотрим электрон, заключенный в
ящик с размерами для атома -10–10 м.
В этом случае:
34 2

)
2 (3,14) (1,05 10
En  n
n

2
31
20
2mL
2(9,1110 )10
2 2
2
2
(5,9710–18 Дж)n2 = (37,3n2) эВ.
Пусть в этом ящике
в состоянии с n = 2
находится электрон, который может испустить
фотон и перейти в состояние с n= 1.
Найдем длину волны фотона.
Из закона сохранения энергии следует, что
энергия фотона
17Дж
h  E  E  4E  E  1, 79 10
2
1
1
1
откуда
1, 79 10

h
и
17
 2, 70 10 с–1
16
c
3 10
8
 
 1,1110 м = 111 Å.
16
f 2,7 10
8
Рис. 9. а – четыре низших
энергетических уровня в
случае потенциальной ямы с
бесконечно высокими
стенками;
б – четыре низших
энергетических уровня в
случае потенциальной ямы,
образованной силой
электростатического
притяжения
7. Атом водорода
Задача о движении электрона в атоме водорода
сводится к задаче о движении электрона в
сферически
симметричном
кулоновском
потенциале.
Уравнение Шредингера удобнее
решать в
сферических координатах, которые связаны с
декартовыми соотношениями:
х = r sin  cos ,
y = r sin  sin ,
z = r cos .
Уравнение Шредингера в сферической системе
координат:
 
 2
1   2  
1
 
1
2m
E  U 
r

sin








2
2
2
2
2
2
r  r sin   
  r sin  
r r 

где U = –k0 e2/r.
В качестве решения выберем экспоненциальную
функцию  = er/a,
2
 1   2mE 


  2  E  
где a 


2
2
2 , a  

,

2ma .
k 0 me
2
Подставляя в Е выражение для а, находим:
4
2 me
E  k 0
2
2
Подстановка численных значений m, k0, e и ħ дает
E = 21,81019 Дж = 13,6 эВ.
Это и есть минимальное количество энергии,
необходимое для удаления электрона из атома
водорода.
Эта энергия называется энергией связи или
потенциалом ионизации
При r = а амплитуда волны уменьшается в е раз по
сравнению с максимальным значением (er/а = 1/e).
Данное значение R выбирается в качестве радиуса
атома водорода.
Используя выражение для а, находим
2

R
2
k 0 me
= 5,31011 м (радиус атома водорода).
Функция  = er/а представляет собой стоячую
волну низшего порядка, а энергия Е соответствует
основному уровню. Обозначим ее Е1.
Волновые функции для следующих двух
энергетических уровней записываются в виде
r  r / 2a

 2  1   e
 2a 

2r
2r 2
и  3  1 

2
3
a
27 a

  r / 3a
e


Графики всех этих функций приведены на рис. 11.
Эти функции удовлетворяют уравнению
Шредингера при условии, что Е2 = Е1/4 и Е3 = Е1/9.
Рис. 11. Волновые функции атома водорода, соответствующие
n = 1, 2, 3 и l = 0
Энергетические уровни атома водорода:
4
1 2 me
En   2 k 0
2
n
2
где n  целое положительное число, отвечают
решения в виде стоячих волн.
Величина n называется главным квантовым
числом.
Для полного описания трехмерной стоячей волны
необходимы еще два квантовых числа, которые
характеризуют момент импульса частицы.
8. Орбитальный момент импульса и
проекция момент импульса
Предположим, что волновой пакет (электрон) с
волновым числом k движется по окружности
радиусом R, как показано на рис. 11
Рис. 11. Волновой пакет, движущийся по окружности радиусом
R. Длина дуги s = R
Такой пакет имеет момент импульса относительно
оси z, равный
Lz = Rp = R(ħk).
Волновую функцию пакета на дуге s можно
записать в виде
 ~ ei(ks t) = ei(kR t).
Поскольку ( = 0) и ( = 2) измеряются в
одной и той же точке пространства, их значения
совпадают, т.е. eikR(0) = eikR(2)
Это соотношение выполняется, если kR = ml ,
где ml – целое число.
Умножив обе части этого равенства на ħ, имеем
ħkR = ml ħ
или
Lz = mL ħ.
Момент импульса квантуется и составляет целое
кратное ħ.
Lz принимает значения: 0, ± ħ, ±2 ħ, ± 3 ħ и т.д.
Волновая функция для частицы, движущейся в
сферически симметричном потенциале (например,
в кулоновском) записывается в следующем общим
виде:
 n,l ,ml r , ,   Rn r  l ,ml  ml 
где
 ml   e
iml 
Индексы: n- главное квантовое число,
l – орбитальное квантовое число,
ml – магнитное квантовое число
Кулоновский потенциал обладает свойством:
все собственные функции с одним и тем же
квантовым числом n имеют единственное
собственное значение энергии.
l принимает значения: 0, 1, … n – 1,
ml пробегает от l до + l.
Возможные комбинации n, l и ml для случая n =
2
n
l
ml
2
0
0
2
1
1
2
1
0
2
1
1
Кинетическая энергия вращательного движения
твердого тела К = L2/2I, где I  момент инерции.
Если измерять эту энергию, то, согласно квантовой
теории (это подтверждается и экспериментом),
l l  1
K
2I
2
Отсюда следует, что
L =
l l  1
Таким образом: в измерениях, связанных с
энергией, нужно полагать L =  l l  1
при измерениях момента импульса L = ħl.


Величина  2 l l  1 определяет квадрат величины
момента импульса, ħl представляет собой
максимальное значение проекции момента
импульса на выбранное направление.
9. Испускание фотонов
Спонтанное излучение
Согласно
квантовой
механике,
электрон,
находящийся на энергетическом уровне выше
основного, может испустить фотон и перейти на
более низкий энергетический уровень.
Такой процесс называется спонтанным излучением.
Типичное время, необходимое для процесса
испускания фотона, составляет порядка 108 с.
Если фотон испускается в результате перехода
между уровнями с энергиями Еn и Еn, то его
энергия:
h = Еn – Еn.
Частота фотона
 = (Еn – Еn)/h.
Если атом имеет, например, четыре различных
энергетических уровня, как показано на рис.13 , то
возможны шесть различных переходов с более
высоких уровней на более низкие.
Рис. 13. Шесть возможных переходов между четырьмя
энергетическими уровнями
Согласно современной теории, фотоны
представляют собой элементарные частицы со
спином 1 (L = ħ).
При испускании фотона квантовое число атома l
изменяется на единицу.
9.1.Энергетический спектр атома
водорода
Мы располагаем
соотношением для
энергетических уровней атома водорода.
Можно рассчитать его спектр.
Пусть энергия более высокого возбужденного
уровня равна
E n 
2
k 0
4
me 1
2
2
2 n
а энергия более низкого уровня
En  
2
4
k 0 me
2
2
1
2
n
Частоты, соответствующие различным спектральным
линиям, можно записать в виде
k 02 me 4  1
1 

 2  2
3
4  n
n 
Серия спектральных линий при n = 1, серия Лаймана.
Все линии серии расположены в ультрафиолетовой
области спектра излучения.
При n = 2 возникает другая серия линий, называемая
серией Бальмера (видимый свет).
Спектр атомарного водорода приведен на рис. 14, а,б.
Рис. 14. а  возможные линии водородного спектра вплоть до  = 7000 Å;
б  переходы, отвечающие серии Лаймана (штриховые линии со стрелками) и
серии Бальмера (сплошные линии со стрелками)
10. Вынужденное излучение
Обозначим через N1 число атомов находящихся в
основном состоянии, N2  число возбужденных
атомов, а N = N1 + N2  общее число атомов.
Величины N1 и N2 называют заселенностью
соответствующих энергетических уровней.
В состоянии термодинамического равновесия
формула Больцмана позволяет записать
соотношение между N1 и N2 при температуре T в
виде
Из этого следует, что при любой температуре для
равновесной системы N1  N2.
Как отмечалось ранее атом в возбужденном
состоянии находится в течение очень малого
промежутка времени и самопроизвольно
переходит в основное состояние, испустив квант
излучения ħ.
Самопроизвольное излучение возбужденного атома
называется спонтанным излучением.
Спонтанное излучение атомов
не
коррелированно, неполяризованно и некогерентно.
Такое излучение испускают обычные источники
света  лампы накаливания, люминесцентные
лампы, нагретые тела, Солнце и др.
Эйнштейн показал, что существует еще один
процесс  процесс вынужденного или
стимулированного излучения.
Оно стимулируется излучением, падающим на
возбужденный атом, и с вероятностью В12
вынуждает атом излучать.
Происходит процесс, изображенный на рис. 16.
Скорость процесса равна
Z21 = B21N2U,T.,
Где U,T – плотность энергии излучения.
Рис. 16. Падающее излучение вынуждает возбужденный атом
излучать кванты вынужденного излучения, неотличимые от
первичных стимулирующих квантов. Возникающий в результате
вынужденного излучения фотон оказывается точно в фазе с
внешним фотоном, стимулировавшим это излучение атома, и
летит в том же направлении
Отметим свойства вынужденного излучения
отличающие его от спонтанного:
1. Оно распространяется строго в том же
направлении, что и излучение, его вызвавшее.
2. Фаза волны вынужденного излучения,
испускаемого атомом, точно совпадает с фазой
падающей волны.
3. Оно линейно поляризовано с той же
плоскостью поляризации, что и падающее
излучение.
4. Кванты вынужденного излучения неотличимы
от первичных стимулирующих квантов.
Среды с инверсной заселенностью уровней.
По мере распространения излучения в веществе его
энергия уменьшается, а интенсивность убывает по
экспоненциальному закону (закон Бугера):
I(z) = I0 exp(z).
Здесь I0, I(z)  интенсивность излучения на входе
и на выходе слоя вещества; - коэффициент
поглощения вещества
Для поглощающих излучение сред коэффициент 
положителен.
Возможно создать среду, при распространении в
которой излучение будет усиливаться.
Существуют среды с отрицательным
коэффициентом поглощения
(рис. 16).
Впервые эта идея была высказана Фабрикантом в
1939 г.
Такая активная среда должна иметь инверсную
заселенность энергетических уровней (N2>N1).
.
Механизм усиления вынужденного излучения
при распространении его в активной среде состоит
в следующем.
Пучок вынужденного излучения встречает на пути
распространения атомы вещества.
Если атом находится в возбужденном состоянии, то
под действием падающего излучения он может
вынужденно испустить еще один квант излучения,
увеличивая энергию излучения в веществе на ħ
(рис. 16).
Рис. 16. Изменение интенсивности излучения в среде с
обычной(  0) и инверсной ( < 0) заселенностью
В равновесном состоянии вещества число атомов
в основном состоянии N1 всегда больше числа
атомов N2 в возбужденном состоянии.
Для создания активной среды с инверсной
заселенностью уровней необходимы особые
условия, обеспечивающие генерацию
возбужденных атомов.
11. Лазер
Квантовые усилители и генераторы.
Идея усиления и генерации вынужденного
излучения активной средой была реализована в
1955 г. Басовым и Прохоровым в СССР и в
США Таунсом, Вебером.
В 1960 г. был создан
оптический квантовый
генератор - лазер (Light Amplification by Stimulated
Emission of Radiation  усиление света с помощью
вынужденного излучения).
Первый твердотельный лазер был создан на
основе монокристалла рубина (корунд Al2O3 с
примесями ионов хрома Cr3+).
Для создания инверсии заселенностей уровней
использовалась трехуровневая схема.
Энергетический спектр атомов содержит три
уровня с энергиями Е1, Е2 и Е3 (рис. 17).
Главная особенность трехуровневой системы
состоит в том, что уровень 2 должен быть
метастабильным.
Время жизни атома в метастабильном состоянии
(~ 103 с) в сотни тысяч раз превышает время жизни
атома в обычном возбужденном состоянии (~ 108с).
Это обстоятельство позволяет накапливать
возбужденные атомы с энергией Е2.
Рис. 17. Трехуровневая схема генерации вынужденного
излучения в рубиновом лазере (Al2O3-Cr3+)
Процесс перевода атомов в возбужденное
состояние называют накачкой.
В рубиновом лазере (рис. 18) используется
импульсная оптическая накачка.
Кристалл рубина Р освещается ксеноновой лампой
Л, работающей в импульсном режиме,
длительность вспышки ~ 103 с.
Поглощая это излучение, атомы хрома переходят в
возбужденное состояние с энергией Е3, время
жизни которых < 107с.
За это время атомы хрома переходят на более
низкий метастабильный энергетический уровень с
Е2 .
Переход 3  2 является безызлучательным (без
испускания фотона), избыток энергии передается
от атома хрома к кристаллической решетке рубина.
Метастабильность уровня 2 обеспечивает на
инверсию заселенностей уровней 1 и 2.
Рубиновый стержень превращается в активную
среду, способную усиливать вынужденное
излучение с λ = 594,3 нм (переходу 2  1).
Если в результате спонтанного перехода
рождается фотон с такой длиной волны, то он
индуцирует новые фотоны, точно копирующие
первоначальный.
Рождение вынужденных фотонов носит
лавинообразный характер.
Чтобы оптический усилитель превратить в
оптический генератор когерентного лазерного
излучения, необходимо обеспечить положительную
обратную связь.
Для этого усиленный пучок излучения снова
направить в активную среду.
Обратную связь обеспечивает оптический
резонатор, состоящий из двух параллельных
плоских зеркал (ЗI и ЗII на рис. 18), расположенных
вблизи торцов рубинового стержня.
Одно из зеркал делается полупрозрачным.
После многократного отражения от зеркал и
усиления лазерный пучок становится интенсивным
и выходит через полупрозрачное зеркало.
Затем следует новая вспышка лампы накачки и
процесс повторяется.
Рис. 18. Схема рубинового лазера
12. Боровская модель атома
Квантовая модель атома, рассмотренная выше ,
была создана в 1926 г. после появления уравнения
Шредингера.
3а тринадцать лет до этого Нильс Бор (рис. 18)
создал
полуклассическую
теорию,
которая
полностью объясняла весь спектр водорода и легла
в основу физической модели устойчивого атома.
Хотя теория Бора устарела, однако она столь
проста, а ее историческое значение так велико, что
мы изложим ее здесь. Кстати, символы боровской
теории употребляются и по сей день (рис. 19).
Формулу в Rn получаем подстановкой выражения
для v
2

Rn  n
2
k 0 Zme
2
Величина Rn совпадает со средним радиусом
электронного облака.
Серьезным недостатком модели Бора является то,
что она неспособна объяснить спектры атомов,
начиная с атома гелия, вокруг ядра которого (Z = 2)
вращаются два электрона.
Бор считал, что возможные орбиты электронов
аналогичны классическим круговым орбитам
планет, и пытался найти правило, которое
допускало бы лишь определенные значения
энергий электрона или радиусов орбит.
Он придумал правило, согласно которому
численное значение момента импульса должно
быть целым кратным постоянной ħ  поскольку на
орбите укладывается целое число длин волн де
Бройля (2R = nБ, Б = ħ/mv):
mvR = n ħ.
Рис. 18. Нильс Бор
Рис. 19. а – традиционный символ атома; б – боровская
модель водородоподобного атома
Боровский постулат отличается от современных
представлений о свойствах атома водорода в двух
отношениях.
Во-первых, понятие классической орбиты теряет
смысл применительно к электрону, состояние
которого характеризуется стоячей волной.
Во-вторых, момент импульса равен не n ħ, a l ħ –
он меньше боровского значения. Таким образом, то
обстоятельство, что теория Бора правильно
описывает спектр энергетических уровней атома
водорода, является счастливой случайностью.
Найдем энергетические уровни электрона в поле
ядра с зарядом Ze. Согласно постулату Бора, радиус
n-ой орбиты

Rn  n
mv
Приравняем центростремительную силу силе
электростатического притяжения:
2
k 0 Ze
mv

2
Rn
Rn
2
k 0 Ze
mv 
 U ,
Rn
2
(потенциальная энергия)
2
k 0 Ze
v 
mR n
2
2
Подставляя в v2 выражение для Rn, получаем
2
k 0 Ze
,
v 
  
m n

 mv 
2
k 0 Ze
v 
n
2
2
Энергии уровней определяются соотношением
Еn = (1/2)mv2 + U
или [после замены U =  mv2]


1
1
2
2
2
E n  mv   mv   mv
2
2
Возводя в квадрат правую часть выражения для v,
находим
2

1
Z 
2 Z me
En  k0
 13, 6  2  ýÂ.
2
2
2
n
n 
2
4
Эту величину можно также выразить через R,
подставив v2 в выражение Е = –(1/2)mv2, что дает
2
k0e
En  
2 Rn
Соотношение для En следует и из современной
квантовой теории. Боровская модель дает также
простой ответ на вопрос о размерах атома.
Основные выводы
Уравнение Шредингера в трех
записывается следующим образом:
измерениях
     
2m






E

U

2
2
2
2
x
y
z

2
2
2
В случае, когда (x,у,z) зависит только от r, это
уравнение принимает вид
1 d  2 d 
2m




r


E

U
r



2
2
dr
dr
r



В случае атома водорода U = k0(e2/r).
При этом решением, соответствующим состоянию с
низшей энергией
E1 = k0(me4/2 ħ2) = 13,6 эВ,
является функция
1 = ехр(–r/а),
где
а = ħ /(k0me2)  радиус.
Собственные значения энергии
En = (13,6/n2) эВ.
Соответствующие им решения могут зависеть от
углов  и .
Зависимость волновой функции от угла  имеет
вид exp(iml), где Lz = ml ħ  проекция момента
импульса на ось z.
Зависимость от угла  характеризуется значением
квантового числа l, причем L = l ħ  максимальное
значение величины Lz; иными словами, ml может
быть любым целым числом в пределах от l до + l.
Квантовое число l может принимать
целочисленные значения от 0 до n  1.
При n > n возможен спонтанный переход с
уровня Еn на уровень Еn, сопровождающийся
испусканием фотона.
Энергия фотона h = Еn – Еn. Если фотон с такой
частотой  сталкивается с атомом в состоянии Еn,
то фотон может поглотиться, а атом при этом
перейдет из начального состояния Еn в состояние
Еn.
Если газообразный водород нагрет и часть атомов
находится в возбужденных состояниях с более
высокой энергией, то энергии фотонов в спектре
излучения запишутся в виде
1 
 1
h  13, 6  2  2  ýÂ.
 n n 
Фотон может стимулировать возбужденные атомы
испускать кванты с той же частотой и фазой. Таким
образом, совокупность атомов, находящихся в
подходящем возбужденном состоянии, позволяет
получить пучок когерентного света.
На этом принципе основано действие лазера.
Боровская модель дает правильные значения
энергетических уровней и радиусов орбит атома
водорода. В ее основе лежит гипотеза, что электрон
движется по классической орбите, для которой
mvR = n.
Лекция окончена
Нажмите клавишу <ESC> для выхода
Если сначала открыть только щель А, а затем
постепенно открывать щель В, то мы вправе
ожидать, что скорость счета по мере открывания
щели В будет постепенно увеличиваться от 100 до
200 отсчетов в секунду.
Вместо этого наблюдается уменьшение скорости
счета от 100 до нуля. Таким образом открывание
щели В может повлиять на электроны, которые,
казалось бы, прошли через щель А.
Более того, если счетчик Гейгера поместить в
точку Р2, то по мере открывания щели В скорость
счета будет постепенно увеличиваться от 100 до
400 отсчетов в секунду, когда вторая щель
полностью открыта.
Таким образом, должно быть 100 + 100 = 400, что
возможно, если происходит сложение амплитуд (10
+ 10)2 = 400.
Пусть в точке Р (рис.3) находится счетчик
Гейгера. Амплитуда волны, прошедшей через щель
А и достигшей точки Р, в условных единицах равна
А = 2, а в случае щели В мы имеем
В = 6.
Если открыта только щель А, то в точке Р
ежесекундно регистрируется 100 электронов.
3. Прохождение пучка электронов через две щели
Найдем:
а)
Сколько
электронов
регистрируется
ежесекундно, если открыта только щель В.
б) Если открыты обе щели и происходит
конструктивная интерференция, то определим
число ежесекундно регистрируемых электронов.
в) То же, но в случае деструктивной
интерференции.
а). Отношение интенсивностей волн
2
2
 В /  А = 36/4 = 9. Следовательно, через щель В
проходит ежесекундно в 9 раз больше частиц, чем
через щель А, т.е. 900 электронов.
б). Полная амплитуда волны  = А + В, или
2
2
 = 8. Поскольку  = 16  А , то в точке Р будет
регистрироваться 1600 электронов в секунду.
в). В этом случае
А и B должны иметь
противоположные знаки, чтобы ослаблять друг
друга.
Следовательно,  = 2 – 6 = –4. Теперь 2 = 16, т.е. в
4 раза больше . Это соответствует регистрации 400
электронов в секунду.
Рассмотрим распределение интенсивности в
интерференционном опыте с двумя щелями, если щель
В пропускает в 4 раза больше электронов, чем щель А.
В этом случае  2В  4 2А или . Полная интенсивность
в максимуме пропорциональна (А + В)2 или
Iмакс =
( А  2 A )  9
2
2
A
Интенсивность в минимуме равна
I мин  ( А  2 А )  
2
2
А
Следовательно,
отношение
Iмакс/Iмин
=
9.
Распределение
интенсивности
описывается
выражением I = IА[5 + 4cos k(rВ – rА)], где rА и rВ –
расстояния от экрана до щелей А и В,
соответственно.
Изложенный формализм порождает ряд вопросов,
требующих
дальнейшей
физической
интерпретации.
Допустим, что мы выпускаем по одному электрону.
Согласно волновым представлениям, каждому
электрону сопоставляется цуг волн, или волновой
пакет, расщепляющийся поровну между двумя
щелями.
Однако, поместив за щелью А счетчик Гейгера,
камеру Вильсона или иной детектор частиц, мы
увидим, что через щель никогда не проходит
половины электрона. В этом сущность атомизма,
который совместим с гипотезой о том, что
интенсивность волны за щелью А характеризует
вероятность найти электрон (целиком!) в этом
месте.
Если детектор поместить за щелью А, то
интерференционная картина сгладится и получится
классический результат.
Наличие детектора изменяет результат, превращая
интерференционную
картину
(рис.
2)
в
классическую (рис. 1).
Многие физики, включая Эйнштейна, пытались
придумать такой опыт, в результате которого можно
было бы, не нарушая интерференционной картины,
установить, через какую именно щель прошла данная
частица; однако все эти попытки потерпели неудачу.
В 1926 г. М. Борн так сформулировал вероятностный
смысл волновой функции в квантовой механике:
Квадрат
модуля
волновой
функции
(x,y,z,t)
определяет плотность вероятности W того, что в
момент времени t  0 частица может быть
обнаружена в точке пространства M = = M(x,y,z) с
координатами x, y и z:
Принцип суперпозиции квантовых состояний 
одно из важных свойств квантовых состояний,
которое
формально
является
следствием
линейности уравнения Шредингера для волновой
функции, которое будет обсуждаться в следующем
параграфе.
Из линейности этого уравнения следует, что если
частица может находиться в квантовом состоянии,
описываемом волновой функцией 1, а также в другом
квантовом состоянии, описываемом волновой функцией
2, то эта частица может также находиться в
состоянии, описываемом волновой функцией
где C1 и C2 в общем случае комплексные числа.
Можно говорить и о суперпозиции любого числа
квантовых
состояний,
которая
описывается
волновой функцией
В таком состоянии квадрат модуля коэффициента
Cn определяет вероятность того, что при измерении,
проведенном над системой с волновой функцией ,
мы обнаружим ее в квантовом состоянии,
описываемом волновой функцией n.
Для нормированных волновых функций
Квантовомеханический
принцип
суперпозиции
состояний не имеет аналога в классической механике.
В классической теории свободная частица в данный
момент времени движется либо в одном направлении в
пространстве, либо в другом направлении.
Квантовая
частица,
состояние
которой
описывается волновой функцией, являющейся
суперпозицией двух плоских волн де Бройля
одновременно движется и вправо вдоль оси x и
влево.
С точки зрения классической механики такой
ответ абсурден.
С позиций квантовой механики это означает, что
при проведении серии опытов по обнаружению
направления движения частицы, находящейся в
таком квантовом состоянии, с вероятностью P1 ~
C12 будет получен ответ, что частица движется
вправо вдоль оси x, а с вероятностью P2 ~ C22, что
частица движется влево.
Столь необычный ответ квантовой механики
казалось бы на простой вопрос, не является чисто
теоретическим абстрактным результатом.
В современных информационных технологиях,
разрабатывающих
квантовые
компьютеры,
возможно использование логического элемента не
только с двумя состояниями «0» и «1», но и
элементов, которые могут находиться в состояниях
суперпозиции нуля и единицы с некоторыми
вероятностями.
Такие элементы существенно изменяют принцип
работы компьютера и позволяют создавать
алгоритмы,
значительно
повышающие
быстродействие и эффективность переработки
информации.
Соотношения
неопределенностей
установлены Гейзенбергом в 1927 г
были
Казалось бы, если известно что частица
покоится, то неопределенность ее импульса р = 0.
Можно попытаться, например,
с помощью
микроскопа определить положение частицы и тем
самым обойти принцип неопределенности.
Действительно,
микроскоп
позволяетт
определять положение частицы с точностью до
длины волны используемого света х  .
Но поскольку р = 0, то произведение хр
также должно быть равно нулю и принцип
неопределенности казалось бы нарушится.
Но это не так. Мы пользуемся светом, a свет
состоит из фотонов с импульсом р = h/. Чтобы
обнаружить частицу, на ней должен рассеяться или
поглотиться по крайней мере один из фотонов
пучка света (рис 4), и частице будет передан
импульс p= h/.
Рис. 4. Взаимодействие в микроскопе фотонов с
частицей
Таким образом, в момент наблюдения положения
частицы с точностью х   неопределенность ее
импульса . Перемножая неопределенности p и х,
находим
h
x p    h ,

что
согласуется
с
соотношением
неопределенностей. Этот пример иллюстрирует
внутреннюю
непротиворечивость
квантовой
механики.
C помощью уравнения Шредингера решим
задачу о движении частицы в потенциальной
яме со стенками конечной высоты U0 (рис.4).
Нужно найти волновые функции n и энергии
En, которые удовлетворяли бы граничному
условию, такому, что
больших |х|.
(x)  0 при
Рис. 4. а – потенциальная яма глубиной U0 и первый энергетический
уровень; б – соответствующая волновая функция
В области II рис. 4 уравнение Шредингера можно
записать в виде
d  2m
 2 (U 0  E )
2
dx
2
Уравнение имеет решения
 II  e

x
и
e
x
2m(U 0  E )
2
Когда кинетическая энергия отрицательна, знаки
второй
производной
d2/dx2
и
функции

совпадают, и функция изгибается в сторону от оси
х.
В случае положительной кинетической энергии
(например,
в
области
I)
(х)
изгибается
в
направлении к оси х, подобно синусоиде.
На рис. 5 кривая b иллюстрирует поведение
волновой функции  при правильном выборе
значения Е.
Рис. 5. Кривая b совпадает с приведенной на рис. 4,б. Кривая а
соответствует случаю, когда Е несколько меньше Е1, а кривая с
– когда Е несколько больше E1
Если энергия Е выбрана чуть меньше, то в
области I (х) будет изгибаться медленнее (кривая
а). Если же E выбрать несколько больше, то (х)
будет
соответствовать
кривой
с.
Правильное
поведение, иллюстрируемое кривой b, описывается
функцией
 II  Ae
x
(в области II)
и 1 = В cos kx (в области I),
где
k  2mE /
2
При х = х0
 I ( x0 )   II ( x0 )
или B cos kx0  Ae x0
1 = В cos kx (в области I),
и
где
k  2mE /
2
При х = х0
 I ( x0 )   II ( x0 ) или B cos kx0  Aex
0
При х0 одинаковы также и наклоны обеих
кривых, так что
kB sin kx0  Ae
x0
Разделив это соотношение на предыдущее,
получим
ktgkx0  
Это трансцендентное уравнение можно решить
для первого энергетического уровня E1. Используя
формулу для , его можно привести к виду:
U0

tgkx0  
1
k
E
Определим величины
y0 
Тогда
2m
2
U 0 x0 и y  kx0
tgy 
2
0
2
y
1
y
Уравнение может иметь несколько корней в
зависимости от величины у0.
Сравним потенциальную яму конечной глубины с
бесконечно глубокой потенциальной ямой шириной
10–10 м (х0 =
= 0,510–10 м), для электрона,
находящегося в яме глубиной 800 эВ имеем
y0 
2mU 0
10
0,5

10
x0  2(9,1 1031 )(800 1, 6 1019 )
 7, 27
34
1, 05 10
Уравнение имеет три положительных корня: у1,
y3, y5. Найти эти корни можно либо графически,
либо методом итераций, либо методом «проб и
ошибок». Корни имеют значения у1 = 1,38, у3 = 4,11
и у5 = 6,69.
Поскольку
k = у/х0 и Е = (ħk)2/2m,
получаем
E1 = 28,8 эВ, E3 = 256 эВ, E5 = 678 эВ.
Для n = 2 и 4 волновые функции в области I имеют
вид
I = B sin kx.
Сшивая граничные условия при х = х0, имеем
,
B sin kx0  Ae
x0
kB cos kx0  Ae
x0
Разделив одно соотношение на другое, получим
ctgkx0   / k
 2mE 
U0
ctg 
x0   
1
2
E


или
2
0
2
y
ctg  
1
y
,
В случае у0 = 7.27 существуют два положительных
корня: у2 = 2,75 и у4 = 5,44.
Соответствующие энергии для электрона в
потенциальной яме конечной глубины Е2 = 115 эВ и Е4
= 447 эВ.
На рис. 6 показаны все эти уровни энергии, а на рис. 7
– первые три волновые функции.
,
Рис. 6. Энергетические уровни электрона в яме шириной 10–10 м. Сплошные
линии соответствуют потенциальной яме глубиной 800 эВ, а штриховые –
потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (то же, что и на рис. 9)
Рис. 7. Сплошные линии – стоячие волны низшего порядка, соответствующие
энергиям Е1, Е2, Е3 на рис. 6. Штриховые линии – соответствующие волновые
функции в потенциальной яме той же ширины, но с бесконечно высокими
стенками
Общее решение задачи о частице, находящейся в
прямоугольной потенциальной яме конечной
глубины,
имеет
практическое
значение.
Короткодействующие ядерные силы, действующие
между нейтроном и протоном, можно приближенно
представить в виде прямоугольной потенциальной
ямы, а затем вычислить энергию связи дейтрона и
его размеры (т.е. волновую функцию дейтрона).
Предположим, что функция 1 на рис.4, б
уменьшается вдвое при х = х0, т.е.
,
1 ( x0 ) 1

1 (0) 2
Найдем выражение для Е1 в зависимости от ħ, m
и x0. Поскольку 1 = B cos kx,
1
cos kx0 
2

kx0 
3
,

k
3 x0
2mE1


2
3x0

E1 
2
18mx0
2
2
В
этом
примере
фотон
принадлежит
ультрафиолетовой
области
спектра
электромагнитного излучения, в которой как раз и
расположены наиболее интенсивные линии спектра
водорода. Энергия электрона в ящике может
принимать лишь определенные дискретные
значения.
Энергии и длины волн испускаемых электроном
фотонов также будут составлять дискретный набор
значений, как и спектр излучения атомов.
Электрон, заключенный в ящике, является очень
грубой моделью атома водорода.
В атоме водорода электрон движется в
потенциальной яме, образуемой кулоновским
полем, рис. 9.
В обоих случаях качественное поведение
оказывается сходным.
Электрон
описывается стоячей волной и
существует вполне определенный набор возможных
волновых функций n и соответствующих им
энергий Еn.
8.1. Нормировка волновых функций
Определим величину ||2 dx dy dz как относительную
вероятность того, что частица заключена в элементе
объема dx dy dz. Эту величину можно рассматривать
также как абсолютную вероятность, если она
удовлетворяет условию

2
 dxdydz  1
По всему
пространству
Условие
нормировки
однозначно
определяет
коэффициент пропорциональности волновой функции.
До этого рассматривались лишь относительные
вероятности без учета нормировки волновых функций.
8.2. Среднее значение
Пусть волновая функция частицы представляет
собой суперпозицию нескольких собственных
функций. Иными словами:
x    a j  j x 
j
где каждая из j представляет нормированную
собственную функцию и отвечает собственному
значению энергии Еj.
Вероятность найти частицу в состоянии,
характеризуемом волновой функцией j, дается
квадратом амплитуды аj.
Вероятность найти частицу в состоянии с
энергией Ej равна |аj|2. Среднее значение энергии
можно записать в виде
E  aj Ej
2
j
Такое среднее значение энергии дает серия
повторных измерений, произведенных над
частицей, которая каждый раз находится в одном и
том же начальном состоянии (х).
То же самое справедливо для любой другой
физической величины, в частности, для момента
импульса:
2
Lz   a j L j
j
На этих диаграммах пo горизонтали принято
откладывать состояния с различными значениями
момента импульса.
Определим длины волн, соответствующие
линиям серии Бальмера.и линии, расположенные в
видимой части спектра.
Энергии испускаемых фотонов вычисляется по
формуле
h = 13,6 эВ(0,25  1/n2), где n = 3, 4, 5... .
Первым четырем линиям спектра соответствуют
значения энергии:
1 1
h1  13,6   = 1,89 эВ,
4 9
1 1 
h 2  13,6   = 2,55 эВ,
 4 16 
1 1 
h 3  13,6   = 2,86 эВ,
 4 25 
1 1 
h 4  13,6   = 3,02 эВ.
 4 36 
Поглощение Если излучение со сплошным
спектром, как, например, излучение нагретого до
красного свечения тела, проходит через холодный
газ, то находящиеся в основном состоянии атомы
газа будут переходить в одно из возбужденных
состояний и поглощать при этом фотоны
определенной энергии.
В случае холодного водорода поглощаться будут
фотоны, соответствующие серии Лаймана.
Если исследовать сплошной спектр излучения,
прошедшего через газ, то в нем обнаружится
отсутствие фотонов с энергиями Е2 – Е1, Е3 – Е1, Е4
– Е1 и т.д. Отсутствие фотонов с этими энергиями
проявляется на спектрограмме в виде темных
линий. Процесс, при котором в результате
облучения образца вещества светом возбуждаются
более высокие энергетические уровни атомов,
называется оптической накачкой.
Состояние с энергией Е1 представляет основное
состояние атома. Без внешнего воздействия атом
может находиться в этом состоянии неограниченно
долго.
Состояние атома с энергией Е2 является
возбужденным (Е2  Е1). В это состояние атом
переходит, поглощая дополнительную энергию.
Пусть причиной возбуждения атома служит
поглощение атомом излучения с частотой ,
удовлетворяющей квантовому условию
ħ = Е2  Е1.
Если же атом находится в возбужденном
состоянии, то под действием падающего излучения
он может вынужденно испустить еще один квант
излучения (рис. 16), увеличивая энергию
распространяющегося в веществе излучения на ħ.
Вероятности процессов взаимодействия
вынужденного излучения с атомами в любом
состоянии одинаковы В12 = В21.
Поэтому, при прохождении за время 
достаточно тонкого слоя вещества, содержащего N1
невозбужденных атомов и N2 атомов в
возбужденном состоянии, будет наблюдаться
относительное изменение энергии излучения,
равное
Среда поглощает излучение (Δu,T < 0),
если N2 < N1 и усиливает (Δu,T  0) при N2  N1.
В первом приборе квантовой электроники 
молекулярном генераторе активной средой служил
пучок молекул аммиака NH3. Среда с инверсной
заселенностью уровней была реализована путем
выведения из пучка молекул NH3 молекул с
меньшей энергией, а обогащенный возбужденными
молекулами пучок представлял собой активную
среду.
Сортирующая молекулы по энергиям система
представляла квадрупольный конденсатор,
состоящий из четырех параллельных стержней,
соединенных попарно с высоковольтным
выпрямителем (~ 30 кВ).
Из-за наличия у молекул дипольного
электрического момента, ориентация по
отношению к электрическому полю у
невозбужденных и возбужденных молекул
отличается, неоднородное электрическое поле
конденсатора по разному отклоняло молекулы
аммиака, находящиеся в различных энергетических
состояниях.
Молекулы, находящиеся в нижнем
энергетическом состоянии, отклонялись в сторону
от оси конденсатора и отбрасывались из
молекулярного пучка. Молекулы в возбужденном
состоянии отклонялись к оси конденсатора и
продолжали двигаться вдоль оси.
Отсортированный таким образом молекулярный
пучок с повышенной концентрацией возбужденных
молекул направлялся в объемный резонатор, в который
подавалось электромагнитное излучение.
Взаимодействуя с молекулярным пучком,
вынужденное излучение с частотой  = 24830 МГц
( λ = 1,24 см) усиливалось. При достаточно большом
значении коэффициента усиления в резонаторе
наблюдалась генерация таких СВЧ радиоволн.
Молекулярные квантовые генераторы такого типа
получили название мазеров  аббревиатура
английского выражения Microwave Amplification by
Stimulated Emission of Radiation (усиление микроволн с
помощью вынужденного излучения).
Молекулярные квантовые усилители
применяются в качестве входных каскадов
радиоприемных устройств в диапазоне длин
волн λ ~ 4 мм50 см. Благодаря применению
таких усилителей в СВЧ диапазоне значительно
увеличилась дальность действия
радиолокаторов, линий космической связи и
радиотелескопов.
Одно из зеркал, например, ЗII, делается
полупрозрачным.
Поэтому после многократного отражения от зеркал
и усиления лазерный пучок становится достаточно
интенсивным и получает возможность выхода через
полупрозрачное зеркало. Затем следует новая
вспышка лампы накачки и процесс повторяется.
В режиме генерации гигантских импульсов одно
из зеркал закрывается оптическим затвором.
Задерживая генерацию, такой затвор позволяет
увеличить инверсию заселенностей уровней и
накопить энергию активной среды.
При открытии затвора создаются условия
быстрого развития генерации, которая реализуется
в виде короткого (около 2050 нс) мощного
(гигантского) импульса с энергией от 1 Дж до 100
Дж, что соответствует мощности более 1010 Вт.
К настоящему времени обнаружены сотни
кристаллов с примесями, которые можно
использовать в качестве активных сред в
твердотельных лазерах. Созданы лазеры на
итриевоалюминиевом гранате, александрите,
стекле с примесью неодима и других материалах.
В 1961 г. был создан первый газовый
гелийнеоновый лазер (А. Джаван, США). В таком
лазере инверсия заселенностей уровней атомов
неона создается за счет электрического разряда в
смеси газов He и Ne.
Гелийнеоновый газовый лазер работает в
непрерывном режиме генерации, испуская
когерентное излучение с длительностью волны λ =
638,2 нм.
Наиболее мощными газовыми лазерами являются
молекулярные лазеры. Так, например, в
газоразрядных CO2лазерах электроны в тлеющем
разряде возбуждают колебательные уровни молекул
CO2 и N2. В мощных CO2лазерах используется
непрерывная прокачка газа.
Быстропроточные CO2лазеры генерируют
излучение с длинами волн λ = 9,4 мкм и λ = 10,6
мкм мощностью в десятки кВт при к.п.д. порядка
20%.